Géométrie analytique

Géométrie analytique élémentaire

Apollonius de Perga (vers 262-190 av. J.-C.), connu par ses contemporains comme le « Grand Géomètre », a préfiguré le développement de la géométrie analytique de plus de 1800 ans avec son livre Coniques. Il définit une conique comme l’intersection d’un cône et d’un plan (voir figure). En utilisant les résultats d’Euclide sur les triangles semblables et sur les sécantes des cercles, il a trouvé une relation satisfaite par les distances de tout point P d’une conique à deux lignes perpendiculaires, le grand axe de la conique et la tangente à une extrémité de l’axe. Ces distances correspondent aux coordonnées de P, et la relation entre ces coordonnées correspond à une équation quadratique de la conique. Apollonius a utilisé cette relation pour déduire des propriétés fondamentales des coniques. Voir section conique.

Le développement ultérieur des systèmes de coordonnées (voir figure) en mathématiques n’a émergé qu’après que l’algèbre ait mûri sous les mathématiciens islamiques et indiens. (Voir mathématiques : Le monde islamique (8e-15e siècles) et mathématiques, Asie du Sud). À la fin du XVIe siècle, le mathématicien français François Viète a introduit la première notation algébrique systématique, en utilisant des lettres pour représenter des quantités numériques connues et inconnues, et il a développé de puissantes méthodes générales pour travailler avec des expressions algébriques et résoudre des équations algébriques. Grâce à la puissance de la notation algébrique, les mathématiciens n’étaient plus complètement dépendants des figures géométriques et de l’intuition géométrique pour résoudre les problèmes. Les plus audacieux ont commencé à abandonner le mode de pensée géométrique standard dans lequel les variables linéaires (première puissance) correspondaient aux longueurs, les carrés (deuxième puissance) aux aires, et les cubiques (troisième puissance) aux volumes, les puissances supérieures n’ayant pas d’interprétation « physique ». Deux Français, le mathématicien-philosophe René Descartes et le juriste-mathématicien Pierre de Fermat, ont été parmi les premiers à franchir cette étape audacieuse.

Descartes et Fermat ont fondé indépendamment la géométrie analytique dans les années 1630 en adaptant l’algèbre de Viète à l’étude des lieux géométriques. Ils ont dépassé Viète de manière décisive en utilisant des lettres pour représenter des distances variables et non plus fixes. Descartes a utilisé des équations pour étudier des courbes définies géométriquement, et il a souligné la nécessité de considérer des courbes algébriques générales – des graphiques d’équations polynomiales en x et y de tous degrés. Il a démontré sa méthode sur un problème classique : trouver tous les points P tels que le produit des distances de P à certaines lignes soit égal au produit des distances à d’autres lignes. Voir géométrie : Géométrie cartésienne.

Fermat a souligné que toute relation entre les coordonnées x et y détermine une courbe (voir figure). En utilisant cette idée, il a refondu les arguments d’Apollonius en termes algébriques et a restauré le travail perdu. Fermat a indiqué que toute équation quadratique en x et y peut être mise sous la forme standard d’une des sections coniques.

Fermat n’a pas publié son travail, et Descartes a délibérément rendu le sien difficile à lire afin de décourager les « barboteurs ». Leurs idées n’ont été acceptées par tous que grâce aux efforts d’autres mathématiciens dans la seconde moitié du XVIIe siècle. En particulier, le mathématicien néerlandais Frans van Schooten a traduit les écrits de Descartes du français au latin. Il a ajouté des éléments explicatifs essentiels, tout comme le juriste français Florimond de Beaune et le mathématicien néerlandais Johan de Witt. En Angleterre, le mathématicien John Wallis a popularisé la géométrie analytique, en utilisant des équations pour définir les coniques et en déduire leurs propriétés. Il utilisait librement les coordonnées négatives, bien que ce soit Isaac Newton qui ait utilisé sans équivoque deux axes (obliques) pour diviser le plan en quatre quadrants, comme le montre la figure.

La géométrie analytique a eu son plus grand impact sur les mathématiques via le calcul. Sans accès à la puissance de la géométrie analytique, les mathématiciens grecs classiques tels qu’Archimède (vers 285-212/211 av. J.-C.) ont résolu des cas particuliers des problèmes de base du calcul : trouver les tangentes et les points extrêmes (calcul différentiel) et les longueurs d’arc, les aires et les volumes (calcul intégral). Les mathématiciens de la Renaissance ont été ramenés à ces problèmes par les besoins de l’astronomie, de l’optique, de la navigation, de la guerre et du commerce. Ils ont naturellement cherché à utiliser la puissance de l’algèbre pour définir et analyser une gamme croissante de courbes.

Fermat a développé un algorithme algébrique pour trouver la tangente à une courbe algébrique à un point en trouvant une ligne qui a une double intersection avec la courbe au point-en substance, inventant le calcul différentiel. Descartes a introduit un algorithme similaire mais plus compliqué en utilisant un cercle. Fermat a calculé les aires sous les courbes y = axk pour tous les nombres rationnels k ≠ -1 en additionnant les aires des rectangles inscrits et circonscrits. (Voir épuisement, méthode de.) Pendant le reste du XVIIe siècle, les travaux de base du calcul ont été poursuivis par de nombreux mathématiciens, notamment le Français Gilles Personne de Roberval, l’Italien Bonaventura Cavalieri et les Britanniques James Gregory, John Wallis et Isaac Barrow.

Newton et l’Allemand Gottfried Leibniz ont révolutionné les mathématiques à la fin du XVIIe siècle en démontrant indépendamment la puissance du calcul. Les deux hommes ont utilisé des coordonnées pour développer des notations qui ont exprimé les idées du calcul dans toute leur généralité et ont conduit naturellement aux règles de différenciation et au théorème fondamental du calcul (reliant le calcul différentiel et le calcul intégral). Voir analyse.

Newton a démontré l’importance des méthodes analytiques en géométrie, en dehors de leur rôle dans le calcul, lorsqu’il a affirmé que toute courbe cubique ou algébrique de degré trois a l’une des quatre équations standard,xy2 + ey = ax3 + bx2 + cx + d,xy = ax3 + bx2 + cx + d,y2 = ax3 + bx2 + cx + d,y = ax3 + bx2 + cx + d, pour des axes de coordonnées appropriés. Le mathématicien écossais James Stirling a prouvé cette affirmation en 1717, probablement avec l’aide de Newton. Newton a divisé les cubiques en 72 espèces, un total corrigé plus tard à 78.

Newton a également montré comment exprimer une courbe algébrique près de l’origine en termes de série de puissances fractionnaires y = a1x1/k + a2x2/k + … pour un entier positif k. Les mathématiciens ont depuis utilisé cette technique pour étudier les courbes algébriques de tous les degrés.