L’évolution du modèle de l’aire : De l’élémentaire à l’algèbre
Lorsque les enfants commencent à apprendre à multiplier des nombres, l’une des premières choses qu’ils apprennent est de faire un modèle avec des objets dans un tableau. Ils comptent les objets de manipulation et remarquent qu’il y a une longueur et une largeur. Ils peuvent également compter tous les objets de manipulation pour trouver un total. Dès cette première expérience, les élèves entament une première étape vers une compétence qui continuera à se construire jusqu’à l’algèbre au lycée.
Lorsque le Common Core et d’autres programmes scolaires ont commencé à mettre l’accent sur les algorithmes non standard par rapport aux méthodes traditionnelles que de nombreux adultes utilisaient exclusivement à l’école, il y a eu un retour de bâton. Des mèmes et des fils de discussion sur Internet consacrés à dénoncer ces méthodes non standard comme étant trop lourdes ou inefficaces ont surgi partout. Ils ne tiennent pas compte de l’objectif de l’enseignement et de l’apprentissage de ces méthodes, comme le modèle de surface, dans le développement mathématique de nos élèves. Les méthodes telles que les modèles d’aires sont développées dans le but d’acquérir une compréhension durable de la mécanique des mathématiques plutôt qu’une simple réponse à un problème de mathématiques rapide. L’algorithme standard est souvent le moyen le plus efficace de résoudre un problème, mais il cache souvent le raisonnement mathématique aux élèves qui apprennent à faire des travaux plus compliqués à un âge de plus en plus précoce. Oui, le modèle d’aire a l’air très différent des maths que beaucoup d’entre nous faisaient quand nous étions enfants, mais la mécanique est la même.
Les modèles d’aire et les tableaux reposent sur une pensée simple : la longueur ou un rectangle fois sa largeur sera égale à l’aire totale. Le premier modèle d’aire que les élèves utilisent est un simple tableau physique.
Ce modèle de base est en fait la base d’un apprentissage qui se poursuivra tout au long du lycée ! Comment ce modèle peut-il être utilisé pour approfondir la compréhension des jeunes élèves ? L’utilisation la plus importante de ce modèle est la différence visuelle entre ce à quoi ressemble l’addition par rapport à la multiplication. Il fait apparaître plus clairement la différence entre 6 + 4 et 6 x 4. Cette distinction sera très importante lorsque les élèves commenceront à étudier l’ordre des opérations. Une fois que les élèves ont maîtrisé les faits de multiplication, ils passent à la multiplication à deux chiffres. C’est là que les modèles prennent le tour que de nombreux adultes commencent à être mal à l’aise avec les mathématiques !
Vos élèves ont-ils du mal à faire passer le modèle physique dans l’algorithme ? Essayez cette astuce : demandez à vos élèves de construire des tableaux physiques par-dessus le tableau de multiplication. Cela les aidera à voir la relation entre le modèle qu’ils construisent et les faits qu’ils travaillent à apprendre!
L’utilisation de matériel de manipulation comme les blocs de base dix pour montrer les relations de valeur de place est l’étape suivante dans l’évolution du modèle d’aire. Cette méthode peut être délicate pour les éducateurs et les parents qui ne sont pas habitués à la façon dont les relations de longueur et de largeur fonctionnent dans chacune des unités des blocs de base dix. Un autre aspect de ce modèle qui peut être difficile est la capacité des blocs à représenter différentes valeurs. Lorsque vous travaillez sur la multiplication de nombres entiers, l’unité cube représente un, mais lorsque vous travaillez sur des décimales, l’unité cube représente un centième. L’utilisation de la modélisation des valeurs de place montre aux élèves pourquoi il faut placer un zéro lors de la multiplication de deux chiffres par deux chiffres. Cela peut également donner aux élèves qui sont moins confiants avec la multiplication un pont pour passer de la multiplication à 1 chiffre à des problèmes plus complexes.
Une fois que les élèves atteignent environ la cinquième ou la sixième année, l’utilisation des modèles d’aire prend une autre transformation. Le modèle concret évolue vers une représentation visuelle. Avec les décimaux, cela prend souvent la forme d’une grille des centaines. L’utilisation de ce modèle est l’un des meilleurs moyens de faire comprendre aux élèves pourquoi les décimales ne sont pas alignées dans un problème de multiplication. Lorsque les élèves ne sont exposés qu’à des algorithmes, ils ont souvent du mal à se souvenir quand il faut aligner les décimales et quand il faut les déplacer. Le fait de leur faire comprendre le pourquoi du placement des décimales les aidera à avoir une mémoire et une compréhension plus naturelles du concept, et ils n’auront pas besoin de se fier autant à la mémorisation. De même, lorsque les élèves utilisent un modèle d’aire pour représenter la multiplication des fractions, ils sont en mesure de visualiser la raison de la multiplication des dénominateurs. Après avoir appris à additionner des fractions, c’est important car les élèves ont fermement implanté dans leur esprit l’idée de trouver des dénominateurs communs, nécessaire pour travailler avec des fractions. Lors de la multiplication, cela n’est bien sûr pas nécessaire et donnera une mauvaise réponse. Encore une fois, comme pour le travail avec les décimaux, de nombreux élèves sont confus quant aux différences de règles entre les opérations additives et multiplicatives.
Vos élèves ont-ils du mal à voir la longueur et la largeur dans les modèles d’aires décimales et fractionnaires ? Essayez cette astuce : Tracez des lignes de chiffres le long de la longueur et de la largeur. Marquez d’abord les parties entières. Ensuite, soulignez les trous pour faire des carrés unitaires afin que le dénominateur puisse être facilement compté. Regardez la vidéo ci-dessous pour voir les étapes avec une multiplication complexe de nombres mixtes !
Tous les modèles précédents, bien que différents, traitent de la longueur et de la largeur numériques. Les modèles d’aire n’ont pas besoin d’utiliser des valeurs numériques et peuvent être utilisés pour simplifier des expressions algébriques. Un outil de manipulation appelé tuiles d’algèbre est couramment utilisé pour construire des modèles d’aires algébriques. L’utilisation d’un modèle de surface pour simplifier des expressions algébriques peut être une alternative à la méthode FOIL. Bien que nombre d’entre nous, qui enseignons aujourd’hui, ayons grandi en utilisant la méthode FOIL, un moyen mnémotechnique qui signifie premier, extérieur, intérieur, dernier, pour multiplier des expressions algébriques, cette méthode présente des lacunes évidentes. L’une des plus grandes est le cas où l’une des parenthèses comprend trois termes au lieu de deux. La méthode FOIL ne fonctionne que si les deux multiplicateurs ne comportent que deux termes, mais rien ne limite les problèmes algébriques à deux termes. Les élèves qui n’ont pas d’autre méthode que FOIL risquent de rester bloqués sur un problème sans autre méthode à utiliser.
Les modèles d’aire sont un outil essentiel pour compléter la compréhension des relations multiplicatives. De la première utilisation pour construire les faits de multiplication jusqu’à l’algèbre, ce modèle, bien que ce ne soit pas ce que la plupart d’entre nous ont grandi avec en apprenant les mathématiques nous-mêmes, sont l’une des meilleures méthodes pour créer un modèle constant et compréhensible de la compréhension pour les étudiants. Bien que les mathématiques deviennent plus complexes, on peut à chaque fois donner l’impression qu’il s’agit de quelque chose de déjà connu en utilisant un modèle familier de résolution.
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