Les curieuses puissances de 1 + sqrt 2

Récemment sur mathstodon.xyz, Colin Wright a posté l’énigme suivante:

Quel est le 99e chiffre à droite de la virgule dans le développement décimal de ?

Bien sûr, il est assez simple d’utiliser un ordinateur pour trouver la réponse ; tout langage ou système logiciel capable de calculer avec des nombres réels de précision arbitraire peut trouver la bonne réponse en une fraction de seconde. Mais ce n’est évidemment pas la question ! Pouvons-nous utiliser un raisonnement logique pour déduire ou prouver la bonne réponse, sans faire beaucoup de calculs ? Même si nous trouvons la réponse par le calcul, pouvons-nous expliquer pourquoi c’est la bonne réponse ? Résoudre cette énigme m’a entraîné dans un terrier de lapin fascinant que j’aimerais partager avec vous au cours du prochain post ou trois ou huit.

Pour le moment, je vais vous laisser réfléchir à l’énigme. Bien que l’utilisation d’un ordinateur pour simplement calculer la réponse soit une tricherie, j’encourage l’utilisation d’un ordinateur ou d’une calculatrice pour essayer des exemples plus petits et rechercher des modèles. Il n’est pas trop difficile de voir un modèle et de conjecturer la bonne réponse ; la partie intéressante, bien sûr, est de comprendre pourquoi ce modèle se produit, et de prouver qu’il continue.