Module 1 — Choisir un axe de rotation et décrire la direction de la rotation

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Objectifs d’apprentissage

Après avoir travaillé sur ce module, vous devriez être capable de :

• Décrire la rotation d’un corps rigide autour d’un axe fixe.
• Définir la vitesse angulaire en termes de taux de changement de la position angulaire.
• Indiquer le sens de rotation d’un objet rigide et appliquer la règle de la main droite.

La rotation d’un objet rigide sous forme de spin peut se produire en combinaison avec un mouvement de translation. Nous laisserons la description du mouvement de translation et de rotation combinés pour plus tard. Dans ce module, nous allons nous concentrer sur la description du mouvement de translation pure. Le mouvement de rotation pur peut être très compliqué et certains cas sont hors de portée de tout cours d’introduction à la physique.

Pour simplifier les idées de mouvement angulaire, nous ferons les restrictions suivantes :

1. Le corps rigide tourne autour d’un axe de rotation fixe.
2. Nous considérerons des objets qui sont minces, par exemple le disque de la figure a) ou la tige de la figure b).
3. La rotation se fait dans le plan où l’objet est contenu, par exemple le plan xy de la figure ci-dessous.
4. L’axe de rotation est perpendiculaire au plan où l’objet est contenu, l’axe z dans les figures ci-dessous.

Un corps rigide contraint de tourner autour d’un axe fixe

Le cas le plus simple de mouvement de rotation est un corps rigide comme le disque ou la barre montrés ci-dessus qui peut tourner autour d’un axe ou d’une charnière fixe dans l’espace. L’axe ou la charnière ne se translate pas, mais permet la rotation. Ce cas illustre clairement la notion d’axe de rotation. Imaginez un point qui se trouve au centre du disque ou à l’extrémité de la barre, le point Q, dans la figure ci-dessous. Lorsque le corps tourne, ce point ne bouge pas du tout. Tout autre point, comme le point B, se déplacera lors de la rotation. Imaginez une ligne droite passant par le point Q et perpendiculaire au plan où sont contenus le disque ou la barre, le plan xy dans la figure. Cette ligne ne se déplace pas lorsque le corps tourne. Toute autre ligne passant par un autre point de l’objet, comme la ligne bleue passant par le point B, se déplacera. Cette ligne fixe unique est l’axe de rotation.

En résumé, lorsque nous parlons d’un axe de rotation fixe, nous devons imaginer une ligne perpendiculaire au plan où le corps rigide tourne. En général, nous considérerons l’objet contenu et en rotation dans le plan xy, donc l’axe de rotation sera parallèle à l’axe z. Le point d’intersection entre cette droite et le plan, le point Q dans la figure ci-dessus, sera également fixe dans l’espace.

Mouvement de rotation d’un corps rigide tournant autour d’un axe fixe

Considérons un disque tournant autour d’un axe fixe qui passe par son centre. Un point B du disque, à une distance r du centre se déplacera sur une trajectoire circulaire de rayon r, le cercle en tirets de la figure a).

Position angulaire

La position du point B peut être décrite en termes d’angle θ(t) mesuré à partir de l’axe +x. L’angle θ est appelé la position angulaire du point.

Convention : la position angulaire est définie positive lorsqu’elle est mesurée dans le sens inverse des aiguilles d’une montre par rapport à l’axe +x.

Vitesse angulaire

La vitesse du point B ainsi que la vitesse de tous les points à l’intérieur du disque dépendront du taux de variation de leurs positions angulaires. Si le disque tourne d’un angle dθ = 25o dans le sens antihoraire dans un intervalle de temps dt =1 sec, les points B, C et tous les points à l’intérieur du disque tourneront de la même quantité dans le même intervalle de temps, figure c).

La vitesse angulaire est définie comme le taux de variation de la position angulaire et est notée par la lettre ω:

Unités : = rad.s-1

Accélération angulaire

L’accélération angulaire est le taux de variation de la vitesse angulaire.

Unités : = rad.s-2

Direction

Simplement spécifier un axe et la vitesse de rotation n’est pas suffisant pour décrire complètement le mouvement de rotation. Nous devons également discuter de la direction. Une fois qu’un axe est choisi, les directions possibles de rotation ont été réduites à deux possibilités – l’objet peut tourner dans le sens inverse des aiguilles d’une montre ou dans le sens des aiguilles d’une montre, vu du dessus du plan (conventionnellement depuis un emplacement + z). Ces deux situations sont décrites dans les figures ci-dessous. Il faut cependant être prudent, car le sens de la rotation (sens antihoraire ou sens horaire) dépend de la position de l’observateur. Un disque qui tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre lorsqu’il est vu d’en haut tournera dans le sens des aiguilles d’une montre lorsqu’il est vu d’en bas.

A mesure que nous travaillerons vers une description mathématique de la rotation, nous décrirons la rotation en termes de vecteur. Il s’avère (comme nous le verrons) qu’une convention très utile est d’assigner aux axes de coordonnées +z de se trouver le long de l’axe de rotation et de penser aux deux possibilités de sens antihoraire et de sens horaire comme des rotations positives et négatives autour de cet axe. Ainsi, le vecteur vitesse angulaire correspondant à la rotation du disque dans la situation présentée dans les figures ci-dessus sera :

Pour la rotation dans le sens inverse des aiguilles d’une montre:

θ augmente avec le temps,ω = dθ/dt > 0 alors la vitesse angulaire pointe vers l’axe +z.

Pour la rotation dans le sens des aiguilles d’une montre:

θ diminue avec le temps, ω = dθ/dt < 0 alors la vitesse angulaire pointe vers l’axe -z:

La règle de la main droite

Cette convention est appelée la règle de la main droite. Pour l’utiliser, recourbez les doigts de votre main droite. Alignez votre main avec l’objet qui tourne (dans ce cas, le disque) de telle sorte que suivre vos doigts des jointures jusqu’au bout des doigts donne la même rotation que celle que subit l’objet. Votre pouce indiquera alors le « sens » de la rotation.

La règle de la main droite et (x,y,z)

Lorsqu’on utilise une coordonnée cartésienne pour décrire un mouvement dans un plan, il est important d’utiliser un système de coordonnées droites afin que la définition de diverses quantités de rotation soit définie en termes de produit vectoriel. Dans l’exemple ci-dessus, cela signifie que si vous placez votre main droite de façon à ce que les doigts étendus coïncident avec l’axe + x, puis que vous tordez votre poignet de façon à ce que vos doigts se déplacent vers l’axe y lorsque vous fermez votre main en poing, le résultat sera que votre pouce pointe le long de +z. Cela sera conforme à la convention habituelle de mesurer l’angle en commençant par l’axe x et en considérant qu’un déplacement angulaire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre est positif.

Dessiner un système tournant

Le point de vue doit être aligné avec l’axe de rotation.

Lorsque vous dessinez un système tournant, il est important d’aligner votre point de vue avec l’axe de rotation. En d’autres termes, vous devez dessiner le système comme si vous regardiez juste le long de l’axe.

Représenter des vecteurs qui pointent droit vers ou loin de vous.

Parce que nous dessinons les systèmes en rotation comme si nous regardions le long de l’axe, il est impossible de dessiner une flèche représentant l’axe. L’axe linéaire ressemblera à un point depuis notre point de vue. C’est pourquoi il existe une convention pour dessiner une flèche qui pointe directement vers l’observateur ou qui s’en éloigne. La convention veut qu’une flèche pointant directement vers l’observateur soit dessinée comme un point encerclé. Une flèche pointant directement au loin est dessinée comme un « x » encerclé.

Représentation des vecteurs alignés avec l’observateur : porte du dessus et du dessous.

Image : Une porte est représentée le long de l’axe de rotation choisi selon différentes perspectives.

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