Tracé de Bode, marge de gain et marge de phase (plus diagrammes)

Qu’est-ce qu’un tracé de Bode

Un tracé de Bode est un graphique couramment utilisé en ingénierie des systèmes de contrôle pour déterminer la stabilité d’un système de contrôle. Un tracé de Bode cartographie la réponse en fréquence du système à travers deux graphiques – le tracé de magnitude de Bode (exprimant la magnitude en décibels) et le tracé de phase de Bode (exprimant le déphasage en degrés).

Les tracés de Bode ont été introduits pour la première fois dans les années 1930 par Hendrik Wade Bode alors qu’il travaillait aux Bell Labs aux États-Unis. Bien que les diagrammes de Bode offrent une méthode relativement simple pour calculer la stabilité du système, ils ne peuvent pas traiter les fonctions de transfert avec des singularités de demi-plan droit (contrairement au critère de stabilité de Nyquist).

La compréhension des marges de gain et des marges de phase est cruciale pour comprendre les diagrammes de Bode. Ces termes sont définis ci-dessous.

Marge de gain

Plus la marge de gain (GM) est grande, plus la stabilité du système est grande. La marge de gain fait référence à la quantité de gain, qui peut être augmentée ou diminuée sans rendre le système instable. Elle est généralement exprimée comme une grandeur en dB.

On peut généralement lire la marge de gain directement à partir du graphe de Bode (comme indiqué dans le diagramme ci-dessus). Pour ce faire, on calcule la distance verticale entre la courbe de magnitude (sur le graphe de Bode en magnitude) et l’axe des x à la fréquence où le graphe de Bode en phase = 180°. Ce point est connu comme la fréquence de croisement de phase.

Il est important de réaliser que le Gain et la Marge de Gain ne sont pas les mêmes choses. En fait, la marge de gain est le négatif du gain (en décibels, dB). Cela prendra tout son sens lorsque nous examinerons la formule de la marge de gain.

Formule de la marge de gain

La formule de la marge de gain (GM) peut être exprimée comme suit :

Où G est le gain. C’est la magnitude (en dB) telle que lue sur l’axe vertical du graphe de magnitude à la fréquence de croisement de phase.

Dans notre exemple montré dans le graphique ci-dessus, le Gain (G) est de 20. Par conséquent, en utilisant notre formule pour la marge de gain, la marge de gain est égale à 0 – 20 dB = -20 dB (instable).

Marge de phase

Plus la marge de phase (PM) est grande, plus la stabilité du système sera grande. La marge de phase fait référence à la quantité de phase, qui peut être augmentée ou diminuée sans rendre le système instable. Elle est généralement exprimée comme une phase en degrés.

Nous pouvons généralement lire la marge de phase directement à partir du tracé de Bode (comme indiqué dans le diagramme ci-dessus). Pour ce faire, on calcule la distance verticale entre la courbe de phase (sur le tracé de phase de Bode) et l’axe des x à la fréquence où le tracé de magnitude de Bode = 0 dB. Ce point est connu comme la fréquence de croisement du gain.

Il est important de réaliser que le retard de phase et la marge de phase ne sont pas les mêmes choses. Cela prendra tout son sens lorsque nous examinerons la formule de la marge de phase.

Formule de la marge de phase

La formule de la marge de phase (PM) peut être exprimée comme suit :

Où est le retard de phase (un nombre inférieur à 0). Il s’agit de la phase telle que lue sur l’axe vertical du graphe de phase à la fréquence de croisement du gain.

Ainsi, autre exemple, si le gain en boucle ouverte d’un amplificateur croise 0 dB à une fréquence où le retard de phase est de -120°, alors le retard de phase -120°. Par conséquent, la marge de phase de ce système de rétroaction est de -120° – (-180°) = 60° (stable).

Stabilité des diagrammes de Bode

Vous trouverez ci-dessous une liste résumée de critères pertinents pour dessiner les diagrammes de Bode (et calculer leur stabilité) :

1. Marge de gain : Plus grande sera la marge de gain plus grande sera la stabilité du système. Elle fait référence à la quantité de gain, qui peut être augmentée ou diminuée sans rendre le système instable. Elle est généralement exprimée en dB.
2. Marge de phase : Plus grande sera la marge de phase plus grande sera la stabilité du système. Elle fait référence à la phase qui peut être augmentée ou diminuée sans rendre le système instable. Elle est généralement exprimée en phase.
3. Fréquence de croisement du gain : Elle se réfère à la fréquence à laquelle la courbe de magnitude coupe l’axe de zéro dB dans le diagramme de bode.
4. Fréquence de croisement de phase : Elle fait référence à la fréquence à laquelle la courbe de phase coupe les fois négatives l’axe de 180o dans ce tracé.
5. Fréquence de coin : La fréquence à laquelle les deux asymptotes se coupent ou se rencontrent est connue comme fréquence de rupture ou fréquence de coin.
6. Fréquence de résonance : La valeur de la fréquence à laquelle le module de G (jω) a une valeur maximale est connue comme la fréquence de résonance.
7. Facteurs : Chaque fonction de transfert de boucle {c’est-à-dire G(s) × H(s)} produit de divers facteurs comme le terme constant K, les facteurs intégraux (jω), les facteurs du premier ordre ( 1 + jωT)(± n) où n est un nombre entier, les facteurs du second ordre ou quadratiques.
8. Pente : Il existe une pente correspondant à chaque facteur et la pente pour chaque facteur est exprimée en dB par décennie.
9. Angle : Il y a un angle correspondant à chaque facteur et l’angle pour chaque facteur est exprimé en degrés.

Maintenant il y a quelques résultats que l’on doit se rappeler pour tracer la courbe de Bode. Ces résultats sont écrits ci-dessous :

• Terme constant K : ce facteur a une pente de zéro dB par décennie. Il n’y a pas de fréquence de coin correspondant à ce terme constant. L’angle de phase associé à ce terme constant est également nul.
• Facteur intégral 1/(jω)n : Ce facteur a une pente de -20 × n (où n est un nombre entier)dB par décennie. Il n’y a pas de fréquence de coin correspondant à ce facteur intégral. L’angle de phase associé à ce facteur intégral est de -90 × n. Ici, n est également un nombre entier.
• Facteur de premier ordre 1/ (1+jωT) : Ce facteur a une pente de -20 dB par décennie. La fréquence d’angle correspondant à ce facteur est de 1/T radian par seconde. L’angle de phase associé à ce premier facteur est -tan- 1(ωT).
• Facteur de premier ordre (1+jωT) : Ce facteur a une pente de 20 dB par décennie. La fréquence d’angle correspondant à ce facteur est de 1/T radian par seconde. L’angle de phase associé à ce premier facteur est tan- 1(ωT) .
• Facteur de second ordre ou quadratique : : Ce facteur a une pente de -40 dB par décennie. La fréquence de coin correspondant à ce facteur est de ωn radian par seconde. L’angle de phase associé à ce premier facteur est
  

  

Comment dessiner un graphe de Bode

En gardant tous les points ci-dessus à l’esprit, nous sommes capables de dessiner un graphe de Bode pour tout type de système de contrôle. Maintenant, discutons de la procédure de dessin d’un tracé de Bode :

1. Substituer le s = jω dans la fonction de transfert en boucle ouverte G(s) × H(s).
2. Trouver les fréquences d’angle correspondantes et les tabuler.
3. Maintenant, on nous demande un graphique semi-log choisit une gamme de fréquences telle que le tracé doit commencer par la fréquence qui est inférieure à la fréquence d’angle la plus basse. Marquez les fréquences angulaires sur l’axe des x, marquez les pentes sur la partie gauche de l’axe des y en marquant une pente nulle au milieu et sur la partie droite marquez l’angle de phase en prenant -180o au milieu.
4. Calculez le facteur de gain et le type d’ordre du système.
5. Calculez maintenant la pente correspondant à chaque facteur.

Pour dessiner le graphe d’amplitude de Bode :

• Marquez la fréquence de coin sur le papier graphique semi-logarithmique.
• Tabuler ces facteurs en allant de haut en bas dans la séquence donnée.
  1. Terme constant K.
  2. Facteur intégral
  3. Facteur de premier ordre
  4. Facteur de premier ordre (1+jωT).
  5. Facteur du second ordre ou quadratique:
     

     

• Esquissez maintenant la ligne à l’aide de la pente correspondante du facteur donné. Changez la pente à chaque fréquence de coin en ajoutant la pente du facteur suivant. Vous obtiendrez le tracé de magnitude.
• Calculez la marge de gain.

Pour dessiner le tracé de phase de Bode :

1. Calculez la fonction de phase en ajoutant toutes les phases des facteurs.
2. Substituez diverses valeurs à la fonction ci-dessus afin de trouver la phase à différents points et tracez une courbe. Vous obtiendrez une courbe de phase.
3. Calculez la marge de phase.

Critère de stabilité de Bode

Les conditions de stabilité sont données ci-dessous :

1. Pour un système stable : Les deux marges doivent être positives ou la marge de phase doit être supérieure à la marge de gain.
2. Pour un système stable marginal : Les deux marges doivent être nulles ou la marge de phase doit être égale à la marge de gain.
3. Pour un système instable : Si l’une d’entre elles est négative ou la marge de phase doit être inférieure à la marge de gain.

Avantages d’un tracé de Bode

1. Il est basé sur l’approximation asymptotique, qui fournit une méthode simple pour tracer la courbe de magnitude logarithmique.
2. La multiplication des différentes magnitudes apparaît dans la fonction de transfert peut être traitée comme une addition, tandis que la division peut être traitée comme une soustraction car nous utilisons une échelle logarithmique.
3. Avec l’aide de ce tracé seulement, nous pouvons directement commenter la stabilité du système sans faire aucun calcul.
4. Les tracés de Bode fournissent une stabilité relative en termes de marge de gain et de marge de phase.
5. Ils couvrent également la gamme de basse fréquence à haute fréquence.