Traitement du signal analogique topologique

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Problème propre de Bloch

Le cristal massif est unidimensionnel avec une constante de réseau a et deux obstacles par cellule unitaire. Nous le modélisons et définissons sa topologie en utilisant la matrice de transfert Mcell d’une cellule unitaire. Nous commençons par définir les deux matrices de diffusion S1 et S2, comme les matrices de diffusion en champ lointain de chaque obstacle lorsqu’il est seul dans le guide d’onde monomode. Ces matrices relient les signaux complexes sortants à gauche (L) et à droite (R) des diffuseurs bL et bR aux signaux incidents, aL et aR:

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}. {b_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\N{b_{{{mathrm{R}},{{i}}}} \end{array}} \right) = S_i\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\N{a_{{{mathrm{R}},{{i}}}} \end{array}} \(2)
(2)

Notez que pour l’instant nous ne faisons pas l’hypothèse que les deux matrices sont égales : par exemple, les cylindres pourraient avoir des sections transversales différentes, ou être décalés l’un par rapport à l’autre, etc. Ces matrices dépendent aussi généralement de la fréquence angulaire ω. En supposant la conservation de l’énergie pendant le processus de diffusion, elles doivent être unitaires. On peut donc les paramétrer très généralement comme

$S_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}. {e^{i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1} & {e^{i\\i}alpha _1}{\mathrm{sin}}\theta _1} \\ { – e^{ – i\alpha _1}{\mathrm{sin}}\theta _1e^{i{\mathrm{\Phi }}_1} & {e^{ – i\varphi _1}{\mathrm{cos}\theta _1e^{i{\mathrm{\Phi }}_1}} \end{array}} \right),$$
(3)

$S_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {e^{i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2} & {e^{i\\i}alpha _2}{\mathrm{sin}}\theta _2} \\ { – e^{ – i\alpha _2}{\mathrm{sin}\theta _2e^{i{\mathrm{\Phi }}_2} & {e^{ – i\varphi _2}{\mathrm{cos}\theta _2e^{i{\mathrm{\Phi }}_2}} \end{array}} \right),$$
(4)

où les angles dépendant de la fréquence θ1,2, α1,2, ϕ1,2, et Φ1,2 sont uniques une fois que l’on fixe le plan de référence, ici à la position centrale des diffuseurs. En supposant la réciprocité (S21 = S12), on doit avoir 2α1,2 – Φ1,2 = π, ce qui nous restreint à trois paramètres par matrice de diffusion, permettant d’écrire :

$S_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {e^{i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1} & {e^{i\\i}alpha _1}{\mathrm{sin}}\theta _1} \\ {e^{i\i}alpha _1}{\mathrm{sin}\theta _1} & { – e^{ – i\varphi _1}{\mathrm{cos}\theta _1e^{2i\\alpha _1}} \end{array}} \right),$$
(5)

$S_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {e^{i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2} & {e^{i\\i}alpha _2}{\mathrm{sin}}\theta _2} \\ {e^{i\alpha _2}{\mathrm{sin}\theta _2} & { – e^{ – i\varphi _2}{\mathrm{cos}\theta _2e^{2i\alpha _2}} \end{array}} \right).$$
(6)

On peut alors dériver les matrices de transfert associées M1 et M2, définies comme

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{b}}_{{\mathrm{R}},{{i}}}} \\N- {a_{{{mathrm{R}},{{i}}}} \end{array}} \right) = M_{i}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\N{b_{{{{mathrm{L}},{{i}}}} \end{array}} \right)$$
(7)

et obtient

$M_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{e^{i\alpha _1}}}{{{\mathrm{sin}}\theta _1}}} & { – \frac{{e^{ – i\varphi _1}e^{i\alpha _1}{\mathrm{cos}\theta _1}}{{\mathrm{sin}\theta _1}} \\N{ – \frac{{{e^{i\varphi _1}e^{ – i\alpha _1}{\mathrm{cos}\theta _1}}{{\mathrm{sin}\theta _1}} & {\frac{{e^{ – i\alpha _1}}{{{{mathrm{sin}}\theta _1}}} \end{array}} \right),$$
(8)

$M_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {\frac{{e^{i\alpha _2}}{{{{mathrm{sin}}\theta _2}}} & { – \frac{{e^{ – i\varphi _2}e^{i\alpha _2}{\mathrm{cos}\theta _2}}{{\mathrm{sin}\theta _2}} \\N{ – \frac{{{e^{i\varphi _1}e^{ – i\alpha _2}{\mathrm{cos}\theta _2}}{{\mathrm{sin}\theta _2}} & {\frac{{e^{ – i\alpha _2}}{{{{mathrm{sin}}\theta _2}} \end{array}} \right).$$
(9)

Si les deux diffuseurs sont séparés par une distance d dans une cellule unitaire de constante de réseau a, la matrice de transfert totale de la cellule unitaire Mcell est le produit :

${{\it{M}}_{{\mathrm{cell}} = {\it{M}}_{\frac{{{{a – d}}}}{2}}{\it{M}}_2{\it{M}}_{{d}}{\it{M}}_1{\it{M}}_{\frac{{{{a – d}}}}{2}}$
(10)

avec

$M_{{L}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {e^{\frac{{{i\omega L}}{c}}} & 0 \\\N 0 & {e^{ – \frac{{{i\omega L}}{c}} \end{array}} \right),$$
(11)

où \(L = d,\frac{a – d}{2},\) et c est la vitesse de phase. On obtient, après avoir pris le produit matriciel,

${\it{M}}_{{\mathrm{cell}}\left( \omega \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {M_{11}\left( \omega \right)} & {M_{21}^ \ast \left( \omega \right)} \\ {M_{21}\left( \omega \right)} & {M_{11}^ \ast \left( \omega \right)} \end{array}} \right)$$
(12)

with

${\it{M}}_{11}\left( \omega \right) = e^{{frac{{i\omega a}}{c}}e^{i\left( {a_1 + a_2} \right)}{\mathrm{csc}}\theta _1{\mathrm{csc}}\theta _2 + e^{\frac{{i\omega \left( {a – 2d} \right)}}{c}e^{i\left( {\varphi _1 – \varphi _2} \right)}e^{ – i\left( {a_1 – a_2} \right)}{\mathrm{cot}\theta _1{\mathrm{cot}\theta _2,$$
(13)

$M_{21}\left( \omega \right) = – e^{\frac{{{i\omega d}}{c}e^{i\varphi _2}e^{i(a_1 – a_2)}{\mathrm{csc}\theta _1{\mathrm{cot}\theta _2 – e^{ – \frac{{{i\omega d}{c}}e^{i\varphi _1}e^{ – i(a_1 + a_2)}{\mathrm{cot}\theta _1{\mathrm{csc}\theta _2.$$
(14)

Nous utilisons la notation z* pour désigner le conjugué complexe de z. En notant |ψ〉 = T, avec a et b étant les amplitudes de champ complexes avant et arrière à l’entrée de la cellule unitaire, l’application du théorème de Bloch donne le problème de valeur propre suivant,

${\it{M}}_{\mathrm{cell}}\left( \omega \right)\left| \psi \right\rangle = e^{i\,k_{\mathrm{B}}a}\left| \psi \right\rangle$$
(15)

que nous appelons le problème propre de Bloch du cristal. Notez la dépendance non triviale de Mcell(ω) sur ω. L’utilisation la plus directe de l’équation ci-dessus est la suivante : pour toutes les valeurs de ω, on peut diagonaliser Mcell(ω), et obtenir deux valeurs opposées ±kB(ω) du nombre d’onde de Bloch dans la première zone de Brillouin, et résoudre la structure de bande. Notez que Mcell n’est pas unitaire et n’est pas hermitien, ce qui signifie qu’en général, les valeurs ±kB(ω) sont complexes, permettant en principe un nombre infini de bandes et de bandes interdites. Notez en outre la différence avec le modèle SSH standard à liaison étroite, qui conduit à un problème de valeur propre hermitien qui fait correspondre le cercle de Brillouin à l’espace des matrices SU(2), et à une classification topologique claire des systèmes symétriques chiraux via le nombre d’enroulements. Ici, conformément à la symétrie temporelle inverse54, \(M_{{\mathrm{cell}}\left( \omega \right) \in {\mathrm{{SU}}(1,1)\), un groupe de matrices non hermitiennes55. Les hamiltoniens SU(1,1) se trouvent, par exemple, dans les extensions symétriques PT du modèle de liaison serrée SSH56 où la non-hermiticité du hamiltonien provient de l’absence de conservation de l’énergie. Ici, Mcell n’est pas un hamiltonien, dans le sens où ses valeurs propres ne sont pas liées à ω, mais à kB, et la pseudo-anti-hermititude de Mcell (\(\sigma _{\mathrm{z}}{\it{M}}_{\mathrm{cell}}^{\mathrm{\dagger }}\sigma _{\mathrm{z}} = – {\it{M}}_{\mathrm{cell}}\)) est liée à la symétrie de renversement du temps. Dans la figure supplémentaire 11, nous représentons la structure de bande obtenue à partir de l’approche de la matrice de transfert, et nous la comparons à celle obtenue directement à partir de simulations pleine onde de la cellule unitaire soumise à des conditions limites périodiques (méthode FEM). Pour résoudre le problème des valeurs propres de la matrice de transfert, les paramètres θ1,2, α1,2 et Φ1,2, qui dépendent de la fréquence, ont été extraits de simulations de diffusion par FEM d’un obstacle unique dans un guide d’ondes. La distance entre les deux diffuseurs est prise égale à \(d = \frac{a}{2} – e_{\mathrm{p}}\), avec ep = 2,8 cm (cas « trivial ») et a = 23 cm. Le diamètre de la tige est de 3,5 cm et la largeur du guide d’ondes est de 7 cm. L’accord entre les deux approches valide la précision du modèle de diffusion multiple, en particulier l’hypothèse sous-jacente d’absence d’interactions en champ proche entre les obstacles dans le cristal.

Propriétés de la matrice de transfert de la cellule unitaire

Pour définir la topologie du système dans la section suivante, nous devons d’abord établir quelques propriétés clés de la matrice de transfert de la cellule unitaire. Nous commençons par des propriétés générales, avant de passer à des propriétés plus spécifiques sur une bande ou aux points dégénérés de la structure de bande.

Comme conséquence directe de la symétrie de renversement temporel54, la matrice de transfert du système Mcell appartient au groupe SU(1,1) des matrices de la forme

$M_{{\mathrm{{cell}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}. \alpha & {\beta ^ \ast } \\N- \N- \N- \N- \N- \N- & {\alpha ^ \ast } \end{array}} \right)$$
(16)

qui est paramétrée en utilisant les matrices de Pauli comme

${\it{M}}_{\mathrm{cell}} = \alpha _{\mathrm{R}}\sigma _0 + \beta _{\mathrm{R}}\sigma _x + \beta _{\mathrm{I}}\sigma _y + i\alpha _{\mathrm{I}}\sigma _{\mathrm{z}.$$
(17)

Ses valeurs propres, données par \(\lambda _ \pm = \alpha _{\mathrm{R}} \pm i\sqrt {\alpha _{\mathrm{I}}^2 – \beta _{\mathrm{R}}^2 – \beta _{\mathrm{I}}^2}\) sont réelles lorsque \(\alpha _{\mathrm{I}}^2 < \left| \beta \right|^2\), et complexes sinon. Ces valeurs propres sont dégénérées sous la condition \(\alpha _{\mathrm{I}}^2 – \beta _{\mathrm{R}}^2 – \beta _{\mathrm{I}}^2 = 0\), c’est-à-dire lorsque les paramètres βR, βI et αI appartiennent à un double cône dans l’espace (βR, βI, αI). Ce cône est représenté dans les panneaux inférieurs de la figure 6. A la pointe du cône, on a βR = βI = αI = 0, ce qui signifie que Mcell se réduit à Mcell = αRσ0.

Fig. 6
figure6

Topologie des bandes. Nous définissons la topologie des bandes comme le nombre de fois où le contour \(\mathcal{C}\) croise l’axe du cône défini dans Eq. 20. a Pour le réseau trivial, le contour \(\mathcal{C}\) ne croise pas l’axe du cône, ce qui correspond à un invariant topologique nul. b Lorsque le système passe par une transition de phase, le contour \(\mathcal{C}\) touche la pointe du cône. L’invariant topologique ne peut pas être défini dans ce cas. c Identique aux panneaux (a) et (b) mais pour le réseau topologique. Le contour \(\mathcal{C}\) traverse l’axe du cône une fois dans ce cas, ce qui correspond à une topologie non triviale

Sur une bande, la matrice Mcell a une forme particulière. En effet, le problème propre de Bloch implique que \(\alpha _{\mathrm{R}} \pm i\sqrt {\alpha _I^2 – \left| \beta \right|^2} = e^{i\,k_{\mathrm{B}}a}\), d’où il résulte que

${\it{\alpha }}_{\mathrm{R}} = {\mathrm{cos}\left( {k_{\mathrm{B}}}a} \right)$$
(18)

et

$$\left| \alpha \right|^2 = 1 + \left| \beta \right|^2$$
(19)

impliquant \(\alpha _{\mathrm{I}}^2 + \alpha _{\mathrm{R}}^2 = 1 + \left| \beta \right|^2\), ce qui est équivalent à \(\alpha _{\mathrm{I}}^2 = {\mathrm{sin}}^2(k_{\mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2\), ou

${\it{\i1}alpha }}_{\mathrm{I}} = \pm \sqrt {{\mathrm{sin}}^2({\it{k}}}_{\mathrm{B}}{\it{}a}) + \left| \beta \right|^2}.$$
(20)

Sur une bande, on a donc

$M_{{\mathrm{cell}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathrm{cos}}(k_{\mathrm{B}}a) \pm i\sqrt {{\mathrm{sin}^2(k_{\mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2} } & {\beta \ast } \\\\\N- \N- Beta & {{\mathrm{cos}}(k_{\mathrm{B}}a) \mp i\sqrt {{\mathrm{sin}^2(k_{\mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2} } } \end{array}} \right).$$
(21)

En conséquence, une bande décrit une correspondance biunivoque du cercle de Brillouin sur un chemin fermé \(\mathcal{C}\) dans le sous-espace des matrices SU(1,1) Mcell(kB) avec la forme ci-dessus. Du problème des valeurs propres de Bloch \(M_{{\mathrm{cell}}\left( \omega \right)\left| \psi \right\rangle = e^{i\,k_{\mathrm{B}}a}\left| \psi \right\rangle\), on en déduit que sur une bande, Mcell(ω) a des valeurs propres complexes, ce qui signifie que \(\alpha _{\mathrm{I}}^2 > \left| \beta \right|^2\), c’est à dire que le chemin \(\ i)c’est-à-dire que le chemin \(\mathcal{C}\) doit être à l’intérieur du cône, soit dans la région supérieure αI > |β|, soit dans la région inférieure αI < -|β|. De plus, le chemin \(\mathcal{C}\) ne peut toucher le cône que lorsque les valeurs propres de Mcell, à savoir \(e^{i\,k_{\mathrm{B}}a}\), sont dégénérées. C’est nécessairement le cas aux bords de la zone de Brillouin : \(\left( {k_{\mathrm{B}} = \pm \frac{\pi }{a}} \right)\), et à son centre kB = 0. Entre les deux, \(\mathcal{C}\) ne peut pas toucher le cône, puisque deux valeurs propres distinctes \(e^{ \pm i\,k_{\mathrm{B}}a}\) doivent être trouvées, en vertu de la symétrie inverse du temps. Enfin, le chemin \(\mathcal{C}\) n’est pas une boucle, mais une simple ligne, puisque Mcell est une fonction simple de ω, et est donc le même pour deux valeurs opposées de kB sur une bande : elle part du cône à \(k_{\mathrm{B}} = – \frac{\pi }{a}\) et s’y pose à nouveau à kB = 0, avant de suivre le chemin inverse entre kB = 0 et \(k_{\mathrm{B}} = \frac{\pi }{a}\). La figure 6a représente un exemple de contour \(\mathcal{C}\) pour la troisième bande du cristal (cas supposé topologiquement « trivial », avec ep = 2,8 cm), et la figure 6c représente le même contour pour ep = -2,8 cm, correspondant au système dual, qui est supposé topologique (les propriétés topologiques seront prouvées dans la section suivante). La figure 6b représente le cas ep = 0 cm qui ferme les bandes interdites. Comme prévu, dans tous les cas, le contour commence et se termine sur le cône.

Pour étudier les conditions dans lesquelles deux bandes de fréquences consécutives peuvent se toucher, il est commode de refondre le problème propre de Bloch sous la forme équivalente:

$e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{\mathrm{cell}}\left( \omega \right)\left| {\psi \rangle } \right. = \left| {\psi \rangle } \right.$$
(22)

et pensez-y comme suit : pour chaque kB dans la première zone de Brillouin, trouver les bandes signifie trouver les valeurs de ω pour lesquelles la matrice \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{\mathrm{cell}}}) a au moins une valeur propre égale à un, le vecteur propre correspondant étant le vecteur propre de Bloch sur cette bande particulière. Cela peut se produire pour une infinité de valeurs de ω. Si les deux valeurs propres de \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{{\mathrm{cell}}\) à une fréquence donnée sont égales à un, la structure de bande est doublement dégénérée, ce qui correspond donc à la dégénérescence de fréquence maximale autorisée par le système. Puisque la forme générale des valeurs propres de \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{\mathrm{cell}}\) sur une bande est \(\upsilon _ \pm = e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}\left( {\alpha _{\mathrm{R}} \pm i\sqrt {\alpha _{\mathrm{I}}^2 – \left| \beta \right|^2} } \right) = e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}e^{ \pm i\,k_{\mathrm{B}}a}\), la deuxième valeur propre \(e^{ – 2i\,k_{\mathrm{B}}a}\) ne peut devenir égale à l’unité qu’aux bords de la zone de Brillouin \(\left( {k_{\mathrm{B}} = \pm \frac{\pi }{a}} \right)\), ou à kB = 0. Par conséquent, les bandes interdites ne peuvent se fermer qu’au centre ou au bord de la zone de Brillouin, c’est-à-dire lorsque le contour \(\mathcal{C}\) touche le cône.

En supposant le premier cas, c’est-à-dire une dégénérescence à \(k_{\mathrm{B}} = \pm \frac{\pi }{a}\), on a \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a} = – 1\). On obtient, à la fréquence particulière de la dégénérescence,

$e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{\mathrm{cell}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 \mp i\left| \beta \right|} & { – \beta \ast } \\\N- { – \beta } & {1 \pm i\left| \beta \right|} \end{array}} \right)$$
(23)

et cette matrice ne peut être égale à l’identité que si \(\left| \beta \right| = 0\). Le deuxième cas de dégénérescence à kB = 0 conduit à la même conclusion : \((\left| \beta \right| = 0)\). Cela signifie que lorsque deux bandes se touchent, le contour \(\mathcal{C}\) atteint la pointe du cône, comme le confirme la figure 6b.

Topologie des bandes

Comme vu dans les sections précédentes, chaque bande définit une correspondance entre le cercle de Brillouin et un sous-espace de matrices SU(1,1). Nous définissons maintenant un invariant topologique pour chaque bande, c’est-à-dire une quantité entière qui est invariante lors de transformations continues de la structure de la bande. Cela signifie que ce nombre ne peut changer que lorsque la bande subit une transformation discontinue, c’est-à-dire qu’elle en touche une autre, ou de manière équivalente lorsque le contour \(\mathcal{C}\) touche la pointe du cône.

Comme dans le modèle SSH standard à liaison étroite, nous avons besoin d’une symétrie supplémentaire, apparentée à la symétrie chirale, pour pouvoir définir des invariants topologiques sur chaque bande. Ici, nous devons exiger que les matrices de diffusion S1 et S2 soient égales, en prenant θ1 = θ2 =θ, α1,2 = α1,2 = α et φ1 = φ2 = φ. Avec cette condition supplémentaire, la quantité \(\beta = M_{21}\left( {\omega (k_{\mathrm{B}})} \droite)\) dans l’équation 14, qui paramétrise la quantité \bêta. 14, qui paramétrise la matrice Mcell sur une bande, devient

$\beta \left( {k_{\mathrm{B}}} \right) = – 2e^{i\left( {\varphi – \alpha } \right)}\cos \left( {\alpha + \frac{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}{c}} \right)\cot \theta \csc \theta,$$
(24)

où les quantités α, θ et φ qui paramètrent la matrice S d’un seul obstacle dépendent généralement de ω(kB). On suppose alors le cas de diffuseurs non résonants, c’est-à-dire que cos θ ne disparaît pas sur la bande, et que la variation de α et θ sur la bande est négligeable. Puisque Mcell a toujours deux valeurs propres unimodulaires complexes-conjuguées, ω(kB) est nécessairement monotone entre -π/a et 0. Concentrons notre attention sur la quantité \(\cos \left( {\alpha + \frac{{omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}{c}}), \right)\), qui est le résultat d’une analyse de l’effet de l’augmentation de l’intensité du rayonnement sur la bande. \right)\), ce qui peut potentiellement faire disparaître le nombre complexe β(kB) en un point particulier de la zone de Brillouin. Lorsque kB passe de -π/a à 0, l’angle \(\gamma = \alpha + \frac{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}{c}\) se déplace de façon monotone entre deux valeurs réelles, disons γmin et γmax, définissant une correspondance monotone continue entre \(\left\) et . Or, deux situations peuvent se présenter :

  1. (1)

    Le segment ne contient pas π/2 (modulo π), auquel cas \(\cos \left( {\alpha + \frac{{omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}{c}}}. \right)\) ne disparaît jamais lorsque kB passe de -π/a à 0. Cela signifie que β ne disparaît jamais sur la bande.

  2. (2)

    Le segment contient π/2 (modulo π), auquel cas β disparaît au moins une fois sur la bande.

Puisque β = 0 signifie que le contour \(\mathcal{C}\) traverse l’axe du cône, nous pouvons donc définir un invariant topologique η de la manière suivante : Nous pouvons compter le nombre de fois η que \(\mathcal{C}\) croise l’axe du cône lorsque kB passe de -π/a à 0. Ce nombre entier change chaque fois que γmax ou γmin est égal à π/2 (modulo π), c’est-à-dire lorsque β est nul soit au bord soit au centre de la zone de Brillouin, c’est-à-dire lorsqu’une bande interdite se ferme. La figure 6 montre comment le contour \(\mathcal{C}\) évolue pour la troisième bande de notre système, lorsqu’on passe du régime trivial (panneau a, \(\mathcal{C}\) ne croise pas l’axe du cône, η = 0) au régime topologique (panneau c, \(\mathcal{C}\) croise l’axe du cône, η = 1). Lors de la transition de phase topologique, le contour \(\mathcal{C}\) touche la pointe du cône, ce qui ferme la bande interdite, et le nombre η n’est pas défini.

Protection des symétries

La définition de l’invariant topologique η comme le nombre de fois où le contour \(\mathcal{C}\) traverse l’axe du cône entre -π/a à 0 est basée sur deux symétries sous-jacentes, et toutes deux doivent être satisfaites :

  1. (1) Symétrie de retournement temporel, qui garantit que Mcell appartient à SU(1,1)55.

  1. (2) Égalité de S1 et S2 (les matrices de diffusion individuelle en champ lointain des deux obstacles doivent être identiques), ou de manière équivalente:

$$M_{{\mathrm{cell}}^2 = 1.$$
(25)

De toute évidence, le désordre de position horizontal ne modifie pas les paramètres de diffusion individuels de l’objet. De plus, le désordre de position verticale ne le change pas non plus, comme le montre la figure supplémentaire 12 (la seule différence dans le spectre de diffusion sont des interférences de Fano très nettes provenant du couplage à un état lié acoustique dans le continuum, mais elles sont loin de la gamme de fréquences d’intérêt). Par conséquent, le désordre de position ne se rompt pas \(M_{{\mathrm{cell}}^2 = 1\). Cependant, la modification du diamètre d’une tige change définitivement sa matrice de diffusion. Ce qui se passe dans le cas de tiges avec des rayons différents est que la partie réelle et imaginaire de la quantité

$$\beta \left( {k_{\mathrm{B}}} \right) = – e^{\frac{{i\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}{c}e^{i\varphi _2}e^{i(a_1 – a_2)}\csc \theta _1\\cot \theta _2 – e^{ – \frac{ i\omega \left( {k_{\mathrm{B}} \right)d}{c}}e^{i\\varphi _1}e^{ – i(a_1 + a_2)}\cot \theta _1\csc \theta _2$$
(26)

ne sont jamais nuls simultanément, ce qui implique que le contour \(\mathcal{C}\) peut éviter de traverser l’axe du cône en le contournant simplement. Ceci est analogue à une chaîne SSH sans symétrie chirale, où certains défauts de rupture de chiralité correctement choisis à une interface peuvent changer le nombre d’enroulement sans fermer la bande interdite. Ces résultats expliquent le résultat des simulations pleine onde présentées dans la figure 3 du texte principal.

Méthodes numériques

Les simulations pleine onde sont toutes réalisées à l’aide de Comsol Multiphysics (modules Acoustique et RF). Les courbes de dispersion sont obtenues en considérant une seule cellule unitaire des réseaux de treillis, en appliquant la condition limite de Floquet aux côtés latéraux de la cellule unitaire et en effectuant des simulations de fréquence propre pour tous les nombres d’onde de Floquet-Bloch.

Pour obtenir les spectres de fréquence des solveurs ODE, nous excitons le système avec une onde plane incidente d’amplitude unitaire et nous mesurons la quantité de pression du côté de la transmission du guide d’ondes.

Afin de valider de manière croisée nos mesures expérimentales, nous avons réalisé des simulations numériques par éléments finis incluant une perte viscothermique de 1,15 dB/m pour obtenir une fonction de transfert X(ω), par exemple, entre les ondes sonores injectées et transmises. Nous avons ensuite obtenu la fonction de transfert du haut-parleur Y(ω) en excitant le guide d’ondes vide et en mesurant le niveau de pression acoustique associé du côté de la transmission. La fonction de transfert Z(ω), entre la tension appliquée au haut-parleur et la pression transmise, a alors été facilement obtenue comme \(Z\left( \omega \right) = X(\omega )/Y(\omega )\).

Dans nos simulations FDTD, nous excitons le guide d’ondes à partir d’une extrémité avec le signal d’entrée modulé souhaité, et enregistrons l’évolution temporelle du champ de pression (avec un pas de temps soumis à la condition Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) pour assurer la stabilité) reçu en un point de l’autre côté du guide d’ondes.

Méthodes expérimentales

Comme mentionné dans le texte principal, un tube carré en acrylique est utilisé pour mettre en œuvre le guide d’ondes acoustiques. Des cylindres coulés continus en nylon 6 ont ensuite été insérés manuellement dans le guide d’ondes pour former le réseau de type SSH. La figure supplémentaire 13a représente le montage expérimental utilisé pour réaliser la fonction de transfert du système. Le dispositif comprend un haut-parleur, un analyseur de signaux Data Physics Quattro connecté à un ordinateur (non représenté sur la figure) qui le contrôle, un microphone ICP mesurant le niveau de pression acoustique transmis et une terminaison anéchoïque de fabrication artisanale (non représentée sur la figure). Pour obtenir la fonction de transfert de l’échantillon, nous pilotons le haut-parleur avec une tension de bruit de fond (qui est définie comme le signal de référence dans la configuration), et nous mesurons le niveau de pression par rapport au canal de référence à l’aide du microphone ICP. La figure supplémentaire 13b montre le montage expérimental utilisé pour créer un signal d’entrée (tension) avec un profil temporel arbitraire \(\tilde g(t)\), et pour mesurer l’évolution temporelle du signal de sortie \(\tilde f(t)\). L’installation se compose d’une machine cible en temps réel Speedgoat Performance avec interface IO131 contrôlée par l’environnement cible xPC de MATLAB/Simulink, d’un haut-parleur, d’un amplificateur de puissance, d’une terminaison acoustique artisanale (non représentée sur la figure), et d’un microphone ICP mesurant la pression transmise.