Treillis de Bravais

En géométrie et en cristallographie, un treillis de Bravais, du nom d’Auguste Bravais (1850), est un réseau infini de points discrets générés par un ensemble d’opérations de translation discrètes décrites dans un espace à trois dimensions par :

R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 {\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}

(1)

où les ni sont des entiers quelconques et les ai sont des vecteurs primitifs qui se trouvent dans des directions différentes (pas nécessairement mutuellement perpendiculaires) et couvrent le treillis. Le choix des vecteurs primitifs pour un réseau de Bravais donné n’est pas unique. Un aspect fondamental de tout treillis de Bravais est que, pour tout choix de direction, le treillis apparaîtra exactement le même depuis chacun des points discrets du treillis lorsqu’on regarde dans cette direction choisie.

En cristallographie, le concept de treillis de Bravais d’un réseau infini de points discrets est étendu en utilisant le concept de cellule unitaire qui inclut l’espace entre les points discrets du treillis ainsi que tous les atomes dans cet espace. Il existe deux types principaux de cellules unitaires : les cellules unitaires primitives et les cellules unitaires non primitives.

Une cellule unitaire primitive pour un réseau de Bravais donné peut être choisie de plus d’une façon (chaque façon ayant une forme différente), mais chaque façon aura le même volume et chaque façon aura la propriété qu’une correspondance univoque peut être établie entre les cellules unitaires primitives et les points discrets du réseau. La cellule primitive évidente à associer à un choix particulier de vecteurs primitifs est le parallélépipède formé par ceux-ci. C’est-à-dire, l’ensemble de tous les points r de la forme :

r = x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 où 0 ≤ x i < 1 {\displaystyle}. \mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}\qquad {\text{where }}0\leq x_{i}<1}

(2)

L’utilisation du parallélépipède défini par les vecteurs primitifs comme cellule unitaire a l’inconvénient dans certains cas de ne pas révéler clairement la symétrie complète du réseau. Une solution consiste à utiliser la cellule primitive de Wigner-Seitz (constituée de tous les points de l’espace qui sont plus proches du point de treillis donné que de tout autre point de treillis) qui affiche la symétrie complète du treillis. Une autre solution consiste à utiliser une cellule unitaire non primitive qui présente la symétrie totale du réseau. Le volume de la cellule unitaire non primitive sera un multiple entier du volume de la cellule unitaire primitive.

La cellule unitaire, qu’elle soit primitive ou non, lorsqu’elle est répliquée une fois pour chaque point discret du treillis, doit remplir exactement tout l’espace sans chevauchement ni vide.

Le concept élargi de treillis de Bravais, incluant la cellule unitaire, est utilisé pour définir formellement un arrangement cristallin et ses frontières (finies). Un cristal est constitué d’un arrangement périodique d’un ou plusieurs atomes (la base ou le motif) apparaissant exactement une fois dans chaque cellule unitaire primitive. La base peut être constituée d’atomes, de molécules ou de chaînes de polymères de matière solide. Par conséquent, le cristal a le même aspect lorsqu’il est observé dans une direction donnée à partir de n’importe quels points équivalents dans deux cellules unitaires différentes (deux points dans deux cellules unitaires différentes du même réseau sont équivalents s’ils ont la même position relative par rapport à leurs limites individuelles de cellules unitaires).

Deux réseaux de Bravais sont souvent considérés comme équivalents s’ils ont des groupes de symétrie isomorphes. En ce sens, il existe 14 treillis de Bravais possibles dans l’espace tridimensionnel. Les 14 groupes de symétrie possibles des treillis de Bravais sont 14 des 230 groupes d’espace. Dans le contexte de la classification des groupes d’espace, les treillis de Bravais sont également appelés classes de Bravais, classes arithmétiques de Bravais ou troupeaux de Bravais.