Abel-csoport

BY admin

| november 24, 2021

Ez a szócikk a csoportelmélet egyik alapvető definíciójáról szól. A cikk szövege azonban tartalmazhat haladó anyagot is.
Nézd meg! Erre épülő definíciók | Tények erről: (az Abel-csoporttal szorosan összefüggő tények, az Abel-csoporttal kapcsolatos összes tény) |Felmérő cikkek erről | Felmérő cikkek az erre épülő definíciókról
NÉZETI VEZETÉKEK: Ennek analógiái | Ennek változatai | Ennek ellentétei |

Ez a szócikk egy olyan csoporttulajdonságot határoz meg, amely sarkalatos (azaz, fontos) a létező csoporttulajdonságok között
Sarkalatos csoporttulajdonságok listájának megtekintése | A csoporttulajdonságok teljes listájának megtekintése

Történet

A kifejezés eredete

Az abéli csoport kifejezés Niels Henrick Abel matematikustól származik, aki még a formális elmélet megalkotása előtt csoportokkal foglalkozott, hogy a kvintikus megoldatlanságát bizonyítsa.

Az abeli szót általában kis a-val kezdik.

wikinote: A wiki néhány régebbi tartalma nagy A-t használ az abeli szóra. Igyekszünk frissíteni ezt a tartalmat.

Definíció

Az abéli csoport olyan csoport, ahol bármely két elem ingadozik. Szimbólumokban egy $G$ csoportot abéliumosnak nevezünk, ha a $G$ bármely $x$ és $y$ elemére $xy = yx$ (itt $xy$ a $x$ és $y$ $G$ szorzatát jelöli). Megjegyezzük, hogy $x,y$ lehet egyenlő, bár az egyenlő elemek amúgy is ingáznak, így ha akarjuk, korlátozhatjuk a figyelmet az egyenlőtlen elemekre.

Teljes definíció

Az abéliumi csoport egy olyan $G$ halmaz, amely egy (infix) bináris művelettel $+$ (amit összeadásnak vagy csoportműveletnek nevezünk), egy azonossági elemmel $0$ és egy (prefix) unáris művelettel $-$ , amit inverz térképnek vagy negációs térképnek nevezünk, és amely kielégíti a következőket:

Bármely $a,b,c \in G$ esetén $a + (b + c) = (a + b) + c$ . Ezt a tulajdonságot asszociativitásnak nevezzük.
Bármely $a \in G$ , $a + 0 = 0 + a = a$ . $0$ tehát az additív azonossági elem vagy semleges elem szerepét tölti be.
Bármely $a \in G$ , $a + (-a) = (-a) + a = 0$ . Így $-a$ a $a$ inverz eleme $+$ tekintetében.
Bármely $a,b \in G$ , $a + b = b + a$ . Ezt a tulajdonságot nevezzük kommutativitásnak.

Egyenértékű megfogalmazások

Egy $G$ csoportot abéliumosnak nevezünk, ha kielégíti a következő egyenértékű feltételeket:

Központja $Z(G)$ az egész csoport.
Származó alcsoportja $G' =$ triviális.
(Válasszunk egy $S$ generáló halmazt $G$ számára). Bármely $a,b \in S$ elemekre $ab = ba$ .
Az $\{ (g,g) \mid g \in G \}$ diagonális alcsoport $G \times G$ belsejében normális alcsoport.

Jegyzet

Ha $G$ abéli csoport, akkor általában additív jelölést és terminológiát használunk. Így a csoport szorzását összeadásnak, két elem szorzatát pedig összegnek nevezzük.

A csoport szorzására a $+$ infixoperátort használjuk, így két $a$ és $b$ elem összegét $a + b$ -vel jelöljük. A csoportos szorzást összeadásnak, a két elem szorzatát pedig összegnek nevezzük.
Az azonossági elemet jellemzően $0$ -vel jelöljük, és nullának nevezzük
Egy elem inverzét negatív vagy additív inverzének nevezzük. A $a$ inverzét $-a$
$a + a + \ldots + a$ tett $n$ alkalommal $na$ jelöli, (ahol $n \in \mathbb{N}$ ) míg $(-a) + (-a) + (-a) + (-a) + \ldots + (-a)$ done $n$ alkalommal $(-n)a$ .

Ezt a konvenciót tipikusan olyan helyzetben követjük, amikor az $G$ abeli csoportot önmagában, nem pedig egy esetleg nem abeli csoport alcsoportjaként kezeljük. Ha egy nem-abeli csoport alcsoportjaival dolgozunk, akkor jellemzően multiplikatív jelölést használunk, még akkor is, ha az alcsoport történetesen abéliumos.

Példák

NÉZET: e tulajdonságot kielégítő csoportok | e tulajdonságot nem kielégítő csoportok
NÉZET: Kapcsolódó csoporttulajdonságot kielégítő csoportok | Kapcsolódó csoporttulajdonságot nem kielégítő csoportok

Egy pár végtelen példa

Az egész számok additív csoportja $\mathbb{Z}$ , a racionális számok additív csoportja $\mathbb{Q}$ , a valós számok additív csoportja $\mathbb{R}$ , a nem nulla racionális számok multiplikatív csoportja $\mathbb{Q}^*$ , és a nem nulla valós számok multiplikatív csoportja $\mathbb{R}^*$ néhány példa az abéli csoportokra.

(Általánosabban: bármely mező esetén az additív csoport és a nem nulla elemek multiplikatív csoportja Abel-csoportok.

véges példák

A ciklikus csoportok jó példái az abel-csoportoknak, ahol a $n$ rendű ciklikus csoport az egész számok modulo $n$ csoportja.

Továbbá ciklikus csoportok bármely egyenes szorzata szintén abéliumi csoport. Továbbá minden véges generált abéli csoportot így kapunk. Ez a híres struktúra-tétel a véges generált abéli csoportok számára.

A struktúra-tétel felhasználható a véges abéli csoportok teljes listájának előállítására, ahogyan azt itt leírtuk: Classification of finite Abelian groups.

Nem példák

Nem minden csoport abéli. A legkisebb nem abbéli csoport a három betűre vonatkozó szimmetrikus csoport: a három betűre vonatkozó összes permutáció csoportja, kompozíció alatt. Az, hogy nem abéliumos, azon múlik, hogy a permutációk sorrendje számít.

Tények

Együttesek mint alcsoportok

Minden ciklikus csoport abéliumos. Mivel minden csoportot a ciklikus alcsoportjai generálnak, minden csoportot abéli alcsoportok családja generál. Nehezebb kérdés: léteznek-e abéli normális alcsoportok? Az abéli normál alcsoportok jó jelöltje a centrum, amely a csoport azon elemeinek gyűjteménye, amelyek a csoport minden elemével ingadoznak.

Együttesek mint kvóták

Minden csoport maximális abéli hányadosát abélizálásnak nevezzük, és ez a hányados a származtatott alcsoport. Egy alcsoport akkor és csak akkor abélium-kinotiens alcsoport (azaz normális abélium-kinotiens csoporttal), ha az alcsoport tartalmazza a származtatott alcsoportot.

Metatulajdonságok

Metatulajdonság neve	Elégedett?	Bizonyítás	Állítás szimbólumokkal
változatos csoporttulajdonság	Igen		Az abéli csoportok gyűjteménye a csoportok változatosságának egy alváltozatát alkotja. Különösen zárt alcsoportok, kvóták vétele alatt, és tetszőleges direkt termékek
alcsoport-zárt csoporttulajdonság	Igen	az abélizmus alcsoport-zárt	Ha $G$ abélizmusú csoport és $H$ a $G$ alcsoportja, akkor $H$ abélizmusú.
quotient-closed group property	Igen	abelianness is quotient-closed	Ha $G$ abéliumos csoport és $H$ a $G$ normális alcsoportja, akkor a $G/H$ quotiens csoport abéliumos.
direkt termék-zárt csoporttulajdonság	Igen	az abélizmus direkt termék-zárt	Tegyük fel, hogy $G_i, i \in I$ , abéli csoportok. Ekkor a $\prod_{i \in I} G_i$ külső egyenes szorzata is abéliumos.

Kapcsolat más tulajdonságokkal

Szigorúbb tulajdonságok

Tulajdonság	Jelentése	Az implikáció bizonyítása	A szigorúság bizonyítása (fordított implikáció hibája)	. Közbülső fogalmak	Összehasonlítás
ciklikus csoport	egy elem által generált	ciklikus implikálja abéliumos	abéliumos nem implikálja ciklikus (lásd még a példák listáját)	Epabeli csoport, Lokálisan ciklikus csoport, Reziduálisan ciklikus csoport\|TELJES LISTA, TOVÁBBI INFORMÁCIÓ
homociklikus csoport	izomorf ciklikus csoportok		egyenes terméke (lásd még a példák listáját)	\|TELJES LISTA, MORE INFO
reziduális ciklikus csoport	minden nem-azonos elem kívül van egy normál alcsoporton, amelynek ciklikus quotiens csoportja			(lásd még a példák listáját)	\|FULL LIST, MORE INFO
lokálisan ciklikus csoport	minden véges generált alcsoport ciklikus			(lásd még a példák listáját)	Epabelian group\|FULL LIST, MORE INFO
epabeli csoport	abeli csoport, amelynek külső négyzete a triviális csoport			(lásd még a példák listáját)	\|FULL LIST, MORE INFO
véges abeli csoport	abeli és véges csoport			(lásd még a példák listáját)	\|FULL LIST, TOVÁBBI INFORMÁCIÓ
véges generált abeli csoport	abeli és véges generált csoport		(lásd még a példák listáját)	rezidens ciklikus csoport\|TELJES LISTA, TOVÁBBI INFORMÁCIÓ

gyengébb tulajdonságok

Tulajdonság	Jelentése	Implikáció bizonyítása	Szigorúság bizonyítása (fordított implikáció hibája)	Közbülső fogalmak
nilpotens csoport	alsó központi sorozat eléri az azonosságot, felső centrális sorozat eléri az egész csoportot	abélium implikálja a nilpotens	nilpotens nem implikálja az abéliumot (lásd még a példák listáját)	Csoport, amelyben az osztály egyenlő a maximális szubnormális mélységgel, Hármas nilpotenciaosztályú csoport, Kettes nilpotenciaosztályú csoport, Kettes nilpotenciaosztályú csoport, amelynek kommutátortérképe a kettes osztályt adó váltakozó bihomorfizmus duplája, UL-egyenértékű csoport\|TELJES LISTA, TOVÁBBI INFORMÁCIÓ
szolválható csoport	származtatott sorozat eléri az azonosságot, normális sorozata van abeli faktorcsoportokkal	abeli feltételezi a szolválhatóságot	szolválható nem feltételezi az abéliumot (lásd még a példák listáját)	Metabeli csoport, Metanilpotens csoport, Nilpotens csoport\|TELJES LISTA, TOVÁBBI INFORMÁCIÓ
metanilpotens csoport	van abéliumos normál alcsoportja abéliumos quotiens csoporttal		(lásd még a példák listáját)	Kettes nilpotenciaosztályú csoport\|TELJES LISTA, TOVÁBBI INFORMÁCIÓ
virtuálisan abeli csoport	véges indexű abeli alcsoportja		(lásd még a példák listáját)	FZ-csoport\|TELJES LISTA, MORE INFO
FZ-csoport	középpontja véges indexű		(lásd még a példák listáját)	\|FULL LIST, TOVÁBBI INFORMÁCIÓ
FC-csoport	minden konjugációs osztály véges		(lásd még a példák listáját)	FZ-csoport, Véges származtatott alcsoporttal rendelkező csoport\|TELJES LISTA, TOVÁBBI INFORMÁCIÓ

Összehasonlítható tulajdonságok

Szuperfeloldható csoport olyan csoport, amelynek van olyan normális sorozata, amelyben minden egymást követő quotiens csoport ciklikus csoport. Egy abéli csoport akkor és csak akkor szupersolválható, ha végesen generált.
Policiklusos csoport az a csoport, amelynek van olyan szubnormális sorozata, ahol minden egymást követő quotiens csoport ciklikus csoport. Egy abélikus csoport akkor és csak akkor policiklusos, ha végesen generált.

Formalizmusok

A diagonális-in-négyzet operátor szempontjából

Ezt a tulajdonságot a diagonális-in-négyzet operátor tulajdonságra való alkalmazásával kapjuk: Normális alcsoport
A diagonális-in-négyzet operátor alkalmazásával kapott egyéb tulajdonságok megtekintése

A $G$ csoport akkor és csak akkor abéliumi csoport, ha a $G \times G$ külső egyenes termékben $\{(g,g) \mid g \in G \}$ a diagonális alcsoport $\{(g,g) \mid g \in G \}$ normális alcsoport.

Tesztelés

A tesztelési probléma

Bővebb információ: Abelianess testing problem

Az abelianess testing problem az a probléma, amikor azt vizsgáljuk, hogy egy csoport (amelyet valamilyen csoportleíró szabállyal írunk le, például egy csoport kódolásával vagy egy csoport többszörös kódolásával) abelian-e.

Az abelianniságvizsgálati probléma algoritmusai az abelianniságvizsgálat nyers erővel működő fekete dobozos csoport algoritmusától kezdve (amely minden elempár esetében megvizsgálja, hogy párosulnak-e, és négyzetesen függ a csoport sorrendjétől) a generáló halmazon alapuló fekete dobozos csoport algoritmusig terjednek (amely csak egy generáló halmazon végez vizsgálatot, és négyzetesen függ a generáló halmaz méretétől).

GAP parancs

Ez a csoporttulajdonság a Groups, Algorithms, Programming (GAP) beépített funkciójával vizsgálható.
A GAP parancs erre a csoporttulajdonságra a következő:IsAbelian
A beépített paranccsal az összes, ezzel a tulajdonsággal rendelkező csoport osztályára lehet hivatkozni: AbelianGroups
GAP-tesztelhető csoporttulajdonságok megtekintése

Hogy teszteljük, hogy egy csoport abeli-e, a GAP szintaxisa a következő:

IsAbelian (group)

ahol a group vagy definiálja a csoportot, vagy megadja egy korábban definiált csoport nevét.

Ez a fogalom tanulmányozása

Matematikai tantárgyi besorolás

A Matematikai tantárgyi besorolás alatt ennek a fogalomnak a tanulmányozása az osztályba tartozik: 20K

Tankönyvi hivatkozások

Könyv	Oldalszám	Fejezet és szakasz	Kontextuális információk	Nézet
Abstract Algebra by David S. Dummit and Richard M. Foote, 10 számjegyű ISBN 0471433349, 13 számjegyű ISBN 978-0471433347Több információ	17	Formai definíció (definíció a csoport általános definíciójának (2) pontjaként)
Groups and representations by Jonathan Lazare Alperin and Rowen B. Bell, ISBN 0387945261Több információ	2	1.1 (Rudiments of Group Theory/Review)	definition introduced in paragraph	Google Books
Algebra by Michael Artin, ISBN 0130047635, 13 számjegyű ISBN 978-0130047632Több információ	42		definition introduced in paragraph (immediately after definition of group)
Topics in Algebra by I. N. HersteinTöbb információ	28		Formai definíció
A Course in the Theory of Groups by Derek J. S. Robinson, ISBN 0387944613Több információ	2	1.1 (Binary Operations, Semigroups, and Groups)	formális definíció	Google Books
Finite Group Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) by Michael Aschbacher, ISBN 0521786754Több információ	1	1.1 (Elemi csoportelmélet)	bekezdésben bevezetett definíció	Google Books