Analitikus geometria

Elemi analitikus geometria

A pergai Apollóniosz (i. e. 262-190 körül), akit kortársai “Nagy Geométer”-ként ismertek, több mint 1800 évvel előzte meg az analitikus geometria fejlődését a Kónikusok című könyvével. A kúpot egy kúp és egy sík metszéspontjaként határozta meg (lásd az ábrát). Euklidész hasonló háromszögekre és a körök szekánsaira vonatkozó eredményeit felhasználva talált egy összefüggést, amelyet a kúp bármely P pontjának két merőleges egyeneshez, a kúp főtengelyéhez és a tengely egyik végpontjában lévő érintőhöz mért távolságok kielégítenek. Ezek a távolságok megfelelnek a P koordinátáinak, és a koordináták közötti kapcsolat megfelel a kúp négyzetes egyenletének. Apollonius ezt a kapcsolatot használta fel a kúpok alapvető tulajdonságainak levezetésére. Lásd kúpszelvény.

A koordinátarendszerek (lásd az ábrát) további fejlődése a matematikában csak azután jelent meg, hogy az algebra az iszlám és az indiai matematikusok alatt érett meg. (Lásd matematika: Az iszlám világ (8-15. század) és matematika, dél-ázsiai). A 16. század végén François Viète francia matematikus bevezette az első szisztematikus algebrai jelölést, amely betűket használt az ismert és ismeretlen számmennyiségek jelölésére, és erőteljes általános módszereket dolgozott ki az algebrai kifejezésekkel való munkára és az algebrai egyenletek megoldására. Az algebrai jelölés erejével a matematikusok már nem függtek teljesen a geometriai ábráktól és a geometriai intuíciótól a problémák megoldása során. A merészebbek kezdték maguk mögött hagyni a szokásos geometriai gondolkodásmódot, amelyben a lineáris (első hatvány) változók megfeleltek a hosszúságoknak, a négyzetek (második hatvány) a területeknek, a kockák (harmadik hatvány) pedig a térfogatoknak, a nagyobb hatványok pedig nélkülözték a “fizikai” értelmezést. Két francia, a matematikus-filozófus René Descartes és a jogász-matematikus Pierre de Fermat volt az elsők között, akik megtették ezt a merész lépést.

Descartes és Fermat az 1630-as években egymástól függetlenül megalapították az analitikus geometriát, Viète algebrájának a geometriai lókuszok vizsgálatára való adaptálásával. Döntően túlléptek Viète-n azzal, hogy fix helyett változó távolságok ábrázolására betűket használtak. Descartes egyenleteket használt a geometriailag meghatározott görbék tanulmányozására, és hangsúlyozta, hogy általános algebrai görbéket – az x és y minden fokú polinomegyenletek grafikonjait – kell vizsgálni. Módszerét egy klasszikus problémán mutatta be: meg kell találni az összes olyan P pontot, ahol a P-től bizonyos egyenesekhez mért távolságok szorzata megegyezik más egyenesekhez mért távolságok szorzatával. Lásd geometria: Kartéziánus geometria.

Fermat hangsúlyozta, hogy az x és y koordináták közötti bármely kapcsolat görbét határoz meg (lásd az ábrát). Ezt a gondolatot felhasználva Apollonius érveit algebrai szempontból újrafogalmazta, és helyreállította az elveszett munkát. Fermat jelezte, hogy bármely x és y alakú kvadratikus egyenletet az egyik kúpszelvény szabványos alakjába lehet helyezni.

Fermat nem publikálta a munkáját, és Descartes szándékosan tette nehezen olvashatóvá, hogy elriassza a “dilettánsokat”. Elképzeléseik csak más matematikusok erőfeszítései révén nyertek általános elfogadottságot a 17. század második felében. Különösen Frans van Schooten holland matematikus fordította le Descartes írásait franciából latinra. Létfontosságú magyarázó anyaggal egészítette ki, akárcsak Florimond de Beaune francia jogász és Johan de Witt holland matematikus. Angliában John Wallis matematikus népszerűsítette az analitikus geometriát, egyenletek segítségével definiálta a kúpokat és vezette le azok tulajdonságait. Szabadon használta a negatív koordinátákat, bár Isaac Newton volt az, aki egyértelműen két (ferde) tengelyt használt a sík négy kvadránsra való felosztására, ahogy az ábrán látható.

Az analitikus geometria a legnagyobb hatást a matematikára a számtan révén gyakorolta. Az analitikus geometria erejéhez való hozzáférés nélkül a klasszikus görög matematikusok, például Arkhimédész (i. e. 285-212/211 körül) a számtan alapproblémáinak speciális eseteit oldották meg: az érintővonalak és a szélső pontok (differenciálszámítás), valamint az ívhosszok, a területek és a térfogatok (integrálszámítás) megtalálását. A reneszánsz matematikusokat a csillagászat, az optika, a navigáció, a hadviselés és a kereskedelem igényei vezették vissza ezekhez a problémákhoz. Természetesen az algebra erejét igyekeztek felhasználni a görbék egyre szélesebb körének meghatározására és elemzésére.

Fermat kifejlesztett egy algebrai algoritmust egy algebrai görbe egy pontban lévő érintőjének megtalálására úgy, hogy olyan egyenest keres, amelynek a görbével a pontban kettős metszéspontja van – lényegében feltalálta a differenciálszámítást. Descartes egy hasonló, de bonyolultabb algoritmust vezetett be egy kör segítségével. Fermat az y = axk görbék alatti területeket minden k ≠ -1 racionális számra úgy számította ki, hogy a beírt és körülírt téglalapok területeit összegezte. (Lásd kimerítés, módszer.) A 17. század hátralévő részében a számtan alapjait számos matematikus folytatta, köztük a francia Gilles Personne de Roberval, az olasz Bonaventura Cavalieri és a brit James Gregory, John Wallis és Isaac Barrow.

Newton és a német Gottfried Leibniz a 17. század végén forradalmasították a matematikát azzal, hogy egymástól függetlenül bemutatták a számtan erejét. Mindkét férfi a koordináták segítségével olyan jelöléseket fejlesztett ki, amelyek teljes általánosságban fejezték ki a számtan gondolatait, és természetesen vezettek a differenciálási szabályokhoz és a számtan alaptételéhez (a differenciál- és integrálszámítást összekötve). Lásd analízis.

Newton akkor mutatta be az analitikus módszerek fontosságát a geometriában, a számtanban betöltött szerepükön kívül, amikor azt állította, hogy bármely köbös vagy háromfokú algebrai görbe rendelkezik a négy standard egyenlet egyikével,xy2 + ey = ax3 + bx2 + cx + d,xy = ax3 + bx2 + cx + d,y2 = ax3 + bx2 + cx + d,y = ax3 + bx2 + cx + d, megfelelő koordinátatengelyek esetén. James Stirling skót matematikus 1717-ben bizonyította ezt az állítást, valószínűleg Newton segítségével. Newton a kockákat 72 fajra osztotta, amit később 78-ra korrigált.

Newton azt is megmutatta, hogyan lehet egy algebrai görbét az origó közelében kifejezni az y = a1x1/k + a2x2/k + … tört hatványsorral egy pozitív egész k számra.

A matematikusok azóta is használják ezt a technikát minden fokú algebrai görbe vizsgálatára.