Az 1 + sqrt 2 különös hatványai

A közelmúltban a mathstodon.xyz oldalon Colin Wright a következő rejtvényt tette közzé:

Melyik a 99. számjegy a tizedesponttól jobbra a tizedesvessző kiterjesztésében?

A válasz megkereséséhez természetesen elég egyszerű számítógépet használni; bármilyen nyelv vagy szoftverrendszer, amely tetszőleges pontosságú valós számokkal tud számolni, a másodperc tört része alatt megtalálja a helyes választ. De nyilván nem ez a lényeg! Tudunk-e logikai érveléssel következtetni vagy bizonyítani a helyes válaszra anélkül, hogy sok számítást végeznénk? Még ha számítással meg is találjuk a választ, meg tudjuk-e magyarázni, hogy miért ez a helyes válasz? Ennek a rejtvénynek a megoldása egy lenyűgöző nyúlüregbe vezetett, amelyet szeretnék megosztani veletek a következő egy-három vagy nyolc bejegyzésben.

Egyelőre csak hagyom, hogy elgondolkodjatok a rejtvényen. Bár a számítógép használata a válasz egyszerű kiszámításához csalás, mégis bátorítom a számítógép vagy a számológép használatát kisebb példák kipróbálásához és a minták kereséséhez. Nem túl nehéz meglátni egy mintát, és megsejteni a helyes választ; az érdekes része persze az, hogy rájöjjünk, miért történik ez a minta, és bebizonyítsuk, hogy ez a minta folytatódik.