Ben Green (matematikus)

Green kutatásainak nagy része az analitikus számelmélet és az additív kombinatorika területén zajlik, de vannak eredményei a harmonikus analízisben és a csoportelméletben is. Legismertebb tétele, amelyet gyakori munkatársával, Terence Taóval közösen bizonyított, azt állítja, hogy léteznek tetszőlegesen hosszú aritmetikai haladványok a prímszámokban: ez ma Green-Tao-tételként ismert.

Az additív kombinatorikában Green korai eredményei közé tartozik Jean Bourgain egyik eredményének javítása az összeghalmazok aritmetikai haladványainak méretére vonatkozóan, valamint a Cameron-Erdős-féle sejtés bizonyítása a természetes számok összegmentes halmazairól. Bizonyított továbbá egy aritmetikai szabályossági lemma az első N {\displaystyle N} természetes számokon definiált függvényekre, némileg analóg a gráfok Szemerédi-féle szabályossági lemmájával.

2004-2010 között Terence Taóval és Tamar Zieglerrel közös munkában kidolgozta az úgynevezett magasabb rendű Fourier-analízist. Ez az elmélet a Gowers-normákat a nilszekvenciáknak nevezett objektumokkal hozza összefüggésbe. Az elmélet a nevét ezekről a nilszekvenciákról kapta, amelyek analóg szerepet játszanak azzal a szereppel, amelyet a karakterek játszanak a klasszikus Fourier-analízisben. Green és Tao a magasabb rendű Fourier-analízist arra használta, hogy új módszert mutasson be a szimultán egyenletek megoldásainak számbavételére az egész számok bizonyos halmazaiban, beleértve a prímszámokat is. Ez általánosítja a Hardy–Littlewood–kör módszerét használó klasszikus megközelítést. Ennek az elméletnek számos aspektusa, beleértve a Gowers-normákra vonatkozó inverz tétel mennyiségi vonatkozásait, még mindig folyamatban lévő kutatás tárgyát képezi.

Green Emmanuel Breuillard-dal is együttműködött csoportelméleti témákban. Különösen Terence Taóval közösen bizonyítottak egy struktúra-tételt közelítő csoportokra, általánosítva a Freiman-Ruzsa-tételt kis duplázódású egész számok halmazaira. Green Kevin Forddal és Sean Eberharddal közösen a szimmetrikus csoport elméletéről is dolgozik, különösen arról, hogy elemeinek mekkora hányada rögzít egy k méretű halmazt {\displaystyle k} .

Green és Tao egy algebrai kombinatorikai geometriáról szóló dolgozatot is írt, amelyben megoldja a Dirac-Motzkin-féle sejtést (lásd Sylvester-Gallai-tétel). Konkrétan bebizonyítják, hogy a síkban lévő n {\displaystyle n} pontból álló, nem minden pont kollineáris, ha az n {\displaystyle n} elég nagy, akkor a síkban legalább n/2 {\displaystyle n/2} olyan egyenesnek kell léteznie, amely pontosan két pontot tartalmaz.

Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, James Maynard és Terence Tao kezdetben két külön kutatócsoportban, majd együttesen javították a két egymást követő, legfeljebb X {\displaystyle X} méretű prímszám közötti leghosszabb rés méretére vonatkozó alsó korlátot. A korábban legismertebb, lényegében Rankinnek köszönhető korlát formáját 76 évig nem javították.

A közelmúltban Green az aritmetikai Ramsey-elmélet kérdéseivel foglalkozott. Tom Sandersszel együtt bebizonyította, hogy ha egy elég nagy prímrendű véges mezőt meghatározott számú színnel színezünk, akkor a mezőnek olyan x , y {\displaystyle x,y} elemei vannak, hogy x , y , x + y , x y {\displaystyle x,y,x{+}y,xy} mindegyiknek ugyanaz a színe.

Green részt vett Croot-Lev-Pach-Ellenberg-Gijswijt új fejlesztésében is, amely egy polinomiális módszer alkalmazására irányult egy véges vektortér lineáris egyenletek megoldása nélküli részhalmazainak méretének korlátozására. Ezeket a módszereket adaptálta, hogy függvényterekben bizonyítsa Sárközy tételének egy erős változatát.