Betweenness centrality

A betweenness centrality a súlyozott betweenness centrality egy változata, de ennek a súlynak a kiszámításakor figyelembe veszi az egyes legrövidebb utak forrás- és célcsomópontjainak “állapotát”. A “fertőzés” perkolációja komplex hálózatokban számos forgatókönyvben előfordul. Például vírusos vagy bakteriális fertőzés terjedhet emberek szociális hálózataiban, az úgynevezett kapcsolathálózatokban. A betegség terjedése magasabb absztrakciós szinten is vizsgálható, ha közúti, vasúti vagy légi összeköttetésekkel összekötött városok vagy lakossági központok hálózatát tekintjük. A számítógépes vírusok számítógépes hálózatokon keresztül terjedhetnek. Az üzleti ajánlatokról és üzletkötésekről szóló pletykák vagy hírek szintén terjedhetnek az emberek szociális hálózatain keresztül. Mindezen forgatókönyvek esetében a “fertőzés” egy összetett hálózat kapcsolatain keresztül terjed, és terjedése során – akár helyreállíthatóan, akár más módon – megváltoztatja a csomópontok “állapotát”. Például egy járványügyi forgatókönyvben az egyének a fertőzés terjedésével a “fogékony” állapotból “fertőzött” állapotba kerülnek. A fenti példákban az egyes csomópontok állapota lehet bináris (például kapott/nem kapott egy hírt), diszkrét (fogékony/fertőzött/gyógyult) vagy akár folyamatos (például a fertőzöttek aránya egy városban), ahogy a fertőzés terjed. Mindezen forgatókönyvek közös jellemzője, hogy a fertőzés terjedése a csomópontok állapotának változását eredményezi a hálózatokban. A perkolációs centralitást (PC) ennek figyelembevételével javasolták, amely kifejezetten a csomópontok fontosságát méri a hálózaton belüli perkoláció elősegítése szempontjából. Ezt a mértéket Piraveenan et al. javasolta.

A perkolációs centralitást egy adott csomópontra, egy adott időpontban, az adott csomóponton keresztül haladó “perkolált utak” arányaként határozzák meg. A “perkolált út” a legrövidebb út egy csomópár között, ahol a forráscsomópont perkolált (pl. fertőzött). A célcsomópont lehet perkolált vagy nem perkolált, illetve részben perkolált állapotban.

P C t ( v ) = 1 N – 2 ∑ s ≠ v ≠ r σ s r ( v ) σ s r x t s ∑ – x t v {\displaystyle PC^{t}(v)={\frac {1}{N-2}}\sum _{s\neq v\neq r}{\frac {\sigma _{sr}(v)}{\sigma _{sr}}}{\frac {{x^{t}}}_{s}}{{\sum {}-{x^{t}}}_{v}}}}

hol σ s r {\displaystyle \sigma _{sr}}}

a legrövidebb utak teljes száma az s {\displaystyle s} csomópontból {\displaystyle s}

az r csomóponthoz {\displaystyle r}

és σ s r ( v ) {\displaystyle \sigma _{sr}(v)}

azoknak az utaknak a száma, amelyek v-n {\displaystyle v}

áthaladnak. Az i csomópont perkolációs állapota {\displaystyle i}

a t időpontban {\displaystyle t}

jelöli: x t i {\displaystyle {x^{t}}_{i}}}

és két speciális eset, amikor x t i = 0 {\displaystyle {x^{t}}_{i}=0}

ami egy nem perkolált állapotot jelent a t időpontban {\displaystyle t}

míg ha x t i = 1 {\displaystyle {x^{t}}_{i}=1}

ami egy teljesen perkolált állapotot jelez a t időpontban {\displaystyle t}

. A kettő közötti értékek a részben átszivárgott állapotokat jelzik ( pl. egy településhálózatban ez lenne a fertőzöttek százalékos aránya az adott településen).

A perkolációs utakhoz csatolt súlyok a forráscsomópontokhoz rendelt perkolációs szintektől függnek, azon a feltevésen alapulva, hogy minél magasabb egy forráscsomópont perkolációs szintje, annál fontosabbak az adott csomópontból kiinduló utak. A magas perkolációs szintű csomópontokból kiinduló legrövidebb útvonalakon fekvő csomópontok ezért potenciálisan fontosabbak a perkoláció szempontjából. A PC definíciója kiterjeszthető a célcsomópontok súlyára is. A perkolációs centralitás számítása O ( N M ) {\displaystyle O(NM)} alatt végezhető el.

idő alatt a Brandes gyors algoritmusából átvett hatékony implementációval, ha pedig a számításnak figyelembe kell vennie a célcsomópontok súlyait, akkor a legrosszabb esetben O ( N 3 ) {\displaystyle O(N^{3})} a számítási idő.