Bode-diagram, erősítési margó és fázismargó (plusz diagramok)

Mi az a Bode-diagram

A Bode-diagram egy, az irányítástechnikában általánosan használt grafikon egy irányítástechnikai rendszer stabilitásának meghatározására. A Bode-diagram a rendszer frekvenciaválaszát két grafikonon – a Bode-magnitúdó-diagramon (a nagyságot decibelben kifejezve) és a Bode-fázis-diagramon (a fáziseltolódást fokban kifejezve) – keresztül térképezi fel.

A Bode-diagramokat először az 1930-as években Hendrik Wade Bode vezette be, amikor az Egyesült Államokban a Bell Labs-ben dolgozott. Bár a Bode-diagramok viszonylag egyszerű módszert kínálnak a rendszer stabilitásának kiszámítására, nem tudják kezelni a jobb félsíkbeli szingularitásokat tartalmazó átviteli függvényeket (ellentétben a Nyquist-stabilitási kritériummal).

A Bode-diagramok megértéséhez elengedhetetlen az erősítési margó és a fázismargó megértése. Ezeket a kifejezéseket az alábbiakban definiáljuk.

Erősítési margó

Minél nagyobb az erősítési margó (GM), annál nagyobb a rendszer stabilitása. Az erősítési margó az erősítés azon mértékére utal, amely növelhető vagy csökkenthető anélkül, hogy a rendszer instabillá válna. Általában dB-ben kifejezett nagyságrendben fejezik ki.

Az erősítési különbözetet általában közvetlenül leolvashatjuk a Bode-diagramról (a fenti ábrán látható módon). Ez úgy történik, hogy kiszámítjuk a nagysággörbe (a Bode-nagyságdiagramon) és az x-tengely közötti függőleges távolságot azon a frekvencián, ahol a Bode-fázisdiagram = 180°. Ezt a pontot fáziskeresztfrekvenciának nevezzük.

Nem szabad elfelejteni, hogy az erősítés és az erősítésmarzs nem ugyanaz. Valójában a Gain Margin az erősítés negatívja (decibelben, dB-ben). Ennek akkor lesz értelme, ha megnézzük az Erősítési Margin képletét.

Erősítési Margin képlet

Az Erősítési Margin (GM) képlete a következőképpen fejezhető ki:

Hol G az erősítés. Ez a nagyság (dB-ben) a fázisátviteli frekvencián a nagyságdiagram függőleges tengelyéről leolvasva.

A fenti grafikonon látható példánkban a Gain (G) 20. Ezért az erősítési margóra vonatkozó képletünket használva az erősítési margó egyenlő 0 – 20 dB = -20 dB (instabil).

Fázismarzs

Minél nagyobb a fázismarzs (PM), annál nagyobb lesz a rendszer stabilitása. A fázismarzs arra a fázismennyiségre utal, amely növelhető vagy csökkenthető anélkül, hogy a rendszer instabillá válna. Általában fázisként fejezik ki fokban.

A fázismaradványt általában közvetlenül a Bode-diagramról olvashatjuk le (a fenti ábrán látható módon). Ez úgy történik, hogy kiszámítjuk a fázisgörbe (a Bode-fázisdiagramon) és az x-tengely közötti függőleges távolságot azon a frekvencián, ahol a Bode-magnitúdó diagram = 0 dB. Ezt a pontot nevezzük az erősítés keresztezési frekvenciájának.

Nem szabad elfelejteni, hogy a fáziskésés és a fázismaradék nem ugyanazok a dolgok. Ennek akkor lesz értelme, ha megnézzük a fázismaradék képletét.

Fázismaradék képlet

A fázismaradék (PM) képlete a következőképpen fejezhető ki:

Ahol a fáziskésés (0-nál kisebb szám). Ez a fázis a fázisdiagram függőleges tengelyéről leolvasott fázis az erősítés átviteli frekvenciáján.

Egy másik példával élve, ha egy erősítő nyílt hurkú erősítése 0 dB-t keresztez egy olyan frekvencián, ahol a fáziskésés -120°, akkor a fáziskésés -120°. Ennélfogva ennek a visszacsatolt rendszernek a fázistávolsága -120° – (-180°) = 60° (stabil).

Bode-diagram stabilitása

Az alábbiakban a Bode-diagramok rajzolásához (és stabilitásuk kiszámításához) fontos kritériumok összefoglaló listája következik:

1. Erősítési margó: Nagyobb lesz az erősítési különbözet nagyobb lesz a rendszer stabilitása. Ez arra az erősítés mértékére utal, amely növelhető vagy csökkenthető anélkül, hogy a rendszer instabillá válna. Általában dB-ben fejezik ki.
2. Fázismarzs: Nagyobb lesz a fázismarzs, nagyobb lesz a rendszer stabilitása. Arra a fázisra utal, amely növelhető vagy csökkenthető anélkül, hogy a rendszer instabillá válna. Általában fázisban fejezik ki.
3. Gain Crossover Frequency: Arra a frekvenciára utal, amelynél a nagysággörbe a bode-diagramban a nulla dB tengelyt metszi.
4. Fáziskeresztezési frekvencia: Arra a frekvenciára utal, amelynél a fázisgörbe ebben a grafikonban a 180o -szoros negatív tengelyt metszi.
5. Sarokfrekvencia: Azt a frekvenciát, amelyen a két aszimptota elvágja vagy találkozik egymással, törési frekvenciának vagy sarokfrekvenciának nevezik.
6. Rezonáns frekvencia:
7. Tényezők: Azt a frekvenciaértéket, amelyen a G modulus (jω) csúcsértéke van, rezonanciafrekvenciának nevezzük.
8. Tényezők: Minden hurokátviteli függvény {azt jelenti, hogy G(s) × H(s)} különböző tényezők szorzata, mint például a K konstans kifejezés, az integrális tényezők (jω), az elsőrendű tényezők ( 1 + jωT)(± n), ahol n egész szám, másodrendű vagy kvadratikus tényezők.
9. Meredekség: Minden egyes tényezőhöz tartozik egy meredekség, és a meredekséget minden egyes tényező esetében dB/dekádban fejezik ki.
10. Szög: Van egy szög, amely minden egyes tényezőnek megfelel, és a szöget minden egyes tényező esetében fokban fejezzük ki.

Most van néhány eredmény, amelyet meg kell jegyeznünk a Bode-görbe felrajzolásához. Ezek az eredmények az alábbiakban vannak leírva:

• K konstans kifejezés: Ennek a tényezőnek a meredeksége nulla dB per évtized. Ennek az állandó kifejezésnek nincs megfelelő sarokfrekvencia. Az ehhez az állandó kifejezéshez tartozó fázisszög szintén nulla.
• Integrál tényező 1/(jω)n: Ennek a tényezőnek a meredeksége -20 × n (ahol n egész szám) dB/dekád. Ennek az integrál tényezőnek nincs sarokfrekvenciája. Az ehhez az integrális tényezőhöz tartozó fázisszög -90 × n. Itt n szintén egész szám.
• 1/(1+jωT) elsőrendű tényező: Ennek a tényezőnek a meredeksége évtizedenként -20 dB. Az ennek a tényezőnek megfelelő sarokfrekvencia 1/T radián másodpercenként. Az ehhez az első tényezőhöz tartozó fázisszög -tan- 1(ωT).
• Első rendű tényező (1+jωT): Ennek a tényezőnek a meredeksége évtizedenként 20 dB. Az ehhez a tényezőhöz tartozó sarokfrekvencia 1/T radián másodpercenként. Az ehhez az első tényezőhöz tartozó fázisszög tan- 1(ωT) .
• Másodrendű vagy kvadratikus tényező : : Ennek a tényezőnek a meredeksége évtizedenként -40 dB. Az ehhez a tényezőhöz tartozó sarokfrekvencia ωn radián másodpercenként. Az ehhez az első tényezőhöz tartozó fázisszög
  

  

Hogyan rajzoljunk Bode-diagramot

A fenti pontokat szem előtt tartva képesek vagyunk bármilyen vezérlőrendszer Bode-diagramját megrajzolni. Most tárgyaljuk a Bode-diagram rajzolásának eljárását:

1. Pótoljuk az s = jω-t a nyílt hurok átviteli függvényben G(s) × H(s).
2. Keresd meg a megfelelő sarokfrekvenciákat, és táblázd meg őket.
3. Most egy féllogaritmikus grafikonra van szükségünk, amely úgy választ egy frekvenciatartományt, hogy a diagramnak azzal a frekvenciával kell kezdődnie, amely alacsonyabb, mint a legalacsonyabb sarokfrekvencia. Jelölje meg a szögfrekvenciákat az x-tengelyen, jelölje meg a meredekségeket az y-tengely bal oldalán úgy, hogy középen nulla meredekséget jelöl, és a jobb oldalon jelölje meg a fázisszöget úgy, hogy középen -180o.
4. Kalkulálja ki az erősítési tényezőt és a rendszer rendjének típusát.
5. Most számítsa ki az egyes tényezőknek megfelelő meredekséget.

A Bode-magnitúdó diagram rajzolásához:

• Megjelöljük a sarokfrekvenciát a féllogaritmikus grafikonpapíron.
• Táblázza ezeket a tényezőket a megadott sorrendben felülről lefelé haladva.
  1. Konstans kifejezés K.
  2. Integrális tényező
  3. Elsőrendű tényező
  4. Előrendű tényező (1+jωT).
  5. Másodrendű vagy kvadratikus tényező:
     

     

• Az egyenest most az adott tényező megfelelő meredekségének segítségével rajzoljuk fel. Változtassuk meg a meredekséget minden sarokfrekvenciánál a következő tényező meredekségének hozzáadásával. Megkapja a nagyságú ábrát.
• Kalkulálja ki a nyereségtartományt.

A Bode-fázisrajz rajzolásához:

1. Számítsa ki a fázisfüggvényt, hozzáadva a tényezők összes fázisát.
2. A fenti függvényhez különböző értékeket helyettesítsen, hogy megtudja a fázist a különböző pontokon, és görbét rajzoljon. Kap egy fázisgörbét.
3. Kalkulálja ki a fázistartományt.

Bode stabilitási kritérium

A stabilitási feltételek az alábbiak:

1. Stabil rendszer esetén: Mindkét margónak pozitívnak kell lennie, vagy a fázismargonnak nagyobbnak kell lennie, mint az erősítési margónak.
2. A marginálisan stabil rendszerhez:
3. Instabil rendszer esetén mindkét margónak nullának kell lennie, vagy a fázismargonnak meg kell egyeznie az erősítési margóval.
4. Instabil rendszer esetén: Ha bármelyik negatív, vagy a fázismarzsnak kisebbnek kell lennie, mint az erősítési marzs.

A Bode-diagram előnyei

1. Az aszimptotikus közelítésen alapul, amely egyszerű módszert biztosít a logaritmikus nagysággörbe ábrázolására.
2. Az átviteli függvényben megjelenő különböző nagyságok szorzása összeadásként, míg az osztás kivonásként kezelhető, mivel logaritmikus skálát használunk.
3. Csak ennek a grafikonnak a segítségével közvetlenül, számítások nélkül tudunk nyilatkozni a rendszer stabilitásáról.
4. A Bode-diagramok relatív stabilitást biztosítanak az erősítési és a fázismaradvány tekintetében.
5. Az alacsony frekvenciától a magas frekvenciatartományig terjed.

Az alacsony frekvenciától a magas frekvenciatartományig terjed.