Brahmagupta

AlgebraEdit

Brahmagupta a Brahmasphutasiddhānta tizennyolcadik fejezetében adta meg az általános lineáris egyenlet megoldását,

A rúpák különbsége, ha megfordítjuk és elosztjuk az ismeretlenek különbségével, az egyenlet ismeretlenje. A rupák alatt van az, amiből a négyzet és az ismeretlen kivonandó.

ami a bx + c = dx + e egyenlet megoldása, ahol a rupák a c és e konstansokra utalnak. A megadott megoldás egyenértékű az x = e – c/b – d. Továbbá két egyenértékű megoldást adott az általános kvadratikus egyenletre

18.44. Csökkentse a közepével a négyszeres négyzettel megszorzott és a közepének négyzetével megnövelt rúpiák négyzetgyökét ; a maradékot ossza el a négyzet kétszeresével. a közepével .
18.45. Ami a rúpiák négyzetgyöke megszorozva a négyzettel megnövelve az ismeretlen felének négyzetével, azt kicsinyítsük az ismeretlen felével osztjuk a négyzetével. az ismeretlen.

melyek az ax2 + bx = c egyenlet megoldásai, amelyek megfelelnek,

x = ± 4 a c + b 2 – b 2 a {\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}}}}

és

x = ± a c + b 2 4 – b 2 a {\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {ac+{\tfrac {b^{2}}}{4}}}}-{\tfrac {b}{2}}}{a}}}}

Az egyidejű határozatlan egyenletrendszerek megoldását azzal folytatta, hogy a kívánt változót először el kell különíteni, majd az egyenletet el kell osztani a kívánt változó együtthatójával. Különösen a “porlasztó” használatát ajánlotta a több ismeretlent tartalmazó egyenletek megoldására.

18.51. Vonjuk ki az első színtől különböző színeket. osztva az elsővel az elsőnek a mértékét. kettővel kettő hasonló osztónak tekinthető, ismételten. Ha sok , a porlasztó .

Mint Diophantosz algebrája, úgy Brahmagupta algebrája is szinkópás volt. Az összeadást a számok egymás mellé helyezésével, a kivonást a részösszeg fölé tett ponttal, az osztást pedig az osztónak az osztalék alá helyezésével jelezték, hasonlóan a mi jelölésünkhöz, de a sáv nélkül. A szorzást, a fejlődést és az ismeretlen mennyiségeket a megfelelő kifejezések rövidítéseivel ábrázolták. Nem ismert, hogy milyen mértékű görög hatás érte ezt a szinkópát, ha volt egyáltalán, és lehetséges, hogy mind a görög, mind az indiai szinkópa közös babiloni forrásból származik.

AritmetikaSzerkesztés

A négy alapvető műveletet (összeadás, kivonás, szorzás és osztás) már Brahmagupta előtt is számos kultúrában ismerték. Ez a jelenlegi rendszer a hindu arab számrendszeren alapul, és először a Brahmasphutasiddhantában jelent meg. Brahmagupta a következőképpen írja le a szorzást: “A szorzandó mennyiséget, mint a marhahúrt, annyiszor ismételjük, ahányszor a szorzóban integráns részek vannak, és ismételten megszorozzuk velük, a termékeket pedig összeadjuk. Ez a szorzás. Vagy a szorzandó annyiszor ismétlődik, ahányszor vannak összetevő részek a szorzóban”. Az indiai aritmetikát a középkori Európában “Modus Indorum”, azaz az indiaiak módszere néven ismerték. A Brahmasphutasiddhantában a szorzást Gomutrikának nevezték. A Brahmasphutasiddhānta tizenkettedik, Számítás című fejezetének elején Brahmagupta részletezi a törtekkel végzett műveleteket. Az olvasótól elvárható, hogy ismerje az alapvető aritmetikai műveleteket, egészen a négyzetgyök levételéig, bár elmagyarázza, hogyan lehet megtalálni egy egész szám kockáját és kockagyökerét, később pedig a négyzetek és négyzetgyökök számítását megkönnyítő szabályokat ad. Ezután szabályokat ad a törtek ötféle kombinációjának kezelésére: a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = a(d + b)/cd; a/c – b/d × a/c = a(d – b)/cd.

SeriesEdit

Brahmagupta ezután az első n egész szám négyzeteinek és kockáinak összegét adja meg.

12.20. A négyzetek összege az, hogy megszorozva az eggyel megnövelt lépés kétszeresével, osztva hárommal. A kockák összege annak a négyzete, hogy Halmok ezekből azonos golyókkal .

Itt Brahmagupta az eredményt az első n egész szám összegére vonatkoztatva találta meg, nem pedig n-re vonatkoztatva, mint a mai gyakorlat.

Az első n természetes szám négyzeteinek összegét n(n + 1)(2n + 1)/6-nak, az első n természetes szám kockáinak összegét pedig (n(n + 1)/2)2
adja meg.

ZeroEdit

Brahmagupta Brahmasphuṭasiddhānta című műve az első olyan könyv, amely a nullára és a negatív számokra vonatkozó szabályokat ad a számtani manipulációkhoz. A Brahmasphutasiddhānta a legkorábbi ismert szöveg, amely a nullát önálló számként kezeli, nem pedig egyszerűen egy másik számot ábrázoló helyőrző számjegyként, ahogyan azt a babilóniaiak tették, vagy a mennyiség hiányának szimbólumaként, ahogyan azt Ptolemaiosz és a rómaiak tették. Brahmasphutasiddhānta című művének tizennyolcadik fejezetében Brahmagupta leírja a negatív számokkal végzett műveleteket. Először az összeadást és a kivonást írja le,

18,30. Két pozitívból pozitív, két negatívból negatív; egy pozitívból és egy negatívból a különbségük; ha egyenlőek, akkor nulla. Egy negatív és egy nulla összege negatív, egy pozitív és egy nulla összege pozitív, két nulla összege nulla.

18.32. A negatív mínusz nulla negatív, a pozitív pozitív pozitív; a nulla nulla nulla. Ha egy pozitívot ki kell vonni egy negatívból, vagy egy negatívot egy pozitívból, akkor azt össze kell adni.

A továbbiakban a szorzást írja le,

18.33. Egy negatív és egy pozitív szorzata negatív, két negatívé pozitív, pozitívé pozitív; a nulla és egy negatív, a nulla és egy pozitív vagy két nulla szorzata nulla.

A nullával való osztás leírása azonban eltér a mai felfogásunktól:

18.34. A pozitív osztva pozitívmal vagy a negatív osztva negatívval pozitív; a nulla osztva nullával nulla; a pozitív osztva negatívval negatív; a negatív osztva pozitívmal negatív; a negatív osztva pozitívval negatív.
18.35. A nullával osztott negatív vagy pozitív osztónak ez az osztója, vagy a nulla osztva negatívval vagy pozitívval . A negatív vagy a pozitív négyzete pozitív; a nulla négyzete nulla. Amelyiknek a négyzete az négyzetgyök.

Brahmagupta itt azt állítja, hogy 0/0 = 0, és ami az a/0 kérdését illeti, ahol a ≠ 0, nem kötelezte el magát. A negatív számokra és a nullára vonatkozó aritmetikai szabályai meglehetősen közel állnak a modern felfogáshoz, kivéve, hogy a modern matematikában a nullával való osztás meghatározatlan marad.

Diofantikus analízisSzerkesztés

Pitagorasz hármasokSzerkesztés

Brahmasphutasiddhanta című művének tizenkettedik fejezetében Brahmagupta egy, a Pitagorasz hármasok előállításához hasznos képletet közöl:

12.39. Egy hegy magassága adott szorzóval megszorozva egy város távolsága; ez nem törlődik. Ha elosztjuk a kettővel megnövelt szorzóval, akkor az a kettő közül az egyiknek az ugrás, aki ugyanazt az utat megteszi.

Vagy más szóval, ha d = mx/x + 2, akkor az az utazó, aki egy m magasságú hegy tetejéről függőlegesen d távolságot “ugrik” felfelé, majd a hegy lábától mx vízszintes távolságban lévő városig egyenes vonalban halad, ugyanazt a távolságot teszi meg, mint az, aki függőlegesen ereszkedik le a hegyről, majd a vízszintes mentén halad a városig. Geometriai értelemben ez azt mondja, hogy ha egy derékszögű háromszög alapja a = mx hosszúságú, magassága pedig b = m + d, akkor a hipotenzusának c hossza a következő: c = m(1 + x) – d. És valóban, az elemi algebrai manipuláció azt mutatja, hogy a2 + b2 = c2, amikor d a megadott értéket veszi fel. Továbbá, ha m és x racionálisak, akkor d, a, b és c is azok. A Pitagorasz-hármas tehát úgy kapható a, b és c értékekből, hogy mindegyiket megszorozzuk nevezőik legkisebb közös többszörösével.

Pell egyenleteSzerkesztés

Brahmagupta ezután egy rekurzív összefüggést adott meg a másodfokú diofantikus egyenletek bizonyos eseteinek, például az Nx2 + 1 = y2 (az úgynevezett Pell-egyenlet) megoldásainak előállítására az euklideszi algoritmus segítségével. Az euklideszi algoritmust “porlasztóként” ismerte, mivel a számokat egyre kisebb darabokra bontja.

A négyzetek természete:
18.64. egy adott négyzet négyzetgyökének kétszerese egy szorzóval és tetszőlegesen növelve vagy csökkentve . Az első , szorzóval megszorzott szorzata az utolsó , szorzatával az utolsó kiszámított szorzata.
18.65. A villámgyors szorzatainak összege az első. Az összeadó egyenlő az összeadók szorzatával. A két négyzetgyök, osztva az additívummal vagy a szubtraktívummal, az additív rúpia.

A megoldás kulcsa az azonosság volt,

( x 1 2 – N y 1 2 ) ( x 2 2 – N y 2 2 ) = ( x 1 x 2 + N y 1 y 2 ) 2 – N ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 {\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}}

ami egy Diophantus által felfedezett azonosság általánosítása,

( x 1 2 – y 1 2 ) ( x 2 2 – y 2 2 ) = ( x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 – ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 . {\displaystyle (x_{1}^{2}-y_{1}^{2})(x_{2}^{2}-y_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.}

Azonosságát és azt a tényt felhasználva, hogy ha (x1, y1) és (x2, y2) az x2 – Ny2 = k1, illetve x2 – Ny2 = k2 egyenletek megoldásai, akkor (x1x2 + Ny1y2, x1y2 + x2y1) az x2 – Ny2 = k1k2 egyenlet megoldása, akkor x2 – Ny2 = ki alakú egyenletsorozaton keresztül integrális megoldásokat talált Pell egyenletére. Brahmagupta nem tudta a megoldását egységesen alkalmazni N minden lehetséges értékére, hanem csak azt tudta megmutatni, hogy ha x2 – Ny2 = k-nak van egészértékű megoldása k = ±1, ±2 vagy ±4 esetén, akkor x2 – Ny2 = 1 megoldása van. Az általános Pell-egyenlet megoldására Bhaskara II-re kellett várni Kr.u. 1150 körül.

GeometriaSzerkesztés

Brahmagupta képleteSzerkesztés

Diagram a hivatkozáshoz

Brahmagupta leghíresebb eredménye a geometriában a ciklikus négyszögekre vonatkozó képlete. Bármely ciklikus négyszög oldalainak hosszát megadva Brahmagupta adott egy közelítő és egy pontos képletet az alakzat területére,

12,21. A közelítő terület egy háromszög és egy négyszög oldalai és ellentétes oldalai összegei felének szorzata. A pontos a négyszög oldalai oldalával csökkentett oldalai összegei felének szorzatából képzett négyzetgyök.

Egy ciklikus négyszög p, q, r és s hosszúságai mellett tehát a közelítő terület p + r/2 – q + s/2, míg, ha t = p + q + r + s/2, akkor a pontos terület

√(t – p)(t – q)(t – r)(t – s).

Bár Brahmagupta nem mondja ki kifejezetten, hogy ezek a négyszögek ciklikusak, a szabályaiból kitűnik, hogy ez a helyzet. A Heron-képlet ennek a képletnek egy speciális esete, és az egyik oldal nullával való egyenlővé tételével levezethető.

HáromszögekSzerkesztés

Brahmagupta munkásságának jelentős részét a geometriának szentelte. Az egyik tétel megadja annak a két szakasznak a hosszát, amelyre egy háromszög alapját a magassága osztja:

12.22. Az alap csökkent és nőtt az oldalak négyzeteinek az alappal osztott különbségével; kettővel osztva ezek a valódi szegmensek. A merőleges az egyik oldal négyzetéből a szakaszának négyzetével csökkentett négyzetgyök.”

A két szakasz hossza tehát 1/2(b ± c2 – a2/b).

Megad egy tételt a racionális háromszögekről. Az a, b, c racionális oldalú és racionális területű háromszög az alábbi alakú:

a = 1 2 ( u 2 v + v ) , b = 1 2 ( u 2 w + w ) , c = 1 2 ( u 2 v – v + u 2 w – w ) {\displaystyle a={\frac {1}{2}}}\left({\frac {u^{2}}}{v}}+v\right),\ \ b={\frac {1}{2}}}\left({\frac {u^{2}}}{w}}+w\right),\ \ \ c={\frac {1}{2}}}\left({\frac {u^{2}}}{v}}-v+{\frac {u^{2}}}{w}}-w\right)}

néhány u, v és w racionális számra.

Brahmagupta tételeSzerkesztés

Brahmagupta tétele kimondja, hogy AF = FD.

Brahmagupta folytatja,

12.23. Egy nem egyenlőtlen négyszög oldalai és ellentétes oldalai szorzatának összege négyzetgyöke az átló. Az átló négyzete az alap és a csúcsösszeg felének négyzetével csökken; az átló négyzetgyökere a merőleges .

Egy “nem egyenlőtlen” ciklikus négyszögben (azaz egyenlő szárú trapézban) tehát minden átló hossza √pr + qs.

A továbbiakban képleteket ad geometriai alakzatok hosszára és területére, például egy egyenlő szárú trapéz és egy szkalen négyszögletű négyszög kerületi sugarára, valamint egy szkalen ciklikus négyszög átlóinak hosszára. Ez vezet el Brahmagupta híres tételéhez,

12.30-31. Két belsejében egyenlőtlen oldalú háromszöget ábrázolva a két átló a két alap. Két szegmensük külön-külön a felső és az alsó szegmens az átlósok metszéspontjában. A két átló közül a két átló a háromszög két oldala; az alap . Merőlegese a merőleges alsó szakasza; a merőleges felső szakasza a merőlegesek összegének az alsóval csökkentett fele.

PiEdit

A 40. versben a π,

12,40 értékeit adja meg. Az átmérő és a sugár négyzete szorozva 3-mal a gyakorlati kerület és a terület . A pontosak e kettő négyzetének tízzel megszorzott négyzetgyökei.

Brahmagupta tehát a π “gyakorlati” értékeként 3-at használ, és 10 ≈ 3.1622 … {\displaystyle {\sqrt {10}\approx 3.1622\ldots} {\displaystyle {\sqrt {10}\approx 3.1622\ldots }

mint a π “pontos” értéke. Ennek a “pontos” értéknek a hibája kevesebb, mint 1%.

Méretek és konstrukciókSzerkesztés

A 40. vers előtt néhány versben Brahmagupta különböző, tetszőleges oldalú alakzatok konstrukcióit adja meg. Lényegében derékszögű háromszögeket manipulált, hogy egyenlő szárú háromszögeket, szkalén háromszögeket, téglalapokat, egyenlő szárú trapézokat, három egyenlő oldalú egyenlő szárú trapézokat és egy szkalén ciklikus négyszöget hozzon létre.

A pi értékének megadása után a síkidomok és a szilárd testek geometriájával foglalkozik, például a térfogatok és felületek (vagy a szilárd testekből kiásott üres terek) meghatározásával. Megállapítja a téglalap alakú prizmák, piramisok térfogatát és a négyzetes piramis törzsét. Megállapítja továbbá egy sor gödör átlagos mélységét. A piramis csonkjának térfogatára a “pragmatikus” értéket úgy adja meg, mint a mélység szorozva a felső és az alsó oldal szélei átlagának négyzetével, a “felszíni” térfogatot pedig úgy adja meg, mint a mélység szorozva az átlagos területükkel.

TrigonometriaSzerkesztés

Szinusz-táblázatSzerkesztés

Brahmasphutasiddhanta című művének 2. fejezetében, melynek címe: Bolygói igaz hosszúságok, Brahmagupta egy szinusz-táblázatot mutat be:

2.2-5. A szinuszok: Az ősök, ikrek; Ursa Major, ikrek, a Védák; az istenek, tüzek, hat; ízek, kockák, az istenek; a Hold, öt, az ég, a Hold; a Hold, nyilak, napok

Brahmagupta itt tárgyak neveit használja a helyértékes számjegyek számjegyeinek ábrázolására, ahogy az a szanszkrit értekezésekben a számadatoknál szokásos volt. Az “ősatyák” az indiai kozmológiában a 14 ősatyát (“Manu”) vagy 14-et jelenti, az “ikrek” 2-t, az “Ursa Major” az Ursa Major hét csillagát vagy 7-et, a “Védák” a 4 Védára vagy 4-re utal, a kocka a hagyományos kocka oldalainak számát vagy 6-ot, és így tovább. Ez az információ lefordítható a szinuszok listájára, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263 és 3270, a sugár pedig 3270.

Interpolációs képletSzerkesztés

665-ben Brahmagupta kitalálta és használta a másodrendű Newton-Stirling interpolációs képlet egy speciális esetét a szinuszfüggvény új értékeinek interpolálására más, már táblázatba foglalt értékekből. A képlet becslést ad az f függvény értékére az argumentum a + xh értékénél (h > 0 és -1 ≤ x ≤ 1), ha az értéke már ismert a – h, a és a + h értékeknél.

A becslés képlete:

f ( a + x h ) ≈ f ( a ) + x Δ f ( a ) + Δ f ( a – h ) 2 + x 2 Δ 2 f ( a – h ) 2 ! . {\displaystyle f(a+xh)\approx f(a)+x{\frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}}+x^{2}{\frac {\Delta ^{2}f(a-h)}{2!}}.}.}