Bravais rács

A geometriában és a kristályográfiában a Bravais rács, amelyet Auguste Bravais-ról (1850) neveztek el, diszkrét pontok végtelen tömbje, amelyet diszkrét transzlációs műveletek halmaza hoz létre a háromdimenziós térben:

R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 {\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}}

(1)

ahol ni tetszőleges egész számok és ai különböző irányokban (nem feltétlenül egymásra merőlegesen) fekvő, a rácson átívelő primitív vektorok. A primitív vektorok kiválasztása egy adott Bravais-rácshoz nem egyedi. Bármely Bravais-rács alapvető szempontja, hogy bármely irány megválasztása esetén a rács minden egyes diszkrét rácspontból pontosan ugyanúgy fog kinézni, ha az adott irányba nézünk.

A kristályográfiában a Bravais-rács fogalmát a diszkrét pontok végtelen tömbjére kiterjesztik az egységcella fogalmával, amely magában foglalja a diszkrét rácspontok közötti teret, valamint az ebben a térben lévő atomokat. Az egységcelláknak két fő típusa van: primitív egységcellák és nem primitív egységcellák.

A primitív egységcella egy adott Bravais-rácshoz többféleképpen is kiválasztható (mindegyik módnak más az alakja), de mindegyik mód azonos térfogattal rendelkezik, és mindegyik módnak megvan az a tulajdonsága, hogy a primitív egységcellák és a diszkrét rácspontok között egy-egy megfeleltetés létesíthető. A nyilvánvaló primitív cella, amelyet a primitív vektorok egy adott választásával társíthatunk, az általuk alkotott paralelepiped. Ez az összes r alakú pont halmaza:

r = x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 ahol 0 ≤ x i < 1 {\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}\qquad {\text{where }}0\leq x_{i}<1}

(2)

A primitív vektorok által meghatározott paralelepipedium egységcellaként való használata egyes esetekben azzal a hátránnyal jár, hogy a rács teljes szimmetriája nem derül ki egyértelműen. Ennek egyik megoldása a Wigner-Seitz-féle primitív cella használata (amely a tér minden olyan pontjából áll, amely közelebb van az adott rácsponthoz, mint bármely más rácsponthoz), ami valóban megmutatja a rács teljes szimmetriáját. Egy másik megoldás egy nem primitív egységcella használata, amely a rács teljes szimmetriáját megjeleníti. A nem primitív egységcella térfogata a primitív egységcella térfogatának egész számú többszöröse lesz.

Az egységcellának, akár primitív, akár nem primitív, minden egyes diszkrét rácspontra egyszer megismételve pontosan ki kell töltenie a teljes teret, átfedés és hézagok nélkül.

A kiterjesztett Bravais rács fogalmát, beleértve az egységcellát is, egy kristályos elrendezés és annak (véges) határainak formális meghatározására használjuk. Egy kristály egy vagy több atom (az alap vagy motívum) periodikus elrendeződéséből áll, amely minden primitív egységcellában pontosan egyszer fordul elő. A bázis állhat szilárd anyag atomokból, molekulákból vagy polimer szálakból. Következésképpen a kristály ugyanúgy néz ki, ha két különböző egységcella bármelyik egyenértékű pontjából bármelyik irányból nézzük (ugyanazon rács két különböző egységcellájának két pontja akkor egyenértékű, ha az egyes egységcellák határaihoz képest azonos relatív helyzetű).

Két Bravais-rácsot gyakran akkor tekintünk egyenértékűnek, ha izomorf szimmetriacsoportokkal rendelkeznek. Ebben az értelemben a háromdimenziós térben 14 lehetséges Bravais rács létezik. A Bravais-rácsok 14 lehetséges szimmetriacsoportja 14 a 230 tércsoportból. A tércsoportok osztályozásával összefüggésben a Bravais-rácsokat Bravais-osztályoknak, Bravais-aritmikus osztályoknak vagy Bravais-rajoknak is nevezik.