Modul 1 — A forgástengely kiválasztása és a forgásirány leírása

From PER wiki

Tanulási célok

A modul átdolgozása után képesnek kell lenned:

• Leírni egy merev test forgását egy rögzített tengely körül.
• Definiálja a szögsebességet a szöghelyzet változásának sebességével kifejezve.
• Adja meg egy merev test forgási irányát és alkalmazza a jobbkéz-szabályt.

Egy merev test forgása pörgés formájában transzlációs mozgással együtt is előfordulhat. A transzlációs és rotációs mozgás együttes leírását későbbre hagyjuk. Ebben a modulban a tisztán transzlációs mozgás leírására koncentrálunk. A tiszta forgómozgás nagyon bonyolult lehet, és egyes esetek meghaladják bármely bevezető fizikaóra kereteit.

A szögmozgással kapcsolatos elképzelések egyszerűsítése érdekében a következő megszorításokat fogjuk tenni:

1. A merev test egy rögzített forgástengely körül forog.
2. Olyan testeket tekintünk, amelyek vékonyak, például az a) ábrán látható korongot vagy a b) ábrán látható rudat.
3. A forgás abban a síkban történik, amelyben a test található, például az alábbi ábrán az xy-síkban.
4. A forgástengely merőleges arra a síkra, ahol a tárgyat tartalmazza, az alábbi ábrákon a z tengely.

Egy merev test, amely egy rögzített tengely körül forgásra van kényszerítve

A forgómozgás legegyszerűbb esete egy olyan merev test, mint a fent látható korong vagy rúd, amely egy térben rögzített tengely vagy csukló körül foroghat. A tengely vagy a csukló nem transzlálódik, hanem lehetővé teszi a forgást. Ez az eset világosan szemlélteti a forgástengely fogalmát. Képzeljünk el egy pontot, amely az alábbi ábrán a korong középpontjában vagy a rúd végén található, a Q pontot. Ahogy a test forog, ez a pont egyáltalán nem mozdul el. Bármely más pont, például a B pont, a forgás során elmozdul. Képzeljünk el egy egyenest, amely áthalad a Q ponton, és merőleges arra a síkra, amelyben a korong vagy a rúd található, az ábrán az xy-síkra. Ez az egyenes nem mozog, miközben a test forog. A tárgy bármely más pontján áthaladó bármely más egyenes, mint például a B ponton áthaladó kék egyenes, mozogni fog. Ez az egyetlen rögzített vonal a forgástengely.

Összefoglalva, amikor rögzített forgástengelyről beszélünk, egy olyan vonalat kell elképzelnünk, amely merőleges arra a síkra, ahol a merev test forog. Általában úgy tekintjük, hogy a tárgy az xy-síkon belül van és forog, ezért a forgástengely a z-tengellyel párhuzamos lesz. Ennek az egyenesnek és a síknak a metszéspontja, a fenti ábrán a Q pont, szintén rögzített lesz a térben.

Egy rögzített tengely körül forgó merev test forgómozgása

Gondoljunk egy olyan korongra, amely egy rögzített tengely körül forog, amely a középpontján halad keresztül. A korong B pontja, amely a középponttól r távolságra van, egy r sugarú körpályán fog mozogni, az a) ábrán a szaggatott kör.

Szöghelyzet

A B pont helyzete leírható a +x tengelytől mért θ(t) szöggel. A θ szöget a pont szöghelyzetének nevezzük.

Egyezmény: a szöghelyzet akkor pozitív, ha a +x tengelyhez képest az óramutató járásával ellentétesen mérjük.

Szögsebesség

A B pont sebessége, valamint a korongon belüli összes pont sebessége a szöghelyzetük változásának sebességétől függ. Ha a korong dθ = 25o szöget forog az óramutató járásával ellentétes irányban dt =1 sec időintervallum alatt, akkor a B pont, a C pont és a korongon belüli összes pont ugyanannyit fog forogni ugyanabban az időintervallumban, c) ábra.

A szögsebességet a szöghelyzet változásának sebességeként határozzuk meg, és ω betűvel jelöljük:

Egységek: = rad.s-1

Szöggyorsulás

A szöggyorsulás a szögsebesség változásának mértéke.

Egységek: = rad.s-2

Irány

A forgási mozgás teljes leírásához nem elegendő a tengely és a forgási sebesség egyszerű megadása. Az irányt is meg kell tárgyalnunk. A tengely kiválasztása után a lehetséges forgásirányok két lehetőségre csökkentek – az objektum az óramutató járásával ellentétes vagy az óramutató járásával megegyező irányban foroghat a sík fölött (egyezményesen egy + z helyről) nézve. Ezt a két helyzetet az alábbi ábrák mutatják be. Itt azonban óvatosnak kell lennünk, mivel a forgás óramutató járásával ellentétes vagy óramutató járásával megegyező iránya a megfigyelő helyzetétől függ. Egy korong, amely felülről nézve az óramutató járásával ellentétes irányban forog, alulról nézve az óramutató járásával megegyező irányban fog forogni.

A forgás matematikai leírása felé haladva a forgást vektorral fogjuk leírni. Kiderül (mint látni fogjuk), hogy nagyon hasznos konvenció, ha a +z koordinátatengelyeket a forgástengely mentén fekvőnek rendeljük, és az óramutató járásával ellentétes és az óramutató járásával megegyező két lehetőséget e tengely körüli pozitív és negatív elforgatásnak gondoljuk. Így a lemez forgásának megfelelő szögsebességvektor a fenti ábrákon látható helyzetben:

Az óramutató járásával ellentétes irányú forgás esetén:

θ az idővel nő,ω = dθ/dt > 0 akkor a szögsebesség a +z tengely felé mutat.

Az óramutató járásával megegyező irányú forgás esetén:

θ az idővel csökken,ω = dθ/dt < 0 akkor a szögsebesség a -z tengely felé mutat:

A jobbkéz szabály

Ezt a konvenciót jobbkéz szabálynak nevezzük. Használatához görbítsük össze a jobb kezünk ujjait. Igazítsuk a kezünket a forgó tárgyhoz (jelen esetben a koronghoz) úgy, hogy az ujjainkat az ujjpercektől az ujjhegyekig követve ugyanazt a forgást kapjuk, mint amit a tárgy tapasztal. A hüvelykujjad ekkor megmutatja a forgás “irányát”.

A jobbkéz-szabály és (x,y,z)

A síkbeli mozgás leírásához a kartéziánus koordináta használata esetén fontos, hogy jobbkéz-koordinátarendszert használjunk, hogy a különböző forgási mennyiségek meghatározása a vektorproduktummal történjen. A fenti példában ez azt jelenti, hogy ha a jobb kezünket úgy helyezzük el, hogy a kinyújtott ujjaink egybeessenek a + x tengellyel, majd a csuklónkat úgy csavarjuk, hogy az ujjaink az y tengely felé mozduljanak, miközben ökölbe zárjuk a kezünket, akkor az eredmény az lesz, hogy a hüvelykujjunk a +z tengely mentén mutat. Ez összhangban lesz azzal a szokásos konvencióval, hogy a szöget az x tengelytől kezdve mérjük, és az óramutató járásával ellentétes irányú szögeltolódást pozitívnak tekintjük.

Forgó rendszer rajzolása

A nézőpontot a forgástengelyhez kell igazítani.

A forgó rendszer rajzolásakor fontos, hogy a nézőpontot a forgástengelyhez igazítsuk. Más szóval úgy kell megrajzolnod a rendszert, mintha pont a tengely mentén néznéd.

Olyan vektorok ábrázolása, amelyek egyenesen felénk vagy egyenesen elénk mutatnak.

Mert mivel a forgó rendszereket úgy rajzoljuk, mintha a tengely mentén néznénk, nem lehet a tengelyt ábrázoló nyilat rajzolni. A lineáris tengely a mi nézőpontunkból úgy fog kinézni, mint egy pont. Emiatt van egy konvenció arra, hogy olyan nyilat rajzoljunk, amely közvetlenül a megfigyelő felé vagy közvetlenül a megfigyelőtől távolodik. A konvenció szerint a közvetlenül a megfigyelőre mutató nyilat egy bekarikázott pontként rajzoljuk. A közvetlenül távolodó nyilat bekarikázott “x”-ként rajzoljuk.

A nézőhöz igazított vektorok ábrázolása: ajtó felülről és alulról.

Kép: Egy ajtó ábrázolása a választott forgástengely mentén, különböző nézőpontokból.