Pergai Apollonius

Az ellipszis (zölddel árnyékolva) egyike volt az Apollonius által vizsgált és elnevezett kúpszelvényeknek.

Pergai Apollóniosz (Pergaeus) (i. e. 262 körül – i. e. 190 körül) az alexandriai iskola görög geométere és csillagász volt, akit a kúpszögmetszetekről szóló írásairól ismertek. Újszerű módszertana és terminológiája, különösen a kúpszögek terén, számos későbbi tudósra, köztük Ptolemaioszra, Francesco Maurolicóra, Isaac Newtonra és René Descartes-ra is hatással volt.

A parabola (zölddel árnyékolva) egy másik, Apollóniosz által leírt kúpszelvény.

A hiperbola (zölddel árnyékolva) egy harmadik kúpos metszet, amelyet Apollonius tanulmányozott.

Az ellipszisnek, a parabolának és a hiperbolának Apollonius adta a ma ismert neveket. Neki tulajdonítják a bolygók látszólagos mozgását és a Hold változó sebességét magyarázó excentrikus pályák vagy deferenciák és epiciklusok hipotézisét is. Apollóniosz tétele bizonyítja, hogy két modell a megfelelő paraméterek mellett egyenértékű lehet. Ptolemaiosz leírja ezt a tételt az Almagest 12.1. fejezetében. Apollonius kutatta a holdelméletet is, amelyet Epsilon (ε) néven nevezett el. A Holdon lévő Apollonius-krátert az ő tiszteletére nevezték el.

Élet és fő művek

Apollonius i. e. 262 körül született, mintegy 25 évvel Arkhimédész után. Ptolemaiosz Euergetész és Ptolemaiosz Philopator (Kr. e. 247-205) uralkodása alatt virágzott. A kúposokról szóló értekezése miatt kapta a “Nagy Geométer” nevet, ami biztosította hírnevét.

Az összes értekezése közül csak a Kúposok maradt fenn. A többiről a történészek a későbbi íróknak, különösen Pappusnak köszönhetően rendelkeznek címekkel és némi utalással a tartalmukra. A nyolckötetes Conics első kiadása után Apollóniosz a pergamoni Eudémosz javaslatára egy második kiadást is megjelentetett. Mivel az első három könyv mindegyikét átdolgozta, Apollóniosz elküldött Eudémosznak egy-egy példányt; a legjelentősebb változtatások az első két könyvben történtek. Eudémosz meghalt, mielőtt az átdolgozás többi részét befejezte volna, ezért Apollóniosz az utolsó öt könyvet I. Attalosz királynak (Kr. e. 241-197) ajánlotta. Görögül csak négy könyv maradt fenn; további három arabul maradt fenn; a nyolcadik könyvet soha nem fedezték fel.

Bár egy XIII. századi latin fordítás töredékét találták meg arabból, csak 1661-ben Giovanni Alfonso Borelli és Abraham Ecchellensis készítette el az 5-7. könyv latinra fordítását. Bár felhasználták Abu ‘l-Fath of Ispahan 983-as arab változatát, amely egy firenzei kéziratban maradt fenn, a legtöbb tudós ma már egyetért abban, hogy az 1-4. könyvek esetében Hilal ibn Abi Hilal, az 5-7. könyvek esetében pedig Thabit ibn Qurra arab fordítása a legjobb.

Apollonius a tiszta matematikával foglalkozott. Amikor megkérdezték tőle a Kónika 4. könyvében szereplő néhány tételének hasznosságáról, büszkén állította, hogy “ezek magukért a bizonyításokért érdemesek az elfogadásra, ugyanúgy, ahogyan a matematikában sok más dolgot is elfogadunk ezért és semmi másért”. És mivel számos eredménye nem volt alkalmazható a korabeli tudományban vagy mérnöki tudományokban, Apollóniosz a Kónika ötödik könyvének előszavában tovább érvelt, hogy “a téma azok közé tartozik, amelyek önmagukért is érdemesnek tűnnek a tanulmányozásra.”

Konika

Apollonius azt állítja, hogy az 1-4. könyvekben az 1. könyvben bemutatott görbék keletkezését és alapvető tulajdonságaikat teljesebben kidolgozza, mint a korábbi értekezésekben, és hogy a 3. könyvben és a 4. könyv nagy részében számos tétel új. Az elődök műveire, például Eukleidész négy könyve a kónikusokról, tett utalások nemcsak Eukleidésznek, hanem Konónnak és Nikotelésznek is adósságot mutatnak.

Apollóniosz feldolgozásának általánossága figyelemre méltó. Meghatározza és megnevezi a kúpszelvényeket, a parabolát, az ellipszist és a hiperbolát. E görbék mindegyikét alapvető kúptulajdonságnak tekinti, amely egyenértékű egy ferde tengelyekre – például egy átmérőből és a végpontján lévő érintőből álló tengelyekre – alkalmazott (később kartéziánus egyenletnek nevezett) egyenlettel, amelyet egy ferde körkúp átvágásával kapunk. (A ferde körkúp olyan kúp, amelynek tengelye nem zár be 90 fokos szöget az iránytűvel. Ezzel szemben a derékszögű körkúp az, amelynek tengelye 90 fokos szöget zár be az iránytűvel). A kúp vágási módja – állítja – nem számít. Megmutatja, hogy a ferde tengelyek csak egy különleges esetet jelentenek, miután kimutatta, hogy az alapvető kúp-tulajdonság ugyanabban a formában kifejezhető bármely új átmérőre és a végpontján lévő érintőre vonatkoztatva. Így az 5-7. könyvek egyértelműen eredetiek.

Apollonius zsenialitása az 5. könyvben éri el legnagyobb magasságait. Itt a matematikai normákat (a normális egy felületre vagy egy másik egyenesre merőlegesen húzott egyenes) úgy kezeli, mint adott pontokból a görbére húzott minimális és maximális egyeneseket (az érintő tulajdonságaitól függetlenül); tárgyalja, hogy hány normális húzható adott pontokból; konstrukcióval megtalálja a lábukat; és olyan tételeket ad, amelyek meghatározzák a görbületi középpontot bármely pontban, és elvezet bármely kúpszelvény evolúciójának kartéziánus egyenletéhez is.

A kúpszögekben Apollonius továbbfejlesztett egy olyan módszert, amely annyira hasonlít az analitikus geometriához, hogy munkáját néha úgy tekintik, mint ami mintegy 1800 évvel megelőzte Descartes munkáját. A vonatkoztatási vonalak (mint például az átmérő és az érintő) alkalmazása nála lényegében megegyezik a mi mai koordinátakeret-használatunkkal. A modern analitikus geometriával ellentétben azonban nem vette figyelembe a negatív nagyságokat. Emellett minden egyes görbére a görbe megkapása után helyezte rá a koordináta-rendszert. Így a görbékből egyenleteket, de nem egyenletekből görbéket vezetett le.

Más művek

Pappus említi Apollonius más értekezéseit is. Ezek mindegyike két könyvre oszlott, és – Euklidész Adatai, Porizmusai és Felület-lokai, valamint Apollóniusz Kónikái – Pappus szerint az ókori analízis törzsanyagába tartoztak.

De Rationis Sectione

De Rationis Sectione (Egy arány metszése) egy bizonyos probléma megoldására törekedett: Adott két egyenes és egy-egy pont mindegyikben, rajzoljunk egy harmadik adott ponton keresztül egy olyan egyenest, amely a két rögzített egyenest úgy metszi, hogy a bennük lévő adott pontok és e harmadik egyenes metszéspontjai között metszett részek adott arányúak legyenek.

De Spatii Sectione

De Spatii Sectione (Egy terület metszése) egy hasonló feladatot tárgyalt, melyben a két metszéspont által tartalmazott téglalapnak egy adott téglalappal kell megegyeznie.

De Sectione Determinata

De Sectione Determinata (Determinált metszet) olyan problémákkal foglalkozik, amelyeket egydimenziós analitikus geometriának nevezhetünk; azzal a kérdéssel, hogy egy egyenes olyan pontjait kell megtalálni, amelyek arányban álltak a többivel. A konkrét problémák a következők: Adott egy egyenes két, három vagy négy pontja, találjunk egy másik pontot rajta úgy, hogy az adott pontoktól való távolságai kielégítik azt a feltételt, hogy az egy ponton lévő négyzet vagy a kettő által tartalmazott téglalap adott arányban álljon vagy (1) a maradék egy ponton lévő négyzethez vagy a maradék kettő által tartalmazott téglalaphoz, vagy (2) a maradék egy pont és egy másik adott egyenes által tartalmazott téglalaphoz.

De Tactionibus

De Tactionibus (Tangenciák) a következő általános problémát ölelte fel: Adott három dolog (pontok, egyenesek vagy körök) helyzete, írjunk le egy kört, amely áthalad az adott pontokon és érinti az adott egyeneseket vagy köröket. A legnehezebb és történelmileg legérdekesebb eset akkor áll elő, ha a három adott dolog kör. A XVI. században Vieta ezt a problémát (néha Apollóni probléma néven ismert) Adrianus Romanusnak mutatta be, aki egy hiperbola segítségével oldotta meg. Vieta ezután egy egyszerűbb megoldást javasolt, ami végül arra késztette, hogy Apollonius egész értekezését visszaállítsa Apollonius Gallus kis művében.

De Inclinationibus

A De Inclinationibus (Hajlások) tárgya az volt, hogy bemutassa, hogyan lehet egy adott hosszúságú, adott pont felé hajló egyenest két adott (egyenes vagy kör alakú) egyenes közé illeszteni.

De Locis Planis

A De Locis Planis (Síkbeli loci) olyan locira vonatkozó tételek gyűjteménye, amelyek vagy egyenesek vagy körök.

Örökség

A “Nagy Geométer” néven ismert Apollonius művei nagyban befolyásolták a matematika fejlődését. Híres könyve, a Kónika, bevezette a parabola, az ellipszis és a hiperbola kifejezéseket. Megfogalmazta az excentrikus pályák hipotézisét, hogy megmagyarázza a bolygók látszólagos mozgását és a Hold változó sebességét. További hozzájárulása a matematika területéhez Apollonius tétele, amely megmutatja, hogy két modell a megfelelő paraméterek mellett egyenértékű lehet.”

Jegyzetek

• Boyer, Carl B. A matematika története. John Wiley & Sons, 1991. ISBN 978-0471543977
• Fried, Michael N. és Sabetai Unguru. Pergai Apollonius Conica című műve: Text, Context, Subtext. Brill, 2001. ISBN 978-9004119779
• Heath, T.L. Treatise on Conic Sections. W. Heffer & Sons, 1961.

All links retrieved April 8, 2016.

• Apollonius of Perga. www-groups.dcs.st-and.ac.uk. Apollonius Summary.
• Apollonius’ Tangency Problem, Circles. agutie.homestead.com.
• PDF scans of Heiberg’s edition of Apollonius of Perga’s Conic Sections (public domain). www.wilbourhall.org.