The Evolution of the Area Model: Elementary through Algebra

Amikor a gyerekek elkezdik megtanulni, hogyan kell számokat szorozni, az egyik első dolog, amit megtanulnak, az az, hogy egy tömbben lévő tárgyakból mintát készítsenek. Megszámolják a manipulatív eszközöket, és észreveszik, hogy van egy hosszúság és egy szélesség. Azt is, hogy meg tudják számolni az összes manipulatív eszközt, hogy megtalálják a végösszeget. Ebből a korai tapasztalatból a tanulók megkezdik az első lépést egy olyan készség felé, amely a középiskolai algebrában végig építkezni fog.

Amikor a Common Core és más tantervek elkezdték hangsúlyozni a nem szabványos algoritmusokat a hagyományos módszerekkel szemben, amelyeket sok felnőtt kizárólag az iskolában használt, ellenreakciókat váltottak ki. Mindenütt mémek és internetes témák jelentek meg, amelyek ezeket a nem szabványos módszereket túlságosan nehézkesnek vagy hatástalannak minősítették. Ezek nem vették észre, hogy mi a célja ezeknek a módszereknek a tanításának és tanulásának, például a területmodellnek a tanulóink matematikai fejlődésében. Az olyan módszereket, mint a területi modellek, azzal a céllal fejlesztették ki, hogy a matematika mechanikájának tartós megértésére tegyenek szert, nem pedig egyszerűen egy gyors matematikai feladatra adott válaszra. A szabványos algoritmus gyakran a leghatékonyabb módja egy probléma megoldásának, de gyakran elrejti a matematika érvelését a diákok elől, akik egyre fiatalabb korban tanulják a bonyolultabb feladatokat. Igen, a területmodell nagyon másképp néz ki, mint az a matematika, amit sokan közülünk gyerekkorunkban tanultunk, de a mechanika ugyanaz.

A területmodellek és a tömbök egyetlen egyszerű gondolatra épülnek: egy téglalap hossza vagy szélessége szorozva a teljes területtel lesz egyenlő. Az első területmodell modell, amelyet a diákok használnak, egy egyszerű fizikai tömb.

Ez az alapmodell tulajdonképpen az alapja a tanulásnak, amely a középiskolában folytatódik! Hogyan lehet ezt a modellt felhasználni a fiatal tanulók megértésének elősegítésére? Ennek a modellnek a legfontosabb felhasználási módja a vizuális különbség aközött, ahogyan az összeadás kinéz a szorzáshoz képest. Világosabbá teszi, hogy a 6 + 4 mennyire különbözik a 6 x 4-től. Ez a különbségtétel nagyon fontos lesz, amikor a tanulók elkezdik tanulmányozni a műveletek sorrendjét. Miután a tanulók elsajátították a szorzási tényeket, áttérnek a kétjegyű szorzásra. Ez az a pont, ahol a modellek olyan fordulatot vesznek, hogy sok felnőttnek kezd kellemetlen lenni a matematika!

Nem okoz gondot a diákjainak, hogy a fizikai modellt átvegyék az algoritmusba? Próbáld ki ezt a tippet: Kérd meg a diákjaidat, hogy építsenek fizikai tömböket a szorzótábla tetejére. Ez segít nekik abban, hogy lássák a kapcsolatot az általuk épített modell és a tények között, amelyek megtanulásán dolgoznak!

A területmodell fejlődésének következő lépése a manipulatív eszközök, például a tízes bázisú blokkok használata a helyértékkapcsolatok bemutatására. Ez a módszer trükkös lehet a pedagógusok és a szülők számára, akik nincsenek hozzászokva ahhoz, hogyan működnek a hossz- és szélességi viszonyok a tízes bázisú blokkok egyes egységein belül. Ennek a modellnek egy másik szempontja, amely nehézséget okozhat, az, hogy a blokkok különböző értékeket tudnak ábrázolni. Amikor egész számok szorzásával dolgozunk, az egységkocka egyet jelent, de amikor tizedes számokkal dolgozunk, az egységkocka a századot jelenti. A helyértékek modellezésének használata megmutatja a tanulóknak, hogy miért kell nullát elhelyezni, amikor kétjegyű számokat szorzunk kétjegyű számmal. A szorzásban kevésbé magabiztos tanulóknak is hidat adhat, hogy az egyjegyű szorzástól az összetettebb problémákig eljussanak.

Amint a tanulók körülbelül ötödik vagy hatodik osztályba érnek, a területmodellek használata újabb átalakulást kap. A konkrét modell a vizuális ábrázolás felé mozdul el. A tizedes számok esetében ez gyakran egy százasrács formájában jelenik meg. Ennek a modellnek a használata az egyik legjobb módja annak, hogy a tanulók megértsék, miért nem sorakoznak a tizedesjegyek egy szorzási feladatban. Ha a tanulók csak algoritmikus munkával találkoznak, gyakran nehezen emlékeznek arra, hogy mikor kell a tizedesjegyeket felsorakoztatni, és mikor kell a tizedesjegyeket elmozdítani. Ha megértetjük velük a tizedesjegyek elhelyezésének miértjét, az segít nekik abban, hogy természetesebben emlékezzenek és megértsék a fogalmat, és ne kelljen olyan erősen a memorizálásra támaszkodniuk. Emellett, ha a tanulók területmodellt használnak a törtek szorzásának ábrázolásához, képesek lesznek szemléltetni a nevezők szorzásának okát. A törtek összeadásának megtanulása után ez azért fontos, mert a tanulók szilárdan beültetik a fejükbe a közös nevezők megtalálásának gondolatát, amely szükséges a törtekkel való munkához. A szorzásnál erre természetesen nincs szükség, és rossz választ fog eredményezni. Ismétlem, akárcsak a tizedes számokkal való munka során, sok diák összezavarodik az additív és multiplikatív műveletek közötti szabálybeli különbségekkel kapcsolatban.

Nem okoz gondot diákjainak, hogy a tizedes és tört területmodellekben lássák a hosszúságot és a szélességet? Próbáld ki ezt a tippet: Rajzolj számvonalakat a hossz és a szélesség mentén. Jelöld meg először az egészeket. Ezután jelölje ki az egészeket egységnyi négyzetekkel, hogy a nevezőt könnyen meg lehessen számolni. Nézd meg az alábbi videót, hogy megnézd a lépéseket egy összetett vegyes szám szorzásával!

A korábbi modellek, bár különbözőek, mind számhosszúsággal és szélességgel foglalkoznak. A területmodelleknek nem kell numerikus értékeket használniuk, és használhatók algebrai kifejezések egyszerűsítésére. Az algebrai területmodellek építéséhez gyakran használják az algebrai lapoknak nevezett manipulációs eszközt. A területmodell használata algebrai kifejezések egyszerűsítésére a FOIL alternatívájaként használható. Bár sokan közülünk, akik most tanítunk, a FOIL-módszerrel nőttünk fel, amely az első, külső, belső, utolsó szavakból álló mnemotechnika az algebrai kifejezések szorzására, ennek a módszernek van néhány nyilvánvaló hiányossága. Az egyik legnagyobb az, amikor az egyik zárójelben kettő helyett három kifejezés szerepel. A FOIL-módszer csak akkor működik, ha mindkét szorzónak csak két tagja van, de semmi sem korlátozza az algebrai problémákat két tagra. Azok a tanulók, akiknek a FOIL-on kívül nincs más módszerük, valószínűleg elakadnak egy olyan problémánál, ahol nem tudnak más módszert használni.

A területmodellek alapvető eszközei a szorzatos összefüggések megértésének kiteljesedésének. A szorzási tények felépítésére való első használatától kezdve egészen az algebráig ez a modell, bár a legtöbben nem ezen nőttünk fel, amikor magunk is matematikát tanultunk, az egyik legjobb módszer arra, hogy a tanulók számára állandó és érthető megértési modellt hozzunk létre. Bár a matematika egyre bonyolultabbá válik, minden egyes alkalommal egy ismerős megoldási modell használatával olyan érzést lehet kelteni, mintha valami már ismert dologról lenne szó.