Topológiai analóg jelfeldolgozás

BY admin
|

Bloch sajátprobléma

A tömegkristály egydimenziós, a rácsállandóval és egységcellánként két akadállyal. Modellezzük és topológiáját az egységcella Mcell átviteli mátrixának segítségével határozzuk meg. A két szórásmátrix S1 és S2 definiálásával kezdjük, mint az egyes akadályok távmező szórásmátrixait, amikor egyedül vannak az egymódusú hullámvezetőben. Ezek a mátrixok a szórók bL és bR bal (L) és jobb (R) oldalán kimenő komplex jeleket viszonyítják a beeső jelekhez, aL és aR:

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {b_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\\ {b_{\mathrm{R}},{{i}}}} \end{array}} \right) = S_i\left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {a_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\\ {a_{\mathrm{R}},{{i}}}} \end{array}} \right).$$
(2)

Megjegyezzük, hogy egyelőre nem tesszük azt a feltételezést, hogy a két mátrix egyenlő: például a hengerek lehetnek különböző keresztmetszetűek, vagy egymáshoz képest eltolva stb. Ezek a mátrixok általában az ω szögfrekvenciától is függnek. Feltételezve az energia megmaradását a szórási folyamat során, ezeknek a mátrixoknak unitárisnak kell lenniük. Ezért nagyon általánosan a következőképpen paraméterezhetjük őket:

$$S_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {e^{i\i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1} & {e^{i\alpha _1}{\mathrm{sin}}\theta _1} \\ { – e^{ – i\alpha _1}{\mathrm{sin}}\theta _1e^{i{\mathrm{\Phi }}_1}}} & {e^{ – i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1e^{i{\mathrm{\Phi }}_1}}} \end{array}} \right),$$
(3)

$$S_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {e^{i\i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2} & {e^{i\alpha _2}{\mathrm{sin}}\theta _2} \\ { – e^{ – i\alpha _2}{\mathrm{sin}}\theta _2e^{i{\mathrm{\Phi }}_2}}} & {e^{ – i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2e^{i{\mathrm{\Phi }}_2}}} \end{array}} \right),$$
(4)

ahol a frekvenciafüggő szögek θ1,2, α1,2, ϕ1,2 és Φ1,2 egyediek, amint rögzítjük a referenciasíkot, itt a szórók központi helyzetében. A reciprocitást feltételezve (S21 = S12), 2α1,2 – Φ1,2 = π-nek kell lennie, ami szórásmátrixonként három paraméterre korlátoz minket, ami lehetővé teszi, hogy leírjuk:

$$S_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {e^{i\i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1} & {e^{i\alpha _1}{\mathrm{sin}}\theta _1} \\\ {e^{i\alpha _1}{\mathrm{sin}}\theta _1} & { – e^{ – i\varphi _1}{\mathrm{cos}}\theta _1e^{2i\alpha _1}} \end{array}} \right),$$
(5)

$$S_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {e^{i\i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2} & {e^{i\alpha _2}{\mathrm{sin}}\theta _2} \\\ {e^{i\alpha _2}{\mathrm{sin}}\theta _2} & { – e^{ – i\varphi _2}{\mathrm{cos}}\theta _2e^{2i\alpha _2}} \end{array}} \right).$$
(6)

Ezután levezethetjük a kapcsolódó M1 és M2 átviteli mátrixokat, amelyeket a következőképpen határozunk meg:

$$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {{{b}}_{{\mathrm{R}},{{i}}}} \\\ {a_{{\mathrm{R}},{{i}}}} \end{array}} \right) = M_{{i}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {a_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\\ {b_{\mathrm{L}},{{i}}}} \end{array}} \right)$$
(7)

és megkapjuk

$$M_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {\frac{{e^{i\alpha _1}}}}{{{\mathrm{sin}}\theta _1}}} & { – \frac{{e^{ – i\varphi _1}e^{i\alpha _1}{\mathrm{cos}}\theta _1}}{{{{\mathrm{sin}}\theta _1}}}} \\ { – \frac{e^{i\varphi _1}e^{ – i\alpha _1}{\mathrm{cos}}\theta _1}}{{{{\mathrm{sin}}\theta _1}}}} & {\frac{{e^{ – i\alpha _1}}}{{{{\mathrm{sin}}\theta _1}}}} \end{array}} \right),$$
(8)

$$M_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {\frac{{e^{i\alpha _2}}}}{{{\mathrm{sin}}\theta _2}}} & { – \frac{{e^{ – i\varphi _2}e^{i\alpha _2}{\mathrm{cos}}\theta _2}}{{{{\mathrm{sin}}\theta _2}}}} \\ { – \frac{e^{i\varphi _1}e^{ – i\alpha _2}{\mathrm{cos}}\theta _2}}{{{{\mathrm{sin}}\theta _2}}}} & {\frac{{e^{ – i\alpha _2}}}{{{{\mathrm{sin}}\theta _2}}}} \end{array}} \right).$$
(9)

Ha a két szórót az a rácsállandójú egységcellában d távolság választja el egymástól, akkor az egységcella Mcell teljes átviteli mátrixának a szorzata:

$$${\it{M}}}_{{\mathrm{cell}}} = {\it{M}}}_{\frac{{{{a – d}}}}{2}}}{\it{M}}_2{\it{M}}}_{d}}}{\it{M}}_1{\it{M}}}_{\it{M}}_{\frac{{{{a – d}}}}{2}}$$$
(10)

with

$$$M_{{L}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {e^{\\frac{{i\omega L}}{c}}}} & 0 \\ 0 & {e^{ – \frac{{i\omega L}}{c}}} \end{array}} \right),$$
(11)

hol \(L = d,\frac{{{a – d}}}{2},\) és c a fázissebesség. A mátrixszorzat felvétele után megkapjuk,

$${\it{M}}_{{\mathrm{cell}}}\left( \omega \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {M_{11}\left( \omega \right)} & {M_{21}^ \ast \left( \omega \right)} \\\ {M_{21}\left( \omega \right)} & {M_{11}^ \ast \left( \omega \right)} \end{array}} \right)$$
(12)

with

$${\it{M}}_{11}\left( \omega \right) = e^{\frac{{{i\omega a}}{c}}e^{i\left( {a_1 + a_2} \right)}{\mathrm{csc}}\theta _1{\mathrm{csc}}\theta _2 + e^{\frac{{i\omega \left( {a – 2d} \right)}}{c}}e^{i\left( {\varphi _1 – \varphi _2} \right)}e^{ – i\left( {a_1 – a_2} \right)}{\mathrm{cot}}\theta _1{\mathrm{cot}}\theta _2,$$
(13)

$$M_{21}\left( \omega \right) = – e^{\\frac{{i\omega d}}}{c}}e^{i\varphi _2}e^{i(a_1 – – a_2)}{\mathrm{csc}}\theta _1{\mathrm{cot}}\theta _2 – e^{ – \frac{{{i\omega d}}{c}}e^{i\varphi _1}e^{ – i(a_1 + a_2)}{\mathrm{cot}}\theta _1{\mathrm{csc}}\theta _2.$$
(14)

A z* jelölésére a z komplex konjugáltját használjuk. Megjegyezve, hogy |ψ〉 = T, ahol a és b az egységcella bejáratánál lévő előre és hátra komplex mezőamplitúdók, a Bloch-tétel alkalmazásával a következő sajátérték-problémát kapjuk,

$${\it{M}}_{\mathrm{cell}}}\left( \omega \right)\left| \psi \right\rangle = e^{i\,k_{\mathrm{B}}a}\left| \psi \right\rangle$$
(15)

amit a kristály Bloch sajátproblémájának nevezünk. Vegyük észre a Mcell(ω) nem triviális függését ω-tól. A fenti egyenlet legegyszerűbben a következő módon használható: minden ω értékre diagonalizálhatjuk Mcell(ω)-t, és megkaphatjuk a Bloch-hullámszám két ellentétes ±kB(ω) értékét az első Brillouin-zónában, és feloldhatjuk a sávszerkezetet. Megjegyzendő, hogy a Mcell nem unitárius és nem hermitikus, ami azt jelenti, hogy általában a ±kB(ω) értékek komplexek, ami elvileg végtelen számú sávot és sávhézagot tesz lehetővé. Figyeljük meg továbbá a különbséget a standard szoros kötésű SSH-modellhez képest, amely egy hermitikus sajátérték-problémához vezet, amely a Brillouin-kört az SU(2) mátrixok terébe képezi le, és a királis szimmetrikus rendszerek egyértelmű topológiai osztályozásához a tekercsszámon keresztül. Itt az idővisszafordító szimmetriával54 összhangban \(M_{\mathrm{cell}}}\left( \omega \right) \in {\mathrm{{SU}}}(1,1)\), a nem hermitikus mátrixok csoportja55. SU(1,1) Hamiltoniánok találhatók például az SSH szoros kötésű modell PT-szimmetrikus kiterjesztéseiben56 , ahol a Hamiltonián nem-Hermitikus jellege az energiamegmaradás hiányából ered. Itt Mcell nem hamilton, abban az értelemben, hogy a sajátértékei nem ω-hoz, hanem kB-hoz kapcsolódnak, és a Mcell pszeudo anti-Hermiticitása (\(\sigma _{\mathrm{z}}{\it{M}}_{{\mathrm{cell}}}^{\mathrm{\dagger }}\sigma _{\mathrm{z}} = – {\it{M}}}_{\mathrm{cell}}}\)) az időfordított szimmetriához kapcsolódik. A 11. kiegészítő ábrán az átviteli mátrix megközelítéssel kapott sávszerkezetet ábrázoljuk, és összehasonlítjuk a periodikus peremfeltételeknek kitett egységcella teljes hullámú szimulációjából (FEM módszer) közvetlenül kapott sávszerkezettel. Az átviteli mátrix sajátérték-probléma megoldásához a frekvenciától függő θ1,2, α1,2 és Φ1,2 paramétereket egy hullámvezetőben lévő egyetlen akadály FEM-szórásszimulációjából nyertük ki. A két szóró közti távolságot \(d = \frac{a}{2} – e_{\mathrm{p}}}\), ep = 2,8 cm (“triviális” eset) és a = 23 cm. A rúd átmérője 3,5 cm, a hullámvezető szélessége pedig 7 cm. A két megközelítés közötti egyezés igazolja a többszörös szórásmodell pontosságát, különösen azt az alapfeltevést, hogy a kristályban lévő akadályok között nincs közeli mező kölcsönhatás.

Az egységcellás átviteli mátrix tulajdonságai

A következő szakaszban a rendszer topológiájának meghatározásához először az egységcellás átviteli mátrix néhány kulcsfontosságú tulajdonságát kell megállapítanunk. Általános tulajdonságokkal kezdjük, mielőtt rátérnénk a sávra vagy a sávszerkezet degenerált pontjaira vonatkozó specifikusabb tulajdonságokra.

Az időfordított szimmetria54 közvetlen következményeként a Mcell rendszer átviteli mátrixa az SU(1,1) alakú mátrixok csoportjába tartozik

$$M_{{\mathrm{{{cell}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} \alpha & {\beta ^ \ast } {\béta ^ \ast } \\ \ \béta & {\alpha ^ \ast } \end{array}} \right)$$
(16)

amelyet a Pauli-mátrixok segítségével a következőképpen paraméterezünk

$$${\it{M}}_{{\mathrm{cell}}}} = \alpha _{\mathrm{R}}\sigma _0 + \beta _{\mathrm{R}}\sigma _x + \beta _{\mathrm{I}}\sigma _y + i\alpha _{\mathrm{I}}\sigma _{\mathrm{z}}.$$
(17)

Az \(\lambda _ \pm = \alpha _{\mathrm{R}} sajátértékek, adott \(\lambda _ \pm = \alpha _{\mathrm{R}} \pm i\sqrt {\alpha _{\mathrm{I}}^2 – \beta _{\mathrm{R}}^2 – \beta _{\mathrm{I}}^2}\) valósak, ha \(\alpha _{\mathrm{I}}^2 < \left| \beta \right|^2\), és komplexek egyébként. Ezek a sajátértékek degeneráltak az \(\alpha _{\mathrm{I}}^2 – \beta _{\mathrm{R}}^2 – \beta _{\mathrm{I}}^2 = 0\) feltétel mellett, azaz ha a βR, βI és αI paraméterek a (βR, βI, αI) térben egy kettős kúpba tartoznak. Ezt a kúpot a 6. ábra alsó paneljei ábrázolják. A kúp csúcsán βR = βI = αI = 0, ami azt jelenti, hogy Mcell redukálódik Mcell = αRσ0-ra.

6. ábra
6. ábra

A sávok topológiája. A sávok topológiáját úgy határozzuk meg, hogy az \(\mathcal{C}\) kontúr hányszor keresztezi a 20. egyenletben meghatározott kúp tengelyét. a Triviális rács esetén az \(\mathcal{C}\) kontúr nem keresztezi a kúp tengelyét, ami nulla topológiai invariánsnak felel meg. b Amikor a rendszer fázisátalakuláson megy keresztül, az \(\mathcal{C}\) kontúr érinti a kúp csúcsát. A topológiai invariáns ebben az esetben nem definiálható. c Ugyanaz, mint az a) és b) táblákon, de a topológiai rácsra. A \(\mathcal{C}\) kontúr ebben az esetben egyszer keresztezi a kúp tengelyét, ami nemtriviális topológiának felel meg

A sávban a Mcell mátrixnak speciális alakja van. A Bloch sajátprobléma ugyanis azt jelenti, hogy \(\alpha _{\mathrm{R}} \pm i\sqrt {\alpha _I^2 – \left| \beta \right|^2} = e^{i\,k_{\mathrm{B}}}a}\), amiből következik, hogy

$${\it{\alpha }}}_{\mathrm{R}} = {\mathrm{cos}}\left( {k_{\mathrm{B}}a}} \right)$$
(18)

és

.

$$$\left| \alpha \right|^2 = 1 + \left| \beta \right|^2$$$
(19)

az \(\alpha _{\mathrm{I}}^2 + \alpha _{\mathrm{R}}^2 = 1 + \left| \beta \right|^2\), ami egyenértékű \(\alpha _{\mathrm{I}}^2 = {\mathrm{sin}}^2(k_{\mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2\), vagy

$${\it{\alpha }}}_{\mathrm{I}} = \pm \sqrt {{\mathrm{sin}}^2({\it{k}}}_{\mathrm{B}}}{\it{a}}) + \left| \beta \right|^2}.$$
(20)

Egy sávban tehát

$$$M_{{\mathrm{cell}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {{{\mathrm{cos}}(k_{\mathrm{B}}a) \pm i\sqrt {{\mathrm{sin}}^2(k_{\mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2} } & {\béta \ast} \\\ \beta & {{\mathrm{cos}}(k_{\mathrm{B}}a) \mp i\sqrt {{\mathrm{sin}}^2(k_{\mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2} } \end{array}} \right).$$
(21)

Eredményképpen egy sáv egy-egy leképezést ír le a Brillouin-körből egy zárt \(\mathcal{C}\) útra az SU(1,1) mátrixok Mcell(kB) altérében a fenti alakban. A Bloch sajátérték-problémából \(M_{\mathrm{cell}}}\left( \omega \right)\left| \psi \right\rangle = e^{i\,k_{\mathrm{B}}a}\left| \psi \right\rangle\), levezethető, hogy egy sávban Mcell(ω) komplex sajátértékekkel rendelkezik, ami azt jelenti, hogy \(\alpha _{\mathrm{I}}^2 > \left| \beta \right|^2\), i.azaz az \(\mathcal{C}\) útnak a kúpon belül kell lennie, vagy a felső αI > |β|, vagy az alsó αI < -|β| tartományban. Ezenkívül az \(\mathcal{C}\) útvonal csak akkor érintheti a kúpot, ha a Mcell sajátértékei, nevezetesen \(e^{i\,k_{\mathrm{B}}a}\) degeneráltak. Ez szükségszerűen így van a Brillouin-zóna \(\left( {k_{\\mathrm{B}} = \pm \frac{\pi }{a}} \right)\) szélein, és a középpontjában kB = 0. A kettő között \(\mathcal{C}\) nem érintheti a kúpot, mivel az időbeli fordított szimmetria miatt két különböző \(e^{ \pm i\,k_{\mathrm{B}}}a}\) sajátértéket kell találni. Végül az \(\mathcal{C}\) pálya nem hurok, hanem egyszerű vonal, mivel Mcell az ω egyszerű függvénye, és ezért a kB két ellentétes értékére egy sávon ugyanaz: A \(k_{\mathrm{B}} = – \frac{\pi }{a}\) kúpon indul, és kB = 0-nál ismét azon landol, majd a kB = 0 és \(k_{\mathrm{B}} = \frac{\pi }{a}\) közötti fordított pályán halad. A 6a. ábra egy példát mutat az \(\mathcal{C}\) kontúrjára a kristály harmadik sávjára (feltételezhetően topológiailag “triviális” eset, ep = 2,8 cm), a 6c. ábra pedig ugyanezt a kontúrt mutatja ep = -2,8 cm esetén, ami a duális rendszernek felel meg, ami feltételezhetően topológiai (a topológiai tulajdonságokat a következő fejezetben bizonyítjuk). A 6b. ábra az ep = 0 cm esetet ábrázolja, amely a sávhézagokat lezárja. A várakozásoknak megfelelően a kontúr minden esetben a kúpon kezdődik és végződik.

Azoknak a feltételeknek a vizsgálatához, amelyek mellett két egymást követő frekvenciasáv érintkezhet, célszerű a Bloch-sajátproblémát átformálni az egyenértékű formába:

$$e^{ – i\{,k_{\mathrm{B}}a}M_{{\mathrm{cell}}}\left( \omega \right)\left| {\psi \rangle } \right. = \left| {\psi \rangle } \right.$$
(22)

és ezt a következőképpen gondoljuk el: az első Brillouin-zóna minden kB-jára vonatkozóan a sávok megtalálása azt jelenti, hogy megkeressük az ω azon értékeit, amelyekre az \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{{\mathrm{cell}}}\) mátrixnak legalább egy sajátértéke egyenlő eggyel, a megfelelő sajátvektor pedig a Bloch-sajátvektor az adott sávban. Ez végtelen sok ω értékre történhet. Ha \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{{\mathrm{cell}}}\) mindkét sajátértéke egy adott frekvencián egyenlő eggyel, akkor a sávszerkezet kétszeresen degenerált, ami tehát a rendszer által megengedett maximális frekvenciadegeneráció. Mivel az \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{{\mathrm{cell}}}}\) sávra vonatkozó sajátértékeinek általános alakja \(\upsilon _ \pm = e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}}\left( {\alpha _{\mathrm{R}}}) \pm i\sqrt {\alpha _{\mathrm{I}}^2 – \left| \beta \right|^2} } \right) = e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}e^{ \pm i\,k_{\mathrm{B}}a}}\), a második sajátérték \(e^{ – 2i\,k_{\{mathrm{B}}}a}}\) csak a Brillouin-zóna éleinél \(\left( {k_{\mathrm{B}} = \pm \frac{\pi }{a}}} \right)\), vagy kB = 0-nál lehet egyenlő az egységgel. Ennek következtében a sávhézagok csak a Brillouin-zóna középpontjában vagy szélén záródhatnak, azaz amikor az \(\mathcal{C}\) kontúr érinti a kúpot.

Feltéve az első esetet, azaz az \(k_{\mathrm{B}} = \pm \frac{\pi }{a}\) elfajulást, akkor \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}}a} = – 1\). Az elfajulás adott frekvenciáján megkapjuk,

$$e^{ – i\{,k_{\mathrm{B}}a}M_{{{\mathrm{cell}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}} {1 \mp i\left| \beta \right|} & { – \beta \ast } \\\ { – \beta } & {1 \pm i\left| \beta \right|} \end{array}} \right)$$
(23)

és ez a mátrix csak akkor lehet egyenlő az azonossággal, ha \(\left| \beta \right| = 0\). A kB = 0-nál fennálló degeneráltság második esete ugyanerre a következtetésre vezet \((\left| \beta \right| = 0)\). Ez azt jelenti, hogy amikor két sáv összeér, a \(\mathcal{C}\) kontúr eléri a kúp csúcsát, amit a 6b. ábra is megerősít.

A sávok topológiája

Amint az előzőekben láttuk, minden sáv leképezést definiál a Brillouin-kör és az SU(1,1) mátrixok egy altérje között. Most minden sávhoz definiálunk egy topológiai invariánst, azaz egy olyan egész számú mennyiséget, amely a sávszerkezet folytonos transzformációira invariáns. Ez azt jelenti, hogy ez a szám csak akkor változhat, ha a sáv diszkontinuus transzformáción megy keresztül, azaz egy másik sávot érint, vagy ennek megfelelően, ha a \(\mathcal{C}\) kontúr a kúp csúcsát érinti.

Mint a standard szoros kötésű SSH modellben, itt is szükségünk van egy extra szimmetriára, a királis szimmetriához hasonlóan, hogy topológiai invariánsokat tudjunk definiálni minden sávra. Itt meg kell követelnünk, hogy a szórásmátrixok S1 és S2 egyenlőek legyenek, úgy, hogy θ1 = θ2 =θ, α1,2 = α1,2 = α és φ1 = φ2 = φ. Ezzel a kiegészítő feltétellel a \(\beta = M_{21}\left( {\omega (k_{\mathrm{B}})} \right)\) az egyenletben. 14, amely a Mcell mátrixot paraméterezi egy sávon, lesz

$$$\béta \left( {k_{\mathrm{B}}} \right) = – 2e^{i\left( {\varphi – \alpha } \right)}\cos \left( {\alpha + \frac{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}{c}}} \right)\cot \theta \csc \theta,$$
(24)

ahol az egyetlen akadály S mátrixát paraméterező α, θ és φ mennyiségek általában ω(kB) függvényei. Ezután feltételezzük a nem rezonáns szórók esetét, ami azt jelenti, hogy cos θ nem tűnik el a sávon, és α és θ sávon való változása elhanyagolható. Mivel Mcellnek mindig két komplex-konjugált unimoduláris sajátértéke van, ω(kB) szükségszerűen monoton -π/a és 0 között. Fókuszáljuk figyelmünket az \(\cos \left( {\alpha + \frac{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}}} \right)d}}{c}}} mennyiségre. \right)\), ami potenciálisan eltüntetheti a β(kB) komplex számot a Brillouin zóna egy adott pontján. Amikor kB -π/a és 0 között halad, az \(\gamma = \alpha + \frac{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}}} \right)d}}}{c}\) szög monoton mozog két valós érték, mondjuk γmin és γmax között, ami egy folytonos monoton leképezést határoz meg \(\left\) és . Most két helyzet állhat elő:

  1. (1)

    A szakasz nem tartalmazza π/2-t (modulo π), ebben az esetben \(\cos \left( {\alpha + \frac{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}}} \right)d}}{c}}} \right)\) soha nem tűnik el, ahogy kB -π/a-tól 0-ig megy. Ez azt jelenti, hogy β soha nem tűnik el a sávban.

  2. (2)

    A szakasz tartalmazza π/2-t (modulo π), ebben az esetben β legalább egyszer eltűnik a sávban.

Mivel β = 0 azt jelenti, hogy a \(\mathcal{C}\) kontúr keresztezi a kúp tengelyét, ezért az η topológiai invariánst a következőképpen definiálhatjuk: Megszámolhatjuk, hogy η hányszor keresztezi \(\mathcal{C}\) a kúptengelyt, ahogy kB -π/a és 0 között halad. Ez az egész szám minden alkalommal változik, amikor γmax vagy γmin egyenlő π/2-vel (modulo π), azaz amikor β nulla vagy a Brillouin-zóna szélén vagy közepén, azaz amikor egy sávhézag bezárul. A 6. ábra azt mutatja, hogyan alakul az \(\mathcal{C}\) kontúr a rendszerünk harmadik sávjára, amikor a triviális rezsimből (a panel, \(\(\mathcal{C}\) nem keresztezi a kúp tengelyét, η = 0) a topológiai rezsimbe (c panel, \(\(\mathcal{C}\) keresztezi a kúp tengelyét, η = 1) lépünk. A topológiai fázisátmenetnél az \(\mathcal{C}\) kontúr érinti a kúp csúcsát, ami bezárja a sávhézagot, és az η szám nem definiált.

Szimmetriavédelem

A topológiai invariáns η mint az \(\mathcal{C}\) kontúr -π/a és 0 között a kúp tengelyét keresztező számának meghatározása két mögöttes szimmetrián alapul, és mindkettőnek teljesülnie kell:

  1. (1) Időfordító szimmetria, amely garantálja, hogy Mcell az SU(1,1)55-hoz tartozik.

  1. (2) S1 és S2 egyenlősége (a két akadály távoli mező egyéni szórásmátrixának azonosnak kell lennie), vagy egyenértékűen:

$$M_{{\mathrm{cell}}}^2 = 1.$$$
(25)

A vízszintes helyzet rendezetlensége nyilvánvalóan nem változtatja meg az objektum egyes szórási paramétereit. Ráadásul a függőleges helyzeti rendezetlenség sem változtatja meg, amint azt a 12. kiegészítő ábra mutatja (az egyetlen különbség a szórási spektrumban a kontinuumban lévő akusztikus kötött állapothoz való kapcsolódásból eredő nagyon éles Fano interferenciák, de ezek messze vannak a minket érdeklő frekvenciatartománytól). Ennek következtében a helyzeti rendezetlenség nem törik meg \(M_{\mathrm{cell}}}^2 = 1\). Az egyik rúd átmérőjének megváltoztatása azonban határozottan megváltoztatja a szórásmátrixát. Különböző sugarú rudak esetén az történik, hogy a mennyiség

$$$\\béta \left( {k_{\mathrm{B}}} \right) = – e^{\frac{{i\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}}{c}}e^{i\varphi _2}e^{i(a_1 – a_2)}\csc \theta _1\cot \theta _2 – e^{ – \frac{{i\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}}{c}}e^{i\varphi _1}e^{ – – i(a_1 + a_2)}\cot \theta _1\csc \theta _2$$
(26)

soha nem nulla egyszerre, ami azt jelenti, hogy az \(\mathcal{C}\) kontúr elkerülheti a kúp tengelyének keresztezését, ha egyszerűen megkerüli azt. Ez analóg egy királis szimmetria nélküli SSH-lánccal, ahol néhány megfelelően megválasztott kiralitást megtörő hiba a határfelületen megváltoztathatja a tekercsszámot anélkül, hogy a sávhézagot bezárná. Ezek az eredmények magyarázzák a főszöveg 3. ábráján bemutatott teljes hullámú szimulációk eredményét.

Numerikus módszerek

A teljes hullámú szimulációkat mind a Comsol Multiphysics (Acoustic és RF modulok) segítségével végeztük. A diszperziós görbéket úgy kapjuk meg, hogy a rácsmátrixok egyetlen egységcelláját tekintjük, Floquet-határfeltételt alkalmazunk az egységcella oldalsó oldalaira, és sajátfrekvenciás szimulációkat végzünk az összes Floquet-Bloch hullámszámra.

Az ODE-megoldók frekvencia-spektrumainak meghatározásához a rendszert egységnyi amplitúdójú beeső síkhullámmal gerjesztjük, és mérjük a nyomást a hullámvezető átviteli oldalán.

Kísérleti méréseink keresztellenőrzése érdekében numerikus végeselemes szimulációkat végeztünk 1,15 dB/m viszkothermikus veszteséget is beleértve, hogy elérjük például az X(ω) átviteli függvényt az injektált és az áteresztett hanghullámok között. Ezután a hangszóró Y(ω) átviteli függvényét az üres hullámvezető gerjesztésével és a hozzá tartozó hangnyomásszint mérésével kaptuk meg az átviteli oldalon. A Z(ω) átviteli függvényt a hangszóróra kapcsolt feszültség és az átvitt nyomás között a következőképpen kaptuk meg: \(Z\left( \omega \right) = X(\omega )/Y(\omega )\).

FDTD-szimulációinkban a hullámvezetőt az egyik végéről gerjesztjük a kívánt modulált bemeneti jellel, és a hullámvezető másik oldalán lévő ponton kapott nyomásmező időbeli alakulását (a stabilitás biztosítása érdekében Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) feltételnek megfelelő időléptékkel) rögzítjük.

Kísérleti módszerek

Amint a főszövegben említettük, az akusztikus hullámvezető megvalósításához egy akril négyzet alakú csövet használunk. A hullámvezetőbe ezután kézzel Nylon 6 folytonos öntött hengereket helyeztek be, hogy kialakítsák az SSH-típusú tömböt. A 13a. kiegészítő ábra a rendszer átviteli függvényének eléréséhez használt kísérleti elrendezést ábrázolja. A berendezés tartalmaz egy hangszórót, egy Data Physics Quattro jelanalizátort, amely egy számítógéphez csatlakoztatva (az ábrán nem látható) vezérli azt, egy ICP mikrofont, amely az átvitt hangnyomásszintet méri, és egy házilag készített visszhangmentes lezárást (az ábrán nem látható). A minta átviteli függvényének meghatározásához a hangszórót egy burst zajfeszültséggel hajtjuk meg (amely a beállításban referenciajelként van beállítva), és az ICP-mikrofonnal mérjük a nyomásszintet a referenciacsatornához viszonyítva. A 13b. kiegészítő ábra mutatja a kísérleti elrendezést, amelyet egy tetszőleges időprofilú \(\tilde g(t)\) bemeneti jel (feszültség) létrehozására és a kimeneti jel \(\tilde f(t)\) időbeli alakulásának mérésére használtunk. A berendezés egy Speedgoat Performance valós idejű célgépből áll IO131 interfésszel, amelyet a MATLAB/Simulink xPC célkörnyezete vezérel, egy hangszóróból, egy teljesítményerősítőből, egy házi készítésű akusztikus lezárásból (az ábrán nem látható) és egy ICP mikrofonból, amely az átvitt nyomást méri.