Apollonio di Perga

Un’ellisse (ombreggiata in verde) era una delle sezioni coniche studiate e nominate da Apollonio.

Apollonio di Perga (Pergaeus) (ca. 262 a.C. – ca. 190 a.C.) è stato un geometra e astronomo greco della scuola alessandrina, noto per i suoi scritti sulle sezioni coniche. La sua innovativa metodologia e terminologia, specialmente nel campo delle coniche, influenzò molti studiosi successivi, tra cui Tolomeo, Francesco Maurolico, Isaac Newton e René Descartes.

Una parabola (ombreggiata in verde) è un’altra sezione conica descritta da Apollonio.

Un’iperbole (ombreggiata in verde) è una terza sezione conica studiata da Apollonio.

Fu Apollonio a dare all’ellisse, alla parabola e all’iperbole i nomi con cui sono ora conosciuti. A lui sono attribuite anche le ipotesi delle orbite eccentriche, o deferenti e degli epicicli, per spiegare il moto apparente dei pianeti e la velocità variabile della Luna. Il teorema di Apollonio dimostra che due modelli possono essere equivalenti, dati i giusti parametri. Tolomeo descrive questo teorema nell’Almagesto 12.1. Apollonio studiò anche la teoria lunare, che chiamò Epsilon (ε). Il cratere Apollonio sulla Luna è stato chiamato in suo onore.

Vita e opere principali

Apollonio nacque circa 262 a.C., circa 25 anni dopo Archimede. Fiorì sotto i regni di Tolomeo Euergete e Tolomeo Filopatore (247-205 a.C.). Il suo trattato sulle coniche gli valse il nome di “Grande Geometra”, un risultato che assicurò la sua fama.

Di tutti i suoi trattati, solo Coniche sopravvive. Degli altri, gli storici hanno i titoli e qualche indicazione del loro contenuto grazie a scrittori successivi, specialmente Pappo. Dopo la prima edizione della Conica in otto libri, Apollonio fece uscire una seconda edizione su suggerimento di Eudemo di Pergamo. Mentre rivedeva ciascuno dei primi tre libri, Apollonio ne inviava una copia a Eudemo; i cambiamenti più considerevoli vennero nei primi due libri. Eudemo morì prima del completamento del resto della revisione, così Apollonio dedicò gli ultimi cinque libri al re Attalo I (241-197 a.C.). Solo quattro libri sono sopravvissuti in greco; altri tre sono esistenti in arabo; l’ottavo non è mai stato scoperto.

Anche se è stato trovato un frammento di una traduzione latina dall’arabo del XIII secolo, fu solo nel 1661 che Giovanni Alfonso Borelli e Abraham Ecchellensis fecero una traduzione dei libri 5-7 in latino. Sebbene abbiano usato la versione araba di Abu ‘l-Fath di Ispahan del 983, conservata in un manoscritto fiorentino, la maggior parte degli studiosi ora concorda che le migliori interpretazioni arabe sono quelle di Hilal ibn Abi Hilal per i libri 1-4 e Thabit ibn Qurra per i libri 5-7.

Apollonio si occupava di matematica pura. Quando gli fu chiesto dell’utilità di alcuni dei suoi teoremi nel Libro 4 delle Coniche affermò con orgoglio che “sono degni di essere accettati per il bene delle dimostrazioni stesse, allo stesso modo in cui noi accettiamo molte altre cose in matematica per questo e per nessun altro motivo”. E poiché molti dei suoi risultati non erano applicabili alla scienza o all’ingegneria del suo tempo, Apollonio sostenne ulteriormente nella prefazione del quinto libro delle Coniche che “l’argomento è uno di quelli che sembra degno di essere studiato per il loro stesso bene.”

Coniche

Apollonio afferma che nei libri 1-4, egli elabora la generazione delle curve e le loro proprietà fondamentali presentate nel libro 1 in modo più completo rispetto ai trattati precedenti, e che un certo numero di teoremi nel libro 3 e la maggior parte del libro 4 sono nuovi. Le allusioni alle opere dei predecessori, come i quattro libri di Euclide sulle coniche, mostrano un debito non solo verso Euclide ma anche verso Conone e Nicoteles.

La generalità del trattamento di Apollonio è notevole. Definisce e nomina le sezioni coniche, la parabola, l’ellisse e l’iperbole. Vede ciascuna di queste curve come una proprietà conica fondamentale che è l’equivalente di un’equazione (più tardi chiamata equazione cartesiana) applicata agli assi obliqui – per esempio, gli assi costituiti da un diametro e la tangente alla sua estremità – che si ottengono tagliando un cono circolare obliquo. (Un cono circolare obliquo è un cono in cui l’asse non forma un angolo di 90 gradi con la direttrice. Al contrario, un cono circolare retto è quello in cui l’asse forma un angolo di 90 gradi con la direttrice). Il modo in cui il cono è tagliato, afferma, non ha importanza. Egli mostra che gli assi obliqui sono solo un caso particolare, dopo aver dimostrato che la proprietà conica di base può essere espressa nella stessa forma con riferimento a qualsiasi nuovo diametro e alla tangente alla sua estremità. Così, i libri 5-7 sono chiaramente originali.

Il genio di Apollonio raggiunge le sue massime altezze nel libro 5. Qui tratta le normali matematiche (una normale è una linea retta tracciata perpendicolarmente a una superficie o a un’altra linea retta) come linee rette minime e massime tracciate da punti dati alla curva (indipendentemente dalle proprietà della tangente); discute quante normali possono essere tracciate da punti particolari; trova i loro piedi per costruzione; e dà proposizioni che determinano il centro di curvatura in qualsiasi punto e porta anche all’equazione cartesiana dell’evoluta di qualsiasi sezione conica.

In Conics, Apollonio sviluppò ulteriormente un metodo che è così simile alla geometria analitica che il suo lavoro è a volte considerato come anticipare il lavoro di Cartesio di circa 1800 anni. La sua applicazione di linee di riferimento (come un diametro e una tangente) è essenzialmente la stessa del nostro uso moderno di un quadro di coordinate. Tuttavia, a differenza della moderna geometria analitica, non prendeva in considerazione le grandezze negative. Inoltre, sovrapponeva il sistema di coordinate su ogni curva dopo che la curva era stata ottenuta. Così, ha derivato equazioni dalle curve, ma non ha derivato curve da equazioni.

Altre opere

Pappo menziona altri trattati di Apollonio. Ognuno di questi era diviso in due libri e, con i Dati, i Porismi e le Superfici di Euclide e le Coniche di Apollonio, erano, secondo Pappo, inclusi nel corpo dell’analisi antica.

De Rationis Sectione

De Rationis Sectione (Taglio di un rapporto) cercava di risolvere un certo problema: date due linee rette e un punto in ciascuna, tracciare attraverso un terzo punto dato una linea retta che tagliasse le due linee fisse in modo che le parti intercettate tra i punti dati in esse e i punti di intersezione con questa terza linea possano avere un dato rapporto.

De Spatii Sectione

De Spatii Sectione (Taglio di un’area) discute un problema simile che richiede che il rettangolo contenuto dalle due intercette sia uguale a un rettangolo dato.

De Sectione Determinata

De Sectione Determinata (Sezione Determinata) tratta problemi in un modo che può essere chiamato una geometria analitica di una dimensione; con la questione di trovare punti su una linea che fossero in un rapporto con gli altri. I problemi specifici sono: Dati due, tre o quattro punti su una linea retta, trovare un altro punto su di essa tale che le sue distanze dai punti dati soddisfino la condizione che il quadrato su uno o il rettangolo contenuto da due abbia un dato rapporto o (1) con il quadrato sul rimanente o il rettangolo contenuto dai rimanenti due o (2) con il rettangolo contenuto dal rimanente e un’altra data linea retta.

De Tactionibus

De Tactionibus (Tangenze) abbracciava il seguente problema generale: dati tre oggetti (punti, linee rette o cerchi) in posizione, descrivere un cerchio che passa per i punti dati e tocca le linee rette o i cerchi dati. Il caso più difficile e storicamente interessante si presenta quando le tre cose date sono cerchi. Nel XVI secolo, Vieta presentò questo problema (talvolta conosciuto come il problema di Apollonio) ad Adrianus Romanus, che lo risolse con un’iperbole. Vieta propose quindi una soluzione più semplice, che alla fine lo portò a ripristinare l’intero trattato di Apollonio nella piccola opera Apollonius Gallus.

De Inclinationibus

Lo scopo del De Inclinationibus (inclinazioni) era di dimostrare come una linea retta di una data lunghezza, tendente a un dato punto, potesse essere inserita tra due linee date (rette o circolari).

De Locis Planis

De Locis Planis (Loci piani) è una raccolta di proposizioni relative ai loci che sono o linee rette o cerchi.

Legacy

Conosciuto come “Il Grande Geometra”, le opere di Apollonio influenzarono notevolmente lo sviluppo della matematica. Il suo famoso libro, Coniche, introdusse i termini parabola, ellisse e iperbole. Ha concepito l’ipotesi delle orbite eccentriche per spiegare il moto apparente dei pianeti e la velocità variabile della Luna. Un ulteriore contributo al campo della matematica è il teorema di Apollonio, che dimostra che due modelli possono essere equivalenti dati i giusti parametri.

Note

• Boyer, Carl B. A History of Mathematics. John Wiley & Sons, 1991. ISBN 978-0471543977
• Fried, Michael N. e Sabetai Unguru. Conica di Apollonio di Perga: Text, Context, Subtext. Brill, 2001. ISBN 978-9004119779
• Heath, T.L. Treatise on Conic Sections. W. Heffer & Sons, 1961.

Tutti i link recuperati l’8 aprile 2016.

• Apollonio di Perga. www-groups.dcs.st-and.ac.uk. Riassunto di Apollonio.
• Problema della tangenza di Apollonio, Cerchi. agutie.homestead.com.
• Scansioni PDF dell’edizione di Heiberg delle sezioni coniche di Apollonio di Perga (pubblico dominio). www.wilbourhall.org.