Ben Green (matematico)

La maggior parte della ricerca di Green è nel campo della teoria analitica dei numeri e della combinatoria additiva, ma ha anche risultati in analisi armonica e nella teoria dei gruppi. Il suo teorema più noto, dimostrato insieme al suo frequente collaboratore Terence Tao, afferma che esistono progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe nei numeri primi: questo è ora noto come teorema Green-Tao.

Tra i primi risultati di Green nella combinatoria additiva ci sono un miglioramento di un risultato di Jean Bourgain della dimensione delle progressioni aritmetiche negli insiemi di somme, così come una prova della congettura di Cameron-Erdős sugli insiemi senza somma dei numeri naturali. Ha anche dimostrato un lemma di regolarità aritmetica per funzioni definite sui primi N numeri naturali, in qualche modo analogo al lemma di regolarità di Szemerédi per i grafi.

Dal 2004-2010, in un lavoro congiunto con Terence Tao e Tamar Ziegler, ha sviluppato la cosiddetta analisi di Fourier di ordine superiore. Questa teoria mette in relazione le norme di Gowers con oggetti noti come nilsequences. La teoria deriva il suo nome da queste nilsequenze, che giocano un ruolo analogo a quello dei caratteri nell’analisi di Fourier classica. Green e Tao hanno usato l’analisi di Fourier di ordine superiore per presentare un nuovo metodo per contare il numero di soluzioni di equazioni simultanee in certi insiemi di numeri interi, compresi i numeri primi. Questo generalizza l’approccio classico usando il metodo del cerchio di Hardy-Littlewood. Molti aspetti di questa teoria, compresi gli aspetti quantitativi del teorema inverso per le norme di Gowers, sono ancora oggetto di ricerche in corso.

Green ha anche collaborato con Emmanuel Breuillard su argomenti di teoria dei gruppi. In particolare, insieme a Terence Tao, hanno dimostrato un teorema di struttura per gruppi approssimati, generalizzando il teorema di Freiman-Ruzsa su insiemi di interi con piccoli raddoppi. Green ha anche un lavoro, insieme a Kevin Ford e Sean Eberhard, sulla teoria del gruppo simmetrico, in particolare su quale proporzione dei suoi elementi fissi un insieme di dimensione k.

Green e Tao hanno anche un lavoro sulla geometria algebrica combinatoria, risolvendo la congettura Dirac-Motzkin (vedi teorema di Sylvester-Gallai). In particolare dimostrano che, data una qualsiasi collezione di n punti nel piano che non sono tutti collineari, se n {displaystyle n} è abbastanza grande allora deve esistere almeno n / 2 {displaystyle n/2} linee nel piano contenenti esattamente due dei punti.

Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, James Maynard e Terence Tao, inizialmente in due gruppi di ricerca separati e poi in combinazione, hanno migliorato il limite inferiore per la dimensione dello scarto più lungo tra due primi consecutivi di dimensione massima X {displaystyle X} . La forma del limite precedentemente più noto, essenzialmente dovuto a Rankin, non era stato migliorato per 76 anni.

Più recentemente Green ha considerato questioni nella teoria di Ramsey aritmetica. Insieme a Tom Sanders ha dimostrato che, se un campo finito di ordine primo sufficientemente grande è colorato con un numero fisso di colori, allora il campo ha elementi x , y {displaystyle x,y} tali che x , y , x + y , x y {displaystyle x,y,x{+}y,xy} hanno tutti lo stesso colore.

Green è stato anche coinvolto nei nuovi sviluppi di Croot-Lev-Pach-Ellenberg-Gijswijt sull’applicazione di un metodo polinomiale per vincolare la dimensione dei sottoinsiemi di uno spazio vettoriale finito senza soluzioni di equazioni lineari. Ha adattato questi metodi per dimostrare, in campi di funzioni, una versione forte del teorema di Sárközy.