Bode Plot, Gain Margin e Phase Margin (Plus Diagrams)
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What is a Bode Plot
A Bode plot is a graph commonly used in control system engineering to determine the stability of a control system. Un diagramma di Bode mappa la risposta in frequenza del sistema attraverso due grafici – il diagramma di grandezza di Bode (che esprime la grandezza in decibel) e il diagramma di fase di Bode (che esprime lo spostamento di fase in gradi).
I diagrammi di Bode furono introdotti per la prima volta negli anni 30 da Hendrik Wade Bode mentre lavorava ai Bell Labs negli Stati Uniti. Anche se i diagrammi di Bode offrono un metodo relativamente semplice per calcolare la stabilità del sistema, non possono gestire funzioni di trasferimento con singolarità del semipiano destro (a differenza del criterio di stabilità di Nyquist).
Comprendere i margini di guadagno e i margini di fase sono cruciali per comprendere i diagrammi di Bode. Questi termini sono definiti di seguito.
Margine di guadagno
Maggiore è il margine di guadagno (GM), maggiore è la stabilità del sistema. Il margine di guadagno si riferisce alla quantità di guadagno che può essere aumentato o diminuito senza rendere il sistema instabile. Di solito è espresso come grandezza in dB.
Di solito possiamo leggere il margine di guadagno direttamente dal diagramma di Bode (come mostrato nel diagramma sopra). Questo viene fatto calcolando la distanza verticale tra la curva di magnitudine (sul diagramma di magnitudine di Bode) e l’asse x alla frequenza in cui il diagramma di fase di Bode = 180°. Questo punto è conosciuto come la frequenza di crossover di fase.
È importante capire che il Guadagno e il Margine di Guadagno non sono le stesse cose. Infatti, il Gain Margin è il negativo del guadagno (in decibel, dB). Questo avrà senso quando guarderemo la formula del margine di guadagno.
Formula del margine di guadagno
La formula del margine di guadagno (GM) può essere espressa come:
dove G è il guadagno. Questa è la grandezza (in dB) letta dall’asse verticale del grafico della grandezza alla frequenza di crossover di fase.
Nel nostro esempio mostrato nel grafico sopra, il Gain (G) è 20. Quindi, usando la nostra formula per il margine di guadagno, il margine di guadagno è uguale a 0 – 20 dB = -20 dB (instabile).
Margine di fase
Maggiore è il margine di fase (PM), maggiore sarà la stabilità del sistema. Il margine di fase si riferisce alla quantità di fase che può essere aumentata o diminuita senza rendere il sistema instabile. Di solito è espresso come fase in gradi.
Di solito possiamo leggere il margine di fase direttamente dal diagramma di Bode (come mostrato nel diagramma sopra). Questo viene fatto calcolando la distanza verticale tra la curva di fase (sul diagramma di fase di Bode) e l’asse x alla frequenza dove il diagramma di magnitudine di Bode = 0 dB. Questo punto è noto come la frequenza di crossover del guadagno.
È importante capire che il ritardo di fase e il margine di fase non sono le stesse cose. Questo avrà senso quando guarderemo la formula del margine di fase.
Formula del margine di fase
La formula del margine di fase (PM) può essere espressa come:
dove 
è il ritardo di fase (un numero inferiore a 0). Questa è la fase letta dall’asse verticale del diagramma di fase alla frequenza di incrocio del guadagno.
Come altro esempio, se il guadagno ad anello aperto di un amplificatore incrocia 0 dB a una frequenza dove il ritardo di fase è -120°, allora il ritardo di fase -120°. Quindi il margine di fase di questo sistema di retroazione è -120° – (-180°) = 60° (stabile).
Stabilità dei diagrammi di Bode
Di seguito un elenco riassuntivo dei criteri rilevanti per disegnare i diagrammi di Bode (e calcolare la loro stabilità):
- Margine di guadagno: Maggiore sarà il margine di guadagno maggiore sarà la stabilità del sistema. Si riferisce alla quantità di guadagno che può essere aumentata o diminuita senza rendere il sistema instabile. Di solito è espresso in dB.
- Margine di fase: Maggiore sarà il margine di fase maggiore sarà la stabilità del sistema. Si riferisce alla fase che può essere aumentata o diminuita senza rendere il sistema instabile. Di solito è espresso in fase.
- Frequenza di crossover del guadagno: Si riferisce alla frequenza alla quale la curva di magnitudine taglia l’asse zero dB nel diagramma di Bode.
- Frequenza di crossover di fase: Si riferisce alla frequenza alla quale la curva di fase taglia le volte negative l’asse di 180o in questo grafico.
- Frequenza dell’angolo: La frequenza alla quale i due asintoti tagliano o si incontrano è conosciuta come frequenza di rottura o frequenza d’angolo.
- Frequenza risonante: Il valore della frequenza alla quale il modulo di G (jω) ha un valore di picco è noto come frequenza di risonanza.
- Fattori: Ogni funzione di trasferimento di loop {i.e. G(s) × H(s)} prodotto di vari fattori come il termine costante K, fattori integrali (jω), fattori del primo ordine ( 1 + jωT)(± n) dove n è un intero, fattori del secondo ordine o quadratici.
- Pendenza: C’è una pendenza corrispondente ad ogni fattore e la pendenza per ogni fattore è espressa in dB per decade.
- Angolo: C’è un angolo corrispondente ad ogni fattore e l’angolo per ogni fattore è espresso in gradi.
Ora ci sono alcuni risultati che si dovrebbero ricordare per tracciare la curva di Bode. Questi risultati sono scritti qui sotto:
- Termine costante K: Questo fattore ha una pendenza di zero dB per decade. Non c’è una frequenza d’angolo corrispondente a questo termine costante. L’angolo di fase associato a questo termine costante è anche zero.
- Fattore integrale 1/(jω)n: Questo fattore ha una pendenza di -20 × n (dove n è un intero) dB per decade. Non c’è una frequenza d’angolo corrispondente a questo fattore integrale. L’angolo di fase associato a questo fattore integrale è -90 × n. Qui n è anche un intero.
- Fattore di primo ordine 1/ (1+jωT): Questo fattore ha una pendenza di -20 dB per decade. La frequenza d’angolo corrispondente a questo fattore è 1/T radiante al secondo. L’angolo di fase associato a questo primo fattore è -tan- 1(ωT).
- Fattore di primo ordine (1+jωT): Questo fattore ha una pendenza di 20 dB per decade. La frequenza d’angolo corrispondente a questo fattore è 1/T radiante al secondo. L’angolo di fase associato a questo primo fattore è tan- 1(ωT) .
- Fattore di secondo ordine o quadratico: : Questo fattore ha una pendenza di -40 dB per decade. La frequenza d’angolo corrispondente a questo fattore è ωn radiante al secondo. L’angolo di fase associato a questo primo fattore è
Come disegnare il diagramma di Bode
Tenendo a mente tutti i punti precedenti, siamo in grado di disegnare un diagramma di Bode per qualsiasi tipo di sistema di controllo. Ora discutiamo la procedura per disegnare un diagramma di Bode:
- Sostituire s = jω nella funzione di trasferimento ad anello aperto G(s) × H(s).
- Trovare le frequenze d’angolo corrispondenti e tabularle.
- Ora ci viene richiesto un grafico semi-logico sceglie una gamma di frequenza tale che il grafico dovrebbe iniziare con la frequenza che è inferiore alla frequenza d’angolo più bassa. Segna le frequenze angolari sull’asse x, segna le pendenze sul lato sinistro dell’asse y segnando una pendenza zero al centro e sul lato destro segna l’angolo di fase prendendo -180o al centro.
- Calcolate il fattore di guadagno e il tipo di ordine del sistema.
- Calcolate ora la pendenza corrispondente a ciascun fattore.
Per disegnare il diagramma di grandezza di Bode:
- Segnate la frequenza d’angolo sulla carta grafica semi-logica.
- Tabulare questi fattori muovendosi dall’alto verso il basso nella sequenza data.
- Termine costante K.
- Fattore integrale
- Fattore di primo ordine
- Fattore di primo ordine (1+jωT).
- Fattore di secondo ordine o quadratico:
- Ora disegnate la linea con l’aiuto della pendenza corrispondente al fattore dato. Cambiate la pendenza ad ogni frequenza d’angolo aggiungendo la pendenza del fattore successivo. Otterrete il grafico della magnitudine.
- Calcolate il margine di guadagno.
Per disegnare il grafico della fase di Bode:
- Calcolate la funzione di fase aggiungendo tutte le fasi dei fattori.
- Sostituite vari valori alla funzione di cui sopra per scoprire la fase in diversi punti e tracciare una curva. Si otterrà una curva di fase.
- Calcolare il margine di fase.
Criterio di stabilità di Bode
Le condizioni di stabilità sono date sotto:
- Per un sistema stabile: Entrambi i margini devono essere positivi o il margine di fase deve essere maggiore del margine di guadagno.
- Per un sistema stabile marginale: Entrambi i margini dovrebbero essere zero o il margine di fase dovrebbe essere uguale al margine di guadagno.
- Per un sistema instabile: Se uno di essi è negativo o il margine di fase dovrebbe essere inferiore al margine di guadagno.
Vantaggi di un diagramma di Bode
- Si basa sull’approssimazione asintotica, che fornisce un metodo semplice per tracciare la curva di grandezza logaritmica.
- La moltiplicazione di varie grandezze appare nella funzione di trasferimento può essere trattata come un’addizione, mentre la divisione può essere trattata come una sottrazione poiché stiamo usando una scala logaritmica.
- Con l’aiuto di questo grafico solo possiamo commentare direttamente la stabilità del sistema senza fare alcun calcolo.
- I grafici di Bode forniscono la stabilità relativa in termini di margine di guadagno e margine di fase.
- Comprende anche dalla bassa frequenza alla gamma di alta frequenza.