Brahmagupta

AlgebraEdit

Brahmagupta ha dato la soluzione dell’equazione lineare generale nel capitolo diciotto del Brahmasphutasiddhānta,

La differenza tra le ruphe, quando invertita e divisa per la differenza delle incognite, è l’incognita dell’equazione. La rupa è inferiore a quella da cui si sottraggono il quadrato e l’incognita.

che è una soluzione per l’equazione bx + c = dx + e dove rupas si riferisce alle costanti c ed e. La soluzione data è equivalente a x = e – c/b – d. Ha inoltre dato due soluzioni equivalenti all’equazione quadratica generale

18.44. Diminuire per il mezzo la radice quadrata delle rupie moltiplicata per quattro volte il quadrato e aumentata per il quadrato del mezzo; dividere il resto per due volte il quadrato. il mezzo .
18.45. Qualunque sia la radice quadrata delle rupie moltiplicata per il quadrato aumentato per il quadrato della metà dell’incognita, diminuire quella della metà dell’incognita dividere per il suo quadrato. l’incognita.

che sono, rispettivamente, soluzioni per l’equazione ax2 + bx = c equivalente a,

x = ± 4 a c + b 2 – b 2 a {displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {4ac+b^{2}}-b}{2a}}

e

x = ± a c + b 2 4 – b 2 a {\displaystyle x={\frac {pm {sqrt {ac+{tfrac {b^{2}}{4}}}}-{tfrac {b}{2}}}a}}

Passa a risolvere sistemi di equazioni simultanee indeterminate affermando che la variabile desiderata deve prima essere isolata, e poi l’equazione deve essere divisa per il coefficiente della variabile desiderata. In particolare, raccomandava di usare “il polverizzatore” per risolvere equazioni con incognite multiple.

18.51. Sottrarre i colori diversi dal primo colore. diviso per il primo è la misura del primo. due per due considerati divisori simili, ripetutamente. Se sono molti, il polverizzatore .

Come l’algebra di Diofanto, l’algebra di Brahmagupta era sincopata. L’addizione era indicata mettendo i numeri uno accanto all’altro, la sottrazione mettendo un punto sopra il sottraendo, e la divisione mettendo il divisore sotto il dividendo, simile alla nostra notazione ma senza la barra. La moltiplicazione, l’evoluzione e le quantità sconosciute erano rappresentate da abbreviazioni di termini appropriati. La misura dell’influenza greca su questa sincope, se c’è stata, non è nota ed è possibile che sia la sincope greca che quella indiana siano derivate da una fonte babilonese comune.

AritmeticaModifica

Le quattro operazioni fondamentali (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione) erano note a molte culture prima di Brahmagupta. Questo sistema attuale è basato sul sistema numerico arabo indù e apparve per la prima volta nel Brahmasphutasiddhanta. Brahmagupta descrive la moltiplicazione così: “Il moltiplicando viene ripetuto come una corda per il bestiame, tutte le volte che ci sono porzioni integranti nel moltiplicatore e viene ripetutamente moltiplicato per loro e i prodotti vengono aggiunti insieme. È la moltiplicazione. Oppure il moltiplicando viene ripetuto tante volte quante sono le parti integranti nel moltiplicatore”. L’aritmetica indiana era conosciuta nell’Europa medievale come “Modus Indorum” che significa metodo degli indiani. Nel Brahmasphutasiddhanta, la moltiplicazione era chiamata Gomutrika. All’inizio del capitolo dodici del suo Brahmasphutasiddhānta, intitolato Calcolo, Brahmagupta dettaglia le operazioni sulle frazioni. Ci si aspetta che il lettore conosca le operazioni aritmetiche di base fino a prendere la radice quadrata, anche se spiega come trovare il cubo e la radice cubica di un intero e poi dà regole che facilitano il calcolo di quadrati e radici quadrate. Poi dà regole per trattare cinque tipi di combinazioni di frazioni: a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = a(d + b)/cd; e a/c – b/d × a/c = a(d – b)/cd.

SerieEdit

Brahmagupta passa poi a dare la somma dei quadrati e dei cubi dei primi n interi.

12.20. La somma dei quadrati è quella moltiplicata per due volte il passo aumentato di uno diviso tre. La somma dei cubi è il quadrato di quel mucchio di questi con palle identiche.

Qui Brahmagupta ha trovato il risultato in termini di somma dei primi n interi, piuttosto che in termini di n come è la pratica moderna.

Dà la somma dei quadrati dei primi n numeri naturali come n(n + 1)(2n + 1)/6 e la somma dei cubi dei primi n numeri naturali come (n(n + 1)/2)2
.

ZeroEdit

Il Brahmasphuṭasiddhānta di Brahmagupta è il primo libro che fornisce regole per manipolazioni aritmetiche che si applicano allo zero e ai numeri negativi. Il Brahmasphutasiddhānta è il primo testo conosciuto a trattare lo zero come un numero a sé stante, piuttosto che come una semplice cifra segnaposto nella rappresentazione di un altro numero come facevano i babilonesi o come simbolo di una mancanza di quantità come facevano Tolomeo e i romani. Nel capitolo diciotto del suo Brahmasphutasiddhānta, Brahmagupta descrive le operazioni sui numeri negativi. Descrive prima l’addizione e la sottrazione,

18.30. di due positivi è positivo, di due negativi negativo è negativo; di un positivo e un negativo è la loro differenza; se sono uguali è zero. La somma di un negativo e di uno zero è negativa, di un positivo e di uno zero positivo, di due zeri zero.

18.32. Un negativo meno zero è negativo, un positivo positivo; lo zero è zero. Quando un positivo deve essere sottratto da un negativo o un negativo da un positivo, allora deve essere aggiunto.

Passa a descrivere la moltiplicazione,

18.33. Il prodotto di un negativo e di un positivo è negativo, di due negativi positivo, e di positivi positivo; il prodotto di zero e di un negativo, di zero e di un positivo, o di due zeri è zero.

Ma la sua descrizione della divisione per zero differisce dalla nostra comprensione moderna:

18.34. Un positivo diviso per un positivo o un negativo diviso per un negativo è positivo; uno zero diviso per uno zero è zero; un positivo diviso per un negativo è negativo; un negativo diviso per un positivo è negativo.
18.35. Un negativo o un positivo diviso per zero ha questo come divisore, o zero diviso per un negativo o un positivo. Il quadrato di un negativo o di un positivo è positivo; di zero è zero. Quello di cui è il quadrato è radice quadrata.

Qui Brahmagupta afferma che 0/0 = 0 e per quanto riguarda la questione di a/0 dove a ≠ 0 non si è impegnato. Le sue regole per l’aritmetica sui numeri negativi e sullo zero sono abbastanza vicine alla comprensione moderna, tranne che nella matematica moderna la divisione per zero è lasciata indefinita.

Analisi diofantinaModifica

Triplette pitagoricheModifica

Nel capitolo dodici del suo Brahmasphutasiddhanta, Brahmagupta fornisce una formula utile per generare le triple pitagoriche:

12.39. L’altezza di una montagna moltiplicata per un dato moltiplicatore è la distanza di una città; non viene cancellata. Quando è divisa per il moltiplicatore aumentato per due è il salto di uno dei due che fanno lo stesso viaggio.

Ovvero, in altre parole, se d = mx/x + 2, allora un viaggiatore che “salta” verticalmente verso l’alto una distanza d dalla cima di una montagna di altezza m, e poi viaggia in linea retta verso una città ad una distanza orizzontale mx dalla base della montagna, percorre la stessa distanza di uno che scende verticalmente lungo la montagna e poi viaggia lungo l’orizzontale fino alla città. Detto geometricamente, questo dice che se un triangolo rettangolo ha una base di lunghezza a = mx e un’altezza di lunghezza b = m + d, allora la lunghezza, c, della sua ipotenusa è data da c = m(1 + x) – d. E, infatti, elementari manipolazioni algebriche mostrano che a2 + b2 = c2 ogni volta che d ha il valore indicato. Inoltre, se m e x sono razionali, lo sono anche d, a, b e c. Una tripla pitagorica può quindi essere ottenuta da a, b e c moltiplicando ciascuno di essi per il minimo comune multiplo dei loro denominatori.

Equazione di PellEdit

Brahmagupta ha continuato a dare una relazione di ricorrenza per generare soluzioni a certe istanze di equazioni diofantine di secondo grado come Nx2 + 1 = y2 (chiamata equazione di Pell) utilizzando l’algoritmo euclideo. L’algoritmo euclideo era noto a lui come il “polverizzatore” in quanto rompe i numeri in pezzi sempre più piccoli.

La natura dei quadrati:
18.64. due volte la radice quadrata di un dato quadrato per un moltiplicatore e aumentato o diminuito di un arbitrario . Il prodotto del primo , moltiplicato per il moltiplicatore, con il prodotto dell’ultimo , è l’ultimo calcolato.
18.65. La somma dei prodotti della saetta è il primo. L’additivo è uguale al prodotto degli additivi. Le due radici quadrate, divise per l’additivo o il sottrattivo, sono le rupie additive.

La chiave della sua soluzione era l’identità,

( x 1 2 – N y 1 2 ) ( x 2 2 – N y 2 2 ) = ( x 1 x 2 + N y 1 y 2 ) 2 – N ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 {\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}}

che è una generalizzazione di una identità che fu scoperta da Diofanto,

( x 1 2 – y 1 2 ) ( x 2 2 – y 2 2 ) = ( x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 – ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 . {\displaystyle (x_{1}^{2}-y_{1}^{2})(x_{2}^{2}-y_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.}

Utilizzando la sua identità e il fatto che se (x1, y1) e (x2, y2) sono soluzioni delle equazioni x2 – Ny2 = k1 e x2 – Ny2 = k2, rispettivamente, allora (x1x2 + Ny1y2, x1y2 + x2y1) è una soluzione di x2 – Ny2 = k1k2, fu in grado di trovare soluzioni integrali all’equazione di Pell attraverso una serie di equazioni della forma x2 – Ny2 = ki. Brahmagupta non fu in grado di applicare la sua soluzione in modo uniforme per tutti i possibili valori di N, piuttosto fu in grado di mostrare solo che se x2 – Ny2 = k ha una soluzione intera per k = ±1, ±2, o ±4, allora x2 – Ny2 = 1 ha una soluzione. Per la soluzione dell’equazione generale di Pell bisognerà aspettare Bhaskara II nel 1150 circa.

GeometriaModifica

Formula di BrahmaguptaModifica

Il risultato più famoso di Brahmagupta in geometria è la sua formula per i quadrilateri ciclici. Date le lunghezze dei lati di qualsiasi quadrilatero ciclico, Brahmagupta ha dato una formula approssimata e una esatta per l’area della figura,

12,21. L’area approssimativa è il prodotto delle metà delle somme dei lati e dei lati opposti di un triangolo e di un quadrilatero. L’esatta è la radice quadrata del prodotto delle metà delle somme dei lati diminuiti di lato del quadrilatero.

Quindi date le lunghezze p, q, r e s di un quadrilatero ciclico, l’area approssimata è p + r/2 – q + s/2 mentre, lasciando t = p + q + r + s/2, l’area esatta è

√(t – p)(t – q)(t – r)(t – s).

Anche se Brahmagupta non dichiara esplicitamente che questi quadrilateri sono ciclici, è evidente dalle sue regole che è così. La formula di Heron è un caso speciale di questa formula e può essere derivata ponendo uno dei lati uguale a zero.

TriangoliModifica

Brahmagupta ha dedicato una parte sostanziale del suo lavoro alla geometria. Un teorema dà le lunghezze dei due segmenti in cui la base di un triangolo è divisa dalla sua altezza:

12,22. La base diminuisce e aumenta della differenza tra i quadrati dei lati divisi per la base; divisi per due sono i veri segmenti. La perpendicolare è la radice quadrata del quadrato di un lato diminuito del quadrato del suo segmento.

Quindi le lunghezze dei due segmenti sono 1/2(b ± c2 – a2/b).

Dà inoltre un teorema sui triangoli razionali. Un triangolo con lati razionali a, b, c e area razionale è della forma:

a = 1 2 ( u 2 v + v ) , b = 1 2 ( u 2 w + w ) , c = 1 2 ( u 2 v – v + u 2 w – w ) {\displaystyle a={frac {1}{2}}} a sinistra({\frac {u^{2}}{v}+v\destra),\ b={frac {1}{2}} a sinistra({u^{2}}+w),\ \ c={frac {1}{2}{2}} a sinistra({frac {u^{2}}{v}-v+{frac {u^{2}}{w}-w))}

per alcuni numeri razionali u, v, e w.

teorema di BrahmaguptaModifica

Brahmagupta continua,

12.23. La radice quadrata della somma dei due prodotti dei lati e dei lati opposti di un quadrilatero non uguale è la diagonale. Il quadrato della diagonale è diminuito del quadrato della metà della somma della base e del vertice; la radice quadrata è la perpendicolare .

Quindi, in un quadrilatero ciclico “non uguale” (cioè un trapezio isoscele), la lunghezza di ogni diagonale è √pr + qs.

Continua a dare formule per le lunghezze e le aree delle figure geometriche, come il circonrazio di un trapezio isoscele e di un quadrilatero scaleno, e le lunghezze delle diagonali in un quadrilatero ciclico scaleno. Questo porta al famoso teorema di Brahmagupta,

12,30-31. Immaginando due triangoli interni con lati disuguali, le due diagonali sono le due basi. I loro due segmenti sono separatamente i segmenti superiore e inferiore all’intersezione delle diagonali. Le due delle due diagonali sono due lati di un triangolo; la base . La sua perpendicolare è la porzione inferiore della perpendicolare; la porzione superiore della perpendicolare è la metà della somma delle perpendicolari diminuita della inferiore.

PiEdit

Nel verso 40, dà valori di π,

12,40. Il diametro e il quadrato del raggio moltiplicato per 3 sono la circonferenza pratica e l’area. I precisi sono le radici quadrate dei quadrati di questi due moltiplicati per dieci.

Quindi Brahmagupta usa 3 come valore “pratico” di π, e 10 ≈ 3,1622 … {displaystyle {sqrt {10}}approx 3,1622\ldots }

come valore “accurato” di π. L’errore in questo valore “accurato” è inferiore all’1%.

Misure e costruzioniModifica

In alcuni dei versi prima del verso 40, Brahmagupta dà costruzioni di varie figure con lati arbitrari. Ha essenzialmente manipolato triangoli retti per produrre triangoli isosceli, triangoli scaleni, rettangoli, trapezi isosceli, trapezi isosceli con tre lati uguali, e un quadrilatero ciclico scaleno.

Dopo aver dato il valore di pi greco, si occupa della geometria delle figure piane e dei solidi, come trovare volumi e superfici (o spazi vuoti scavati nei solidi). Trova il volume dei prismi rettangolari, delle piramidi e del tronco di una piramide quadrata. Trova inoltre la profondità media di una serie di fosse. Per il volume di un tronco di piramide, dà il valore “pragmatico” come la profondità per il quadrato della media dei bordi delle facce superiore e inferiore, e dà il volume “superficiale” come la profondità per la loro area media.

TrigonometriaModifica

Tavola dei seniModifica

Nel capitolo 2 del suo Brahmasphutasiddhanta, intitolato Longitudini reali planetarie, Brahmagupta presenta una tavola dei seni:

2.2-5. I seni: I Progenitori, gemelli; Ursa Major, gemelli, i Veda; gli dei, i fuochi, sei; i sapori, i dadi, gli dei; la luna, cinque, il cielo, la luna; la luna, le frecce, i soli

Qui Brahmagupta usa nomi di oggetti per rappresentare le cifre dei numeri dei valori di luogo, come era comune con i dati numerici nei trattati sanscriti. Progenitori rappresenta i 14 Progenitori (“Manu”) nella cosmologia indiana o 14, “gemelli” significa 2, “Ursa Major” rappresenta le sette stelle dell’Ursa Major o 7, “Vedas” si riferisce ai 4 Veda o 4, dadi rappresenta il numero di lati del dado tradizionale o 6, e così via. Queste informazioni possono essere tradotte nella lista dei seni, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263, e 3270, con il raggio che è 3270.

Formula di interpolazioneModifica

Nel 665 Brahmagupta ideò e utilizzò un caso speciale della formula di interpolazione di Newton-Stirling del secondo ordine per interpolare nuovi valori della funzione seno da altri valori già tabulati. La formula dà una stima del valore di una funzione f ad un valore a + xh del suo argomento (con h > 0 e -1 ≤ x ≤ 1) quando il suo valore è già noto ad a – h, a e a + h.

La formula per la stima è:

f ( a + x h ) ≈ f ( a ) + x Δ f ( a ) + Δ f ( a – h ) 2 + x 2 Δ 2 f ( a – h ) 2 ! {\displaystyle f(a+xh)\approx f(a)+x{frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}}+x^{2}{frac {\Delta ^{2}f(a-h)}{2!}.