Elaborazione topologica del segnale analogico

BY admin
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Problema degli autoveicoli di Bloch

Il cristallo sfuso è unidimensionale con costante reticolare a e due ostacoli per cella unitaria. Lo modelliamo e definiamo la sua topologia usando la matrice di trasferimento Mcell di una cella unitaria. Iniziamo definendo le due matrici di scattering S1 e S2, come le matrici di scattering di campo lontano di ogni ostacolo quando è solo nella guida d’onda monomodale. Queste matrici mettono in relazione i segnali complessi in uscita sui lati sinistro (L) e destro (R) degli scatterer bL e bR con quelli incidenti, aL e aR:

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c} {b_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\ }}}} \fine{array}} \(a destra) = S_i\sinistra( {begin{array}{*{20}{ 20}{c} {a_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\ a_a_mathrm{R},{i}}}} \fine{array}} \(2)
(2)

Nota che per ora non facciamo l’ipotesi che le due matrici siano uguali: per esempio, i cilindri potrebbero avere sezioni diverse, o essere spostati tra loro, ecc. Queste matrici di solito dipendono anche dalla frequenza angolare ω. Assumendo la conservazione dell’energia durante il processo di scattering, devono essere unitarie. Possiamo quindi parametrizzarle molto generalmente come

$$S_1 = \left( {begin{array}{*{20}{c} {e^{i\varphi _1}{mathrm{cos}}}theta _1} & {e^{i}alpha _1}{mathrm{sin}theta _1} \\ e^{ i\alpha _1}{mathrm{sin}theta _1e^{i{mathrm{Phi }}_1}} & {e^ – i\varphi _1}{mathrm{cos}}theta _1e^{i{mathrm{Phi}}_1} \fine{array}} \destra),$$
(3)

$$S_2 = \sinistra( {\begin{array}{*{20}{c} {e^{i\varphi _2}{mathrm{cos}}}theta _2} & {e^{i}alpha _2}{mathrm{sin}theta _2} \\ e – e^{ i\alpha _2}{mathrm{sin}}theta _2e^{i{mathrm{Phi }}_2} & {e^ – i\varphi _2}{{mathrm{cos}}theta _2e^{i{mathrm{\Phi}}_2} \fine dell’array. \(4)
(4)

dove gli angoli dipendenti dalla frequenza θ1,2, α1,2, ϕ1,2, e Φ1,2 sono unici una volta fissato il piano di riferimento, qui alla posizione centrale degli spargitori. Assumendo la reciprocità (S21 = S12), dobbiamo avere 2α1,2 – Φ1,2 = π, il che ci limita a tre parametri per matrice di dispersione, permettendo di scrivere:

$$S_1 = \left( {{begin{array}{*{20}{c} {e^{i\varphi _1}{mathrm{cos}}}theta _1} & {e^{i}alpha _1}{mathrm{sin}theta _1} \\ {e^i\alfa _1}{mathrm{sin}theta _1} & { – e^{ – i\varphi _1}{mathrm{cos}\theta _1e^{2i\alpha _1}} \fine dell’array. \destra),$$
(5)

$$S_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c} {e^{i\varphi _2}{mathrm{cos}}}theta _2} & {e^{i}alpha _2}{mathrm{sin}theta _2} \\ {e^i\alfa _2}{mathrm{sin}{mathrm{sin}{mathrm{sin}{mathrm{2} & { – e^{ – i\varphi _2}{mathrm{cos}\theta _2e^{2i\alpha _2}} \fine{array}} \destra).$$
(6)

Si possono quindi ricavare le matrici di trasferimento associate M1 e M2, definite come

>$$$left( {{begin{array}{*{20}{c} {{{b}}_{{\mathrm{R}},{{i}}}} \\ a_a_a_mathrm{R},{i}}}} \Fine dell’array. \(a destra) = M_{{i}} a sinistra( M_{i} a destra) = M_{i} a sinistra( M_{i} a destra) = M_{i} a sinistra( M_{i} a sinistra) {a_{{\mathrm{L}},{{i}}}} \\ b_mathrm{L},{i}}}} \fracce \fracce \fracce \fracce \fracce \fracce \destra)$$
(7)

e si ottiene

$$M_1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c} M_1 = M_1 = \sinistra( {begin{array}{20{c} {frac{e^{i\pha _1}}}{{mathrm{sin}}}theta _1}}} {mathrm{mathrm{sin}}} & { – \frac{e^{ i\varphi _1}e^{i\alpha _1}{mathrm{cos}}theta _1}}{{mathrm{sin}theta _1}}} \frac{e^{i\varphi _1}e^{ – i\alpha _1}{mathrm{cos}}theta _1}}{{mathrm{sin}theta _1}} & {frac{e^{ – i\alpha _1}}{{mathrm{sin}}{mathrm{sin}}} \fine {\fine}} \destra),$$
(8)

$$M_2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c} {\frac{e^{i\pha _2}}}{{{mathrm{sin}}}theta _2}}} & { – \frac{e^{ i\varphi _2}e^{i\alpha _2}{mathrm{cos}}theta _2}}{{mathrm{sin}theta _2}}} \frac { – \frac{e^{i\varphi _1}e^{ – i\alpha _2}{mathrm{cos}{theta _2}}{{mathrm{sin}}theta _2}}} & {frac{e^{ – i\alpha _2}}{{mathrm{sin}}{mathrm{sin}}{mathrm{2}} \end{array}} \destra).$$
(9)

Se i due diffusori sono separati da una distanza d in una cella unitaria di costante di reticolo a, la matrice di trasferimento totale della cella unitaria Mcell è il prodotto:

$${{it{M}}}_{{mathrm{cell}} = {{it{M}}_{frac{{{{a – d}}}}{2}}{it{M}}_2{it{M}}_{d}{it{M}_1{it{M}}_{frac{{{{a – d}}}}{2}}$$
(10)

con

$$M_{L}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c} {e^{frac{i\omega L}{c}} & 0 & 0 & {e^{ – \frac{i\omega L}{c}} \end{array}} \destra),$$
(11)

dove \(L = d,\frac{a – d}{2},\) e c è la velocità di fase. Si ottiene, dopo aver preso il prodotto della matrice,

$${it{M}}_{{{mathrm{cell}}} a sinistra( \omega \destra) = \sinistra( {begin{array}{*{20}{c} {M_11} a sinistra( \omega \destra)} & {M_{21}^ \est \sinistra( \omega \destra)} \\ M_21}a sinistra( \omega \destra)\sinistra( \omega \destra)\sinistra( \omega \destra)\destra) & {M_{11}^ \x22Sinistra( \omega \x22destra)\x22} \end{array}} \destra)$$
(12)

con

$$${it{M}}_{11}}left( \omega \destra) = e^{frac{i\omega a}{c}e^{i\sinistra( {a_1 + a_2} \destra)}{mathrm{csc}}{theta _1{mathrm{csc}}{theta _2 + e^{frac{i\omega \sinistra( {a – 2d} dx)}{c}e^{i\sinistra( {\varphi _1 – \varphi _2} dx)}e^{ – i\sinistra( {a_1 – a_2} dx)}{mathrm{cot}{theta _1{mathrm{cot}{theta _2,$$
(13)

$$M_{21}{sinistra( \omega \destra) = – e^{\frac{i\omega d}}{c}e^{i\varphi _2}e^{i(a_1 – a_2)}{mathrm{csc}}{theta _1{mathrm{cot}{theta _2 – e^{ – \frac{i\omega d}{c}e^{i\varphi _1}e^{ – i(a_1 + a_2)}{mathrm{cot}{theta _1{mathrm{csc}}{theta _2.$$
(14)

Utilizziamo la notazione z* per indicare il coniugato complesso di z. Notando |ψ〉 = T, con a e b che sono le ampiezze del campo complesso avanti e indietro all’ingresso della cella unitaria, l’applicazione del teorema di Bloch produce il seguente problema degli autovalori,

$${it{M}}}_{{mathrm{cell}}} a sinistra( \omega \destra)\sinistra| \psi \destra \rangolo = e^{i\,k_{{mathrm{B}}a}{left| \psi \right\rangle$$
(15)

che chiamiamo l’autoproblema di Bloch del cristallo. Si noti la dipendenza non banale di Mcell(ω) da ω. L’uso più diretto della suddetta equazione è il seguente: per tutti i valori di ω, si può diagonalizzare Mcell(ω), e ottenere due valori opposti ±kB(ω) del numero d’onda di Bloch nella prima zona di Brillouin, e risolvere la struttura della banda. Si noti che Mcell non è unitario ed è non-ermitiano, il che significa che in generale, i valori ±kB(ω) sono complessi, permettendo in linea di principio un numero infinito di bande e bandgap. Si noti inoltre la differenza con il modello standard SSH a legame stretto, che porta a un problema di autovalori ermitiano che mappa il cerchio di Brillouin nello spazio delle matrici SU(2), e una chiara classificazione topologica dei sistemi chirali simmetrici attraverso il numero di avvolgimento. Qui, coerentemente con la simmetria dell’inversione temporale54 , \(M_{{mathrm{cell}}} a sinistra( \omega \destra) \ in {mathrm{SU}}(1,1)\), un gruppo di matrici non Hermitiane55. Gli hamiltoniani SU(1,1) si trovano, per esempio, nelle estensioni PT-simmetriche del modello SSH a legame stretto56 , dove la non-ermiticità dell’hamiltoniana deriva dall’assenza di conservazione dell’energia. Qui, Mcell non è un’hamiltoniana, nel senso che i suoi autovalori non sono legati a ω, ma a kB, e la pseudo anti-Hermiticità di Mcell (\(\sigma _{mathrm{z}}{{it{M}}}{{{mathrm{cell}}^{mathrm{\dagger }}^{sigma _{mathrm{z}} = – {\it{M}}_{mathrm{cell}}}) è legata alla simmetria inversa del tempo. Nella Fig. 11 supplementare rappresentiamo la struttura della banda ottenuta dall’approccio della matrice di trasferimento, e la confrontiamo con quella ottenuta direttamente dalle simulazioni a onda piena della cella unitaria sottoposta a condizioni periodiche al contorno (metodo FEM). Per risolvere il problema degli autovalori della matrice di trasferimento, i parametri θ1,2, α1,2, e Φ1,2, che dipendono dalla frequenza, sono stati estratti da simulazioni FEM di diffusione di un singolo ostacolo in una guida d’onda. La distanza tra i due diffusori è presa per essere \(d = \frac{a}{2} – e_{\mathrm{p}}), con ep = 2,8 cm (caso “banale”) e a = 23 cm. Il diametro dell’asta è di 3,5 cm e la larghezza della guida d’onda è di 7 cm. L’accordo tra i due approcci convalida l’accuratezza del modello di scattering multiplo, in particolare l’ipotesi sottostante di assenza di interazioni di campo vicino tra gli ostacoli nel cristallo.

Proprietà della matrice di trasferimento della cella unitaria

Per definire la topologia del sistema nella prossima sezione, dobbiamo prima stabilire alcune proprietà chiave della matrice di trasferimento della cella unitaria. Iniziamo con le proprietà generali, prima di passare a proprietà più specifiche su una banda o in punti degeneri della struttura della banda.

Come diretta conseguenza della simmetria di inversione temporale54, la matrice di trasferimento del sistema Mcell appartiene al gruppo SU(1,1) di matrici della forma

$$M_{{\mathrm{{cell}}}} = \sinistra( {\begin{array}{*{20}{c} \alpha & {\beta ^ \ast } \beta & {\alpha ^ \ast } \end{array}} \destra)$$
(16)

che è parametrizzato usando le matrici di Pauli come

$${{it{M}}_{{mathrm{cell}}} = \alpha _{mathrm{R}}}sigma _0 + \beta _{mathrm{R}}}sigma _x + \beta _{mathrm{I}}sigma _y + i\alpha _{mathrm{I}}sigma _{mathrm{z}.$$
(17)

I suoi autovalori, dati da \(\lambda _ \pm = \alpha _{mathrm{R} \pm i\sqrt {alpha _{mathrm{I}}^2 – \beta _{mathrm{R}}^2 – \beta _{mathrm{I}}^2}) sono reali quando \(\alpha _{mathrm{I}}^2 < \left| \beta \right|^2\), e complessi altrimenti. Questi autovalori sono degeneri sotto la condizione \(\alpha _{mathrm{I}}^2 – \beta _{mathrm{R}}^2 – \beta _{mathrm{I}}^2 = 0\), cioè quando i parametri βR, βI e αI appartengono a un doppio cono nello spazio (βR, βI, αI). Questo cono è rappresentato nei pannelli inferiori della Fig. 6. Sulla punta del cono, si ha βR = βI = αI = 0, il che significa che Mcell si riduce a Mcell = αRσ0.

Fig. 6
figura6

Topologia delle bande. Definiamo la topologia delle bande come il numero di volte che il contorno \(\mathcal{C}}) attraversa l’asse del cono definito in Eq. 20. a Per il reticolo banale, il contorno \(\mathcal{C}) non attraversa l’asse del cono, corrispondente ad un invariante topologico zero. b Quando il sistema passa attraverso la transizione di fase, il contorno \(\mathcal{C}) tocca la punta del cono. L’invariante topologico non può essere definito in questo caso. c Come i pannelli (a) e (b) ma per il reticolo topologico. Il contorno \(\mathcal{C}) attraversa l’asse del cono una volta in questo caso, che corrisponde a una topologia non banale

Su una banda, la matrice Mcell ha una forma speciale. Infatti, il problema degli autoveicoli di Bloch implica che \alpha _{mathrm{R}} \pm i\sqrt {alpha _I^2 – \sinistra| \beta \destra|^2} = e^{i\,k_{mathrm{B}}a}), da cui segue che

$$${it{alpha }}_{\mathrm{R}} = {mathrm{cos}}} a sinistra( {k_{mathrm{B}a} \destra)$$
(18)

e

$$$$$$Sinistra \alfa \destra|^2 = 1 + \sinistra| \beta \destra|^2$$
(19)

implicando \(\alpha _{mathrm{I}}^2 + \alpha _{mathrm{R}}^2 = 1 + \left| \beta \destra|^2\), che è equivalente a \alpha _{mathrm{I}}^2 = {mathrm{sin}^2(k_{mathrm{B}}a) + \left| \beta right|^2\), o

$${it{alpha }}_{\mathrm{I}} = \pm \sqrt {{mathrm{sin}^2(k_{it{k}}_{mathrm{B}}{it{a}}) + \left| \beta \destra|^2}.$$
(20)

Su una banda, abbiamo quindi

$$M_{{mathrm{cell}} = \beta ^2}( {begin{array}{*{20}{c} {\mathrm{cos}(k_{mathrm{B}}a) \pm i\sqrt {\mathrm{sin}^2(k_{mathrm{B}a) + \sinistra| \beta \destra|^2} } & {beta \beta \ast } \beta \beta & {mathrm{cos}(k_{mathrm{B}}a) \mp i\sqrt {mathrm{sin}^2(k_{mathrm{B}a) + \beta \destra|^2} } \end{array}} \destra).$$
(21)

Come risultato, una banda descrive una mappatura uno-a-uno dal cerchio di Brillouin su un percorso chiuso \(\mathcal{C}) nel sottospazio delle matrici SU(1,1) Mcell(kB) con la forma di cui sopra. Dal problema degli autovalori di Bloch (M_{{mathrm{cell}} a sinistra( \omega \destra)\sinistra| \psi \destra\rangolo = e^{i\,k_{mathrm{B}}a}sinistra| \psi \destra\rangolo\), si deduce che su una banda, Mcell(ω) ha autovalori complessi, il che significa che \alpha _{mathrm{I}^2 > \left| \beta \right|^2\), cioèCioè il percorso \(\mathcal{C}) deve essere all’interno del cono, o nella regione superiore αI > β|, o in quella inferiore αI < -|β|. Inoltre, il percorso \(\mathcal{C}}) può toccare il cono solo quando gli autovalori di Mcell, cioè \(e^{i\,k_{mathrm{B}}a}), sono degeneri. Questo è necessariamente il caso ai bordi della zona di Brillouin \(\sinistra( {k_{mathrm{B}} = \pm \frac{\pi}}destra)\), e al suo centro kB = 0. Nel mezzo, \(\mathcal{C}) non può toccare il cono, poiché si devono trovare due autovalori distinti \(e^{ \pm i\,k_{mathrm{B}}a}), in virtù della simmetria inversa del tempo. Infine, il percorso \(\mathcal{C}) non è un anello, ma una semplice linea, poiché Mcell è una semplice funzione di ω, e quindi è lo stesso per due valori opposti di kB su una banda: inizia sul cono a \(k_{mathrm{B}} = – \frac{\a}}) e vi approda di nuovo a kB = 0, prima di seguire il percorso inverso tra kB = 0 e \(k_{mathrm{B}} = \frac{\a}). La figura 6a rappresenta un esempio di contorno \(\mathcal{C}}) per la terza banda del cristallo (caso presumibilmente topologicamente “banale”, con ep = 2.8 cm), e la fig. 6c rappresenta lo stesso contorno per ep = -2.8 cm, corrispondente al sistema duale, che è presumibilmente topologico (le proprietà topologiche saranno dimostrate nella prossima sezione). La figura 6b rappresenta il caso ep = 0 cm che chiude i bandgap. Come previsto, in tutti i casi il contorno inizia e finisce sul cono.

Per studiare le condizioni in cui due bande di frequenza consecutive possono toccarsi, è conveniente rifondere l’autoproblema di Bloch nella forma equivalente:

$$e^{ – i\\,k_{{mathrm{B}}a}M_{{{mathrm{cell}}} {\mega \destra)\left| {\psi \rangle } = a sinistra = a destra. \destra.$$
(22)

e pensatelo come segue: per ogni kB nella prima zona di Brillouin, trovare le bande significa trovare i valori di ω per i quali la matrice \\(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{{\mathrm{cell}}}) ha almeno un autovalore uguale a uno, con il corrispondente autovettore che è l’autovettore di Bloch su quella particolare banda. Questo può accadere per infiniti valori di ω. Se entrambi gli autovalori di \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{{\mathrm{cell}}}) ad una data frequenza sono uguali a uno, la struttura della banda è doppiamente degenerata, che è quindi la massima degenerazione di frequenza permessa dal sistema. Poiché la forma generale degli autovalori di \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a}M_{{\mathrm{cell}}}) su una banda sono \(upsilon _ \pm = e^{ – i\,k_{\mathrm{B}a}}left( {\alpha _{\mathrm{R}} \i\sqrt {alpha _{mathrm{I}^2 – \sinistra| \beta \destra|^2} } \destra) = e^{ – i\,k_{mathrm{B}}a}e^{ \pm i\,k_{mathrm{B}}a}), il secondo autovalore \(e^{ – 2i\,k_{mathrm{B}a}) può diventare uguale all’unità solo ai bordi della zona di Brillouin \(\sinistra( {k_{mathrm{B}} = \pm \frac{{\a}}} destra)\), o a kB = 0. Di conseguenza, i bandgap possono chiudersi solo al centro o al bordo della zona di Brillouin, cioè quando il contorno \(\mathcal{C}\) tocca il cono.

Assumendo il primo caso, cioè una degenerazione a \(k_{\mathrm{B}} = \pm \frac{\a}pi}), si ha \(e^{ – i\,k_{\mathrm{B}}a} = – 1\). Si ottiene, alla particolare frequenza della degenerazione,

$$e^{ – i\\,k_{\mathrm{B}}a}M_{{mathrm{cell}}} = \left( {{begin{array}{*{20}{c} {1 \mp i\sinistra| \beta \destra|} & { – \beta \ast } \beta \beta \beta \beta \beta \beta \beta \beta \beta & 1 \pm i\left| \beta \destra|} \fine {\i} \destra)$$
(23)

e questa matrice può essere uguale all’identità solo se \(\left| \beta \destra| = 0\). Il secondo caso di degenerazione a kB = 0 porta alla stessa conclusione \((\sinistra| \beta \destra| = 0)\). Questo significa che quando due bande si toccano, il contorno \(\mathcal{C}\) sta raggiungendo la punta del cono, come confermato dalla Fig. 6b.

Topologia delle bande

Come visto nelle sezioni precedenti, ogni banda definisce una mappatura tra il cerchio di Brillouin e un sottospazio di matrici SU(1,1). Definiamo ora un invariante topologico per ogni banda, cioè una quantità intera che è invariante su trasformazioni continue della struttura della banda. Ciò significa che questo numero può cambiare solo quando la banda subisce una trasformazione discontinua, cioè tocca un’altra, o equivalentemente quando il contorno \(\mathcal{C}) tocca la punta del cono.

Come nel modello standard SSH a legame stretto, abbiamo bisogno di una simmetria extra, simile alla simmetria chirale, per poter definire invarianti topologici su ogni banda. Qui dobbiamo richiedere che le matrici di dispersione S1 e S2 siano uguali, prendendo θ1 = θ2 =θ, α1,2 = α1,2 = α e φ1 = φ2 = φ. Con questa condizione aggiuntiva, la quantità \(\beta = M_{21}{Sinistra( {\omega (k_{mathrm{B}})} \destra)\) in Eq. 14, che parametrizza la matrice Mcell su una banda, diventa

$$beta \left( {k_{mathrm{B}}} \destra) = – 2e^{i\left( {\varphi – \alpha } \destra)}cos \left( {\alpha + \frac{{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \destra)d}{c}} \destra)\cot \theta \csc \theta,$$
(24)

dove le quantità α, θ e φ che parametrizzano la matrice S di un singolo ostacolo dipendono generalmente da ω(kB). Assumiamo poi il caso di diffusori non risonanti, il che significa che cos θ non svanisce sulla banda, e la variazione di α e θ sulla banda sono trascurabili. Poiché Mcell ha sempre due autovalori unimodulari coniugati complessi, ω(kB) è necessariamente monotono tra -π/a e 0. Concentriamo la nostra attenzione sulla quantità \(\cos \left( {alpha + \frac{\omega \left( {k_{mathrm{B}}} \right)d}}{c} \destra)\), che può potenzialmente far svanire il numero complesso β(kB) in qualche punto particolare della zona di Brillouin. Quando kB va da -π/a a 0, l’angolo \(\gamma = \alpha + \frac{\omega \left( {k_{\mathrm{B}}} \right)d}}{c}) si muove monotonamente tra due valori reali, diciamo γmin e γmax, definendo una mappatura monotona continua tra \(\left\) a . Ora, si possono verificare due situazioni:

  1. (1)

    Il segmento non contiene π/2 (modulo π), nel qual caso \(\cos \left( \alpha + \frac{\omega \left( {k_{mathrm{B}}} \right)d}{c}} \destra)\) non svanisce mai quando kB va da -π/a a 0. Questo significa che β non svanisce mai sulla banda.

  2. (2)

    Il segmento contiene π/2 (modulo π), nel qual caso β svanisce almeno una volta sulla banda.

Siccome β = 0 significa che il contorno \(\mathcal{C}) attraversa l’asse del cono, possiamo quindi definire un invariante topologico η nel modo seguente: Possiamo contare il numero di volte η che \(\mathcal{C}}) attraversa l’asse del cono come kB va da -π/a a 0. Questo numero intero cambia ogni volta che γmax o γmin è uguale a π/2 (modulo π), cioè quando β è zero o al bordo o al centro della zona di Brillouin, cioè quando un band gap si chiude. La figura 6 mostra come evolve il contorno \(\mathcal{C}}) per la terza banda del nostro sistema, quando si passa dal regime banale (pannello a, \(\mathcal{C}) non attraversa l’asse del cono, η = 0) a quello topologico (pannello c, \(\mathcal{C}) attraversa l’asse del cono, η = 1). Alla transizione di fase topologica, il contorno \(\mathcal{C}\) tocca la punta del cono, che chiude il band gap, e il numero η non è definito.

Protezione della simmetria

La definizione dell’invariante topologico η come il numero di volte che il contorno \(\mathcal{C}}) attraversa l’asse del cono tra -π/a e 0 si basa su due simmetrie sottostanti, ed entrambe devono essere soddisfatte:

  1. (1) Simmetria di inversione temporale, che garantisce che Mcell appartiene a SU(1,1)55.

  1. (2) Uguaglianza di S1 e S2 (le matrici di dispersione individuale di campo lontano di entrambi gli ostacoli devono essere identiche), o equivalentemente:

$$M_{{\mathrm{cell}}}^2 = 1.$$
(25)

Ovviamente, il disordine di posizione orizzontale non cambia i singoli parametri di diffusione dell’oggetto. Inoltre, anche il disordine di posizione verticale non lo cambia, come dimostrato nella Fig. 12 supplementare (l’unica differenza nello spettro di scattering sono interferenze di Fano molto nette che si verificano dall’accoppiamento con uno stato legato acustico nel continuo, ma sono lontane dalla gamma di frequenza di interesse). Di conseguenza, il disordine di posizione non rompe \(M_{{mathrm{cell}}^2 = 1\). Tuttavia, cambiare il diametro di un’asta cambia definitivamente la sua matrice di dispersione. Quello che succede nel caso di aste con raggi diversi è che la parte reale e immaginaria della quantità

$$beta \sinistra( {k_{{mathrm{B}}} dx) = – e^{frac{i\omega \sinistra( {k_{mathrm{B}} d}}}e^{i\varphi _2}e^{i(a_1 – a_2)}csc \theta _1\cot \theta _2 – e^{ – \frac{i\omega \left( {k_{mathrm{B}} a destra)d}}{c}e^{i\varphi _1}e^{ – i(a_1 + a_2)}\cot \theta _1\csc \theta _2$$
(26)

non sono mai contemporaneamente zero, il che implica che il contorno \(\mathcal{C}) può evitare di attraversare l’asse del cono semplicemente aggirandolo. Questo è analogo a una catena SSH senza simmetria chirale, dove alcuni difetti che rompono la chiralità opportunamente scelti in un’interfaccia possono cambiare il numero di avvolgimenti senza chiudere il band gap. Questi risultati spiegano il risultato delle simulazioni ad onda piena presentate in Fig. 3 del testo principale.

Metodi numerici

Le simulazioni ad onda piena sono tutte eseguite usando Comsol Multiphysics (moduli Acoustic e RF). Le curve di dispersione sono ottenute considerando una singola cella unitaria degli array di reticoli, applicando la condizione limite di Floquet ai lati laterali della cella unitaria, ed eseguendo simulazioni di autofrequenza per tutti i wavenumbers di Floquet-Bloch.

Per ottenere gli spettri di frequenza dei solutori ODE, eccitiamo il sistema con un’onda piana incidente con ampiezza unitaria e misuriamo la quantità di pressione sul lato di trasmissione della guida d’onda.

Per convalidare le nostre misure sperimentali, abbiamo eseguito simulazioni numeriche ad elementi finiti includendo una perdita viscotermica di 1,15 dB/m per ottenere una funzione di trasferimento X(ω), ad esempio, tra le onde sonore iniettate e trasmesse. Abbiamo poi ottenuto la funzione di trasferimento dell’altoparlante Y(ω) eccitando la guida d’onda vuota e misurando il livello di pressione sonora associato sul lato di trasmissione. La funzione di trasferimento Z(ω), tra la tensione applicata all’altoparlante e la pressione trasmessa, è stata poi facilmente ottenuta come \(Z\left( \omega \right) = X(\omega )/Y(\omega )\).

Nelle nostre simulazioni FDTD, eccitiamo la guida d’onda da un’estremità con il segnale d’ingresso modulato desiderato, e registriamo l’evoluzione temporale del campo di pressione (con un passo temporale soggetto alla condizione Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) per garantire la stabilità) ricevuto in un punto sull’altro lato della guida d’onda.

Metodi sperimentali

Come detto nel testo principale, un tubo quadrato acrilico è usato per realizzare la guida d’onda acustica. I cilindri di nylon 6 in colata continua sono stati poi inseriti manualmente nella guida d’onda per formare l’array di tipo SSH. La Fig. 13a supplementare rappresenta la configurazione sperimentale utilizzata per ottenere la funzione di trasferimento del sistema. Il setup contiene un altoparlante, un analizzatore di segnale Data Physics Quattro collegato ad un computer (non mostrato in figura) che lo controlla, un microfono ICP che misura il livello di pressione sonora trasmesso e una terminazione anecoica fatta in casa (non mostrata in figura). Per ottenere la funzione di trasferimento del campione, pilotiamo l’altoparlante con una tensione di rumore a scoppio (che è impostata come segnale di riferimento nel setup), e misuriamo il livello di pressione rispetto al canale di riferimento utilizzando il microfono ICP. La Fig. 13b mostra il setup sperimentale utilizzato per creare un segnale di ingresso (tensione) con un profilo temporale arbitrario \(\tilde g(t)\), e per misurare l’evoluzione temporale del segnale di uscita \(\tilde f(t)\). Il setup consiste in una macchina target Speedgoat Performance Real-Time con interfaccia IO131 controllata dall’ambiente target xPC di MATLAB/Simulink, un altoparlante, un amplificatore di potenza, una terminazione acustica fatta in casa (non mostrata in figura), e un microfono ICP che misura la pressione trasmessa.