Geometria analitica

Geometria analitica elementare

Apollonio di Perga (c. 262-190 a.C.), conosciuto dai suoi contemporanei come il “Grande Geometra”, anticipò lo sviluppo della geometria analitica di più di 1.800 anni con il suo libro Coniche. Definì una conica come l’intersezione di un cono e un piano (vedi figura). Usando i risultati di Euclide sui triangoli simili e sulle secanti dei cerchi, trovò una relazione soddisfatta dalle distanze da qualsiasi punto P di una conica a due linee perpendicolari, l’asse maggiore della conica e la tangente a un punto finale dell’asse. Queste distanze corrispondono alle coordinate di P, e la relazione tra queste coordinate corrisponde a un’equazione quadratica della conica. Apollonio ha usato questa relazione per dedurre le proprietà fondamentali delle coniche. Vedi sezione conica.

L’ulteriore sviluppo dei sistemi di coordinate (vedi figura) in matematica emerse solo dopo che l’algebra era maturata sotto i matematici islamici e indiani. (Vedi matematica: Il mondo islamico (VIII-XV secolo) e matematica, Asia meridionale). Alla fine del XVI secolo, il matematico francese François Viète introdusse la prima notazione algebrica sistematica, usando lettere per rappresentare quantità numeriche note e sconosciute, e sviluppò potenti metodi generali per lavorare con espressioni algebriche e risolvere equazioni algebriche. Con il potere della notazione algebrica, i matematici non erano più completamente dipendenti dalle figure geometriche e dall’intuizione geometrica per risolvere i problemi. I più audaci cominciarono a lasciarsi alle spalle il modo di pensare geometrico standard in cui le variabili lineari (prima potenza) corrispondevano alle lunghezze, i quadrati (seconda potenza) alle aree e i cubi (terza potenza) ai volumi, con potenze superiori prive di interpretazione “fisica”. Due francesi, il matematico-filosofo René Descartes e l’avvocato-matematico Pierre de Fermat, furono tra i primi a fare questo passo audace.

Descartes e Fermat fondarono indipendentemente la geometria analitica negli anni 1630 adattando l’algebra di Viète allo studio dei luoghi geometrici. Si sono mossi decisamente oltre Viète usando lettere per rappresentare distanze variabili invece che fisse. Cartesio usò le equazioni per studiare le curve definite geometricamente, e sottolineò la necessità di considerare le curve algebriche generali – grafici di equazioni polinomiali in x e y di tutti i gradi. Dimostrò il suo metodo su un problema classico: trovare tutti i punti P tali che il prodotto delle distanze da P a certe linee sia uguale al prodotto delle distanze da altre linee. Vedere geometria: Geometria cartesiana.

Fermat ha sottolineato che qualsiasi relazione tra le coordinate x e y determina una curva (vedi figura). Usando questa idea, rifuse gli argomenti di Apollonio in termini algebrici e ripristinò il lavoro perduto. Fermat indicò che qualsiasi equazione quadratica in x e y può essere messa nella forma standard di una delle sezioni coniche.

Fermat non pubblicò il suo lavoro, e Cartesio lo rese deliberatamente difficile da leggere per scoraggiare i “dilettanti”. Le loro idee ottennero un’accettazione generale solo grazie agli sforzi di altri matematici nella seconda metà del XVII secolo. In particolare, il matematico olandese Frans van Schooten tradusse gli scritti di Cartesio dal francese al latino. Aggiunse materiale esplicativo vitale, così come fece il giurista francese Florimond de Beaune e il matematico olandese Johan de Witt. In Inghilterra, il matematico John Wallis rese popolare la geometria analitica, usando equazioni per definire le coniche e derivare le loro proprietà. Egli usò liberamente le coordinate negative, anche se fu Isaac Newton che usò inequivocabilmente due assi (obliqui) per dividere il piano in quattro quadranti, come mostrato in figura.

La geometria analitica ebbe il suo maggiore impatto sulla matematica attraverso il calcolo. Senza accesso alla potenza della geometria analitica, i matematici greci classici come Archimede (285-212/211 a.C. circa) risolvevano casi speciali dei problemi di base del calcolo: trovare tangenti e punti estremi (calcolo differenziale) e lunghezze di archi, aree e volumi (calcolo integrale). I matematici rinascimentali furono ricondotti a questi problemi dalle necessità dell’astronomia, dell’ottica, della navigazione, della guerra e del commercio. Naturalmente cercarono di usare la potenza dell’algebra per definire e analizzare una gamma crescente di curve.

Fermat sviluppò un algoritmo algebrico per trovare la tangente a una curva algebrica in un punto trovando una linea che ha una doppia intersezione con la curva nel punto – in sostanza, inventando il calcolo differenziale. Cartesio introdusse un algoritmo simile ma più complicato usando un cerchio. Fermat calcolò le aree sotto le curve y = axk per tutti i numeri razionali k ≠ -1 sommando le aree dei rettangoli inscritti e circoscritti. (Per il resto del XVII secolo, il lavoro di base per il calcolo fu continuato da molti matematici, tra cui il francese Gilles Personne de Roberval, l’italiano Bonaventura Cavalieri e i britannici James Gregory, John Wallis e Isaac Barrow.

Newton e il tedesco Gottfried Leibniz rivoluzionarono la matematica alla fine del XVII secolo dimostrando indipendentemente la potenza del calcolo. Entrambi gli uomini usarono le coordinate per sviluppare notazioni che esprimevano le idee del calcolo in piena generalità e portavano naturalmente alle regole di differenziazione e al teorema fondamentale del calcolo (che collega il calcolo differenziale e quello integrale). Vedi analisi.

Newton dimostrò l’importanza dei metodi analitici in geometria, oltre al loro ruolo nel calcolo, quando affermò che qualsiasi curva cubica o algebrica di grado tre ha una delle quattro equazioni standard, xy2 + ey = ax3 + bx2 + cx + d,xy = ax3 + bx2 + cx + d,y2 = ax3 + bx2 + cx + d,y = ax3 + bx2 + cx + d, per assi di coordinate adatti. Il matematico scozzese James Stirling dimostrò questa affermazione nel 1717, probabilmente con l’aiuto di Newton. Newton divise i cubi in 72 specie, un totale successivamente corretto a 78.

Newton mostrò anche come esprimere una curva algebrica vicino all’origine in termini della serie di potenze frazionarie y = a1x1/k + a2x2/k + … per un intero positivo k. I matematici hanno poi usato questa tecnica per studiare curve algebriche di tutti i gradi.