Gruppo abeliano

BY admin

| Novembre 24, 2021

Questo articolo riguarda una definizione di base nella teoria dei gruppi. Il testo dell’articolo può, tuttavia, contenere materiale avanzato.
VIEW: Definizioni costruite su questo | Fatti su questo: (fatti strettamente legati al gruppo abeliano, tutti i fatti legati al gruppo abeliano) | Articoli di sondaggio su questo | Articoli di sondaggio sulle definizioni costruite su questo
VISIONE RELATIVA: Analoghi di questo | Variazioni di questo | Opposti di questo |

Questo articolo definisce una proprietà di gruppo che è fondamentale (cioè, importante) tra le proprietà di gruppo esistenti
Vedi una lista di proprietà di gruppo cardine | Visualizza una lista completa delle proprietà di gruppo

Storia

Origine del termine

Il termine gruppo abeliano deriva da Niels Henrick Abel, un matematico che lavorò con i gruppi ancora prima che la teoria formale fosse stabilita, per dimostrare l’irrisolvibilità della quintica.

La parola abeliana è di solito iniziata con una piccola a.

wikinote: Alcuni vecchi contenuti del wiki usano la A maiuscola per Abeliano. Stiamo cercando di aggiornare questo contenuto.

Definizione

Un gruppo abeliano è un gruppo in cui due elementi qualsiasi commutano. In simboli, un gruppo $G$ è detto abeliano se per qualsiasi elemento $x$ e $y$ in $G$ , $xy = yx$ (qui $xy$ indica il prodotto di $x$ e $y$ in $G$ ). Si noti che $x,y$ possono essere uguali, anche se gli elementi uguali si commutano comunque, quindi possiamo limitare l’attenzione, se vogliamo, agli elementi non uguali.

Definizione completa

Un gruppo abeliano è un insieme $G$ dotato di un’operazione binaria (infisso) $+$ (detta operazione di addizione o gruppo), un elemento identico $0$ e un’operazione unaria (prefisso) $-$ , detta mappa inversa o mappa di negazione, che soddisfa quanto segue:

Per qualsiasi $a,b,c in G$ , $a + (b + c) = (a + b) + c$ . Questa proprietà è chiamata associatività.
Per qualsiasi $a \in G$ , $a + 0 = 0 + a = a$ . $0$ gioca quindi il ruolo di elemento identico additivo o elemento neutro.
Per qualsiasi $a \in G$ , $a + (-a) = (-a) + a = 0$ . Così, $-a$ è un elemento inverso a $a$ rispetto a $+$ .
Per qualsiasi $a,b \in G$ , $a + b = b + a$ . Questa proprietà è chiamata commutatività.

Formulazioni equivalenti

Un gruppo $G$ è detto abeliano se soddisfa le seguenti condizioni equivalenti:

Il suo centro $Z(G)$ è il gruppo intero.
Il suo sottogruppo derivato $G' =$ è banale.
(Scegliere un insieme generatore $S$ per $G$ ). Per qualsiasi elemento $a,b \in S$ , $ab = ba$ .
Il sottogruppo diagonale ${ (g,g) \mid g \in G \}$ è un sottogruppo normale dentro $G \mid G$ .

Notazione

Quando $G$ è un gruppo abeliano, usiamo tipicamente notazione e terminologia additiva. Così, la moltiplicazione di gruppo è chiamata addizione e il prodotto di due elementi è chiamato somma.

L’operatore infisso $+$ è usato per la moltiplicazione di gruppo, quindi la somma di due elementi $a$ e $b$ è indicata con $a + b$ . La moltiplicazione di gruppo è detta addizione e il prodotto di due elementi è detto somma.
L’elemento identico è tipicamente indicato come $0$ e chiamato zero
L’inverso di un elemento è chiamato il suo inverso negativo o additivo. L’inverso di $a$ si denomina $-a$
$a + a + \ldots + a$ fatto $n$ volte è denotato $na$ , (dove $n \in \mathbb{N}$ ) mentre $(-a) + (-a) + (-a) + \ldots + (-a)$ fatto $n$ volte è indicato $(-n)a$ .

Questa convenzione è tipicamente seguita in una situazione in cui abbiamo a che fare con il gruppo abeliano $G$ da solo, piuttosto che come un sottogruppo di un possibile gruppo non abeliano. Se stiamo lavorando con sottogruppi in un gruppo non abeliano, usiamo tipicamente la notazione moltiplicativa anche se il sottogruppo è abeliano.

Esempi

VISTA: gruppi che soddisfano questa proprietà | gruppi che non soddisfano questa proprietà
VISTA: Soddisfazioni delle proprietà dei gruppi correlati | Insoddisfazioni delle proprietà dei gruppi correlati

Alcuni esempi infiniti

Il gruppo additivo dei numeri interi $\mathbb{Z}$ , il gruppo additivo dei numeri razionali $\mathbb{Q}$ , il gruppo additivo dei numeri reali $mathbb{R}$ , il gruppo moltiplicativo dei razionali non nulli $mathbb{Q}^*$ , e il gruppo moltiplicativo dei numeri reali non nulli $mathbb{R}^*$ sono alcuni esempi di gruppi abeliani.

(Più in generale, per qualsiasi campo, il gruppo additivo, e il gruppo moltiplicativo degli elementi non nulli, sono gruppi abeliani).

Esempi finiti

I gruppi ciclici sono buoni esempi di gruppi abeliani, dove il gruppo ciclico di ordine $n$ è il gruppo degli interi modulo $n$ .

Inoltre, ogni prodotto diretto di gruppi ciclici è anche un gruppo abeliano. Inoltre, ogni gruppo abeliano generato finitamente si ottiene in questo modo. Questo è il famoso teorema di struttura per i gruppi abeliani finitamente generati.

Il teorema di struttura può essere usato per generare un elenco completo dei gruppi abeliani finiti, come descritto qui: classification of finite Abelian groups.

Non-examples

Non ogni gruppo è abeliano. Il più piccolo gruppo non abeliano è il gruppo simmetrico su tre lettere: il gruppo di tutte le permutazioni su tre lettere, sotto composizione. Il suo essere non abeliano si basa sul fatto che conta l’ordine in cui le permutazioni sono eseguite.

Fatti

Occorre come sottogruppi

Ogni gruppo ciclico è abeliano. Poiché ogni gruppo è generato dai suoi sottogruppi ciclici, ogni gruppo è generato da una famiglia di sottogruppi abeliani. Una domanda più complicata è: esistono sottogruppi abeliani normali? Un buon candidato per un sottogruppo abeliano normale è il centro, che è l’insieme degli elementi del gruppo che commutano con ogni elemento del gruppo.

Occorrenza come quozienti

Il massimo quoziente abeliano di qualsiasi gruppo è chiamato la sua abelianizzazione, e questo è il quoziente del sottogruppo derivato. Un sottogruppo è un sottogruppo abeliano-quotizzante (cioè normale con gruppo abeliano quoziente) se e solo se il sottogruppo contiene il sottogruppo derivato.

Metaproprietà

Nome proprietà	Soddisfatto?	Prova	Dichiarazione con simboli
Proprietà dei gruppi varietali	Sì		La collezione dei gruppi abeliani forma una sottovarietà della varietà dei gruppi. In particolare, è chiusa sotto la presa di sottogruppi, quozienti, e prodotti diretti arbitrari
proprietà dei sottogruppi chiusi	Sì	l’abelianità è sottogruppo chiuso	Se $G$ è un gruppo abeliano e $H$ è un sottogruppo di $G$ , allora $H$ è abeliana.
proprietà dei gruppi chiusi al quoziente	Sì	l’abelianità è chiusa al quoziente	Se $G$ è un gruppo abeliano e $H$ è un sottogruppo normale di $G$ , il gruppo quoziente $G/H$ è abeliano.
proprietà dei gruppi chiusi al prodotto diretto	Sì	l’abelianità è chiusa al prodotto diretto	Supponiamo che $G_i, i \in I$ , siano gruppi abeliani. Allora, il prodotto diretto esterno $\prod_{i \in I} G_i$ è anche abeliano.

Relazioni con altre proprietà

Proprietà più forti

Proprietà	Significato	Prova di implicazione	Prova di rigorosità (fallimento di implicazione inversa)	Nozioni intermedie	Confronto
gruppo ciclico	generato da un elemento	ciclico implica abeliano	abeliano non implica ciclico (vedi anche lista di esempi)	gruppo epabeliano, Gruppo localmente ciclico, Gruppo residualmente ciclico\|LISTA COMPLETA, ALTRE INFO
gruppo omociclico	prodotto diretto di gruppi ciclici isomorfi		(vedi anche lista di esempi)	\|LISTA COMPLETA, ALTRE INFO	>
gruppo ciclico residuo	ogni elemento non identico è fuori da un sottogruppo normale con un gruppo ciclico quoziente		(vedi anche lista di esempi)	\|LISTA COMPLETA ALTRE INFO	>
gruppo localmente ciclico	ogni sottogruppo finitamente generato è ciclico		(vedi anche lista di esempi)	gruppo Epabelian\|LISTA COMPLETA, ALTRE INFO	>
gruppo epabeliano	gruppo abeliano il cui quadrato esterno è il gruppo banale		(vedi anche lista di esempi)	\|LISTA COMPLETA, ALTRE INFO	>
gruppo abeliano finito	abeliano e un gruppo finito		(vedi anche lista di esempi)	\|LISTA COMPLETA, ALTRE INFO
gruppo abeliano generato finitamente	abeliano e un gruppo generato finitamente		(vedi anche lista di esempi)	gruppo ciclico residuo\|LISTA COMPLETA, ALTRE INFO

Proprietà più deboli

Proprietà	Significato	Prova di implicazione	Prova di rigorosità (fallimento dell’implicazione inversa)	Nozioni intermedie
gruppo nilpotente	serie centrale inferiore raggiunge l’identità, serie centrale superiore raggiunge gruppo intero	abeliano implica nilpotente	nilpotente non implica abeliano (vedi anche elenco di esempi)	Gruppo in cui la classe è uguale alla massima profondità subnormale, Gruppo di nilpotenza di classe tre, Gruppo di nilpotenza di classe due, Gruppo di nilpotenza di classe due la cui mappa commutatrice è il doppio di un biomorfismo alternato che dà classe due, gruppo UL-equivalente\|LISTA COMPLETA, ALTRE INFO
gruppo solubile	serie derivata raggiunge l’identità, ha serie normale con gruppi a fattori abeliani	abeliano implica solubile	solubile non implica abeliano (vedi anche lista di esempi)	gruppo metabeliano, Gruppo metanilpotente, Gruppo nilpotente\|LISTA COMPLETA, ALTRE INFO
gruppo metabeliano	ha sottogruppo abeliano normale con gruppo abeliano quoziente		(vedi anche lista di esempi)	Gruppo di classe nilpotenza due\|LISTA COMPLETA, PIÙ INFO
gruppo virtualmente abeliano	ha sottogruppo abeliano di indice finito		(vedi anche lista di esempi)	gruppo FZ\|LISTA COMPLETA, ALTRE INFO
FZ-gruppo	centro ha indice finito		(vedi anche lista di esempi)	\|FULL LIST, ALTRE INFO
FC-gruppo	ogni classe di coniugazione è finita		(vedi anche lista di esempi)	FZ-gruppo, Gruppo con sottogruppo derivato finito\|LISTA COMPLETA, ALTRE INFO

Proprietà incomparabili

Un gruppo supersolubile è un gruppo che ha una serie normale dove tutti i gruppi successivi quozienti sono gruppi ciclici. Un gruppo abeliano è supersolubile se e solo se è generato finitamente.
Un gruppo policiclico è un gruppo che ha una serie subnormale dove tutti i gruppi successivi sono gruppi ciclici. Un gruppo abeliano è policiclico se e solo se è generato finitamente.

Formalismi

In termini dell’operatore diagonale-in-quadrato

Questa proprietà si ottiene applicando l’operatore diagonale-in-quadrato alla proprietà: sottogruppo normale
Vedi altre proprietà ottenute applicando l’operatore diagonale-in-quadrato

Un gruppo $G$ è un gruppo abeliano se e solo se, nel prodotto diretto esterno $G \tempi G$ , il sottogruppo diagonale ${ (g,g) \mid g \in G \}$ è un sottogruppo normale.

Testing

Il problema del test

Altre informazioni: Problema della verifica dell’abelianità

Il problema della verifica dell’abelianità è il problema di verificare se un gruppo (descritto usando qualche regola di descrizione del gruppo, come una codifica di un gruppo o una multi-encodifica di un gruppo) è abeliano.

Gli algoritmi per il problema del test di abelianità vanno dall’algoritmo brute-force black-box group per il test di abelianità (che implica il test per ogni coppia di elementi se sono commutati, ed è quadratico nell’ordine del gruppo) all’algoritmo black-box group basato sull’insieme generatore per il test di abelianità (che comporta il test solo su un insieme generatore, ed è quadratico nella dimensione dell’insieme generatore).

Comando GAP

Questa proprietà del gruppo può essere testata usando la funzionalità integrata di Groups, Algorithms, Programming (GAP).
Il comando GAP per questa proprietà del gruppo è:IsAbelian
La classe di tutti i gruppi con questa proprietà può essere richiamata con il comando integrato: AbelianGroups
Visualizza le proprietà dei gruppi testabili GAP

Per verificare se un gruppo è abeliano, la sintassi GAP è:

IsAbelian (group)

dove group definisce il gruppo o dà il nome a un gruppo precedentemente definito.

Studio di questa nozione

Classificazione delle materie matematiche

Nella classificazione delle materie matematiche, lo studio di questa nozione rientra nella classe: 20K

Riferimenti a libri di testo

Libro	Numero di pagina	Capitolo e sezione	Informazioni contestuali	Visualizza
Algebra astratta di David S. Dummit e Richard M. Foote, 10-digit ISBN 0471433349, 13-digit ISBN 978-0471433347More info	17	Definizione formale (definizione come punto (2) nella definizione generale di gruppo)
Gruppi e rappresentazioni di Jonathan Lazare Alperin e Rowen B. Bell, ISBN 0387945261Più informazioni	2	1.1 (Rudimenti di teoria dei gruppi/Revisione)	definizione introdotta nel paragrafo	Google Books
Algebra di Michael Artin, ISBN 0130047635, 13-digit ISBN 978-0130047632Più info	42		definizione introdotta nel paragrafo (subito dopo la definizione di gruppo)
Topics in Algebra di I. N. HersteinPiù informazioni	28		Definizione formale
A Course in the Theory of Groups di Derek J. S. Robinson, ISBN 0387944613Più informazioni	2	1.1 (Binary Operations, Semigroups, and Groups)	definizione formale	Google Books
Finite Group Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) by Michael Aschbacher, ISBN 0521786754More info	1	1.1 (Teoria elementare dei gruppi)	definizione introdotta nel paragrafo	Google Books