Le curiose potenze di 1 + sqrt 2

Di recente su mathstodon.xyz, Colin Wright ha postato il seguente enigma:

Qual è la 99° cifra a destra del punto decimale nell’espansione decimale di ?

Ovviamente, è abbastanza semplice usare un computer per trovare la risposta; qualsiasi linguaggio o sistema software che può calcolare con numeri reali di precisione arbitraria può trovare la risposta corretta in una frazione di secondo. Ma ovviamente non è questo il punto! Possiamo usare il ragionamento logico per dedurre o dimostrare la risposta corretta, senza fare molti calcoli? Anche se troviamo la risposta computazionalmente, possiamo spiegare perché è la risposta giusta? Risolvere questo rompicapo mi ha portato in un’affascinante tana di coniglio che vorrei condividere con voi nei prossimi tre o otto post. Anche se usare un computer per calcolare semplicemente la risposta è barare, incoraggio l’uso di un computer o di una calcolatrice per provare esempi più piccoli e cercare modelli. Non è troppo difficile vedere uno schema e ipotizzare la risposta giusta; la parte interessante, naturalmente, è capire perché questo schema accade, e dimostrare che continua.