L’evoluzione del modello dell’area: Dall’elementare all’algebra

Quando i bambini cominciano ad imparare a moltiplicare i numeri, una delle prime cose che imparano è fare un modello con gli oggetti in una serie. Contano i manipolatori e notano che c’è una lunghezza e una larghezza. Che possono anche contare tutti i manipolatori per trovare un totale. Da questa prima esperienza, gli studenti iniziano un primo passo verso un’abilità che continuerà a costruire fino all’algebra della scuola superiore.

Quando il Common Core e altri programmi di studio hanno iniziato a sottolineare gli algoritmi non standard rispetto ai metodi tradizionali che molti adulti usavano esclusivamente a scuola, c’è stato un contraccolpo. Memes e thread su internet dedicati a sbattere questi metodi non standard come eccessivamente macchinosi o inefficienti sono spuntati ovunque. Questi hanno mancato lo scopo dell’insegnamento e dell’apprendimento di questi metodi, come il modello di area nello sviluppo matematico dei nostri studenti. Metodi come i modelli di area sono sviluppati con lo scopo di ottenere una comprensione duratura dei meccanismi della matematica piuttosto che semplicemente la risposta a un problema matematico veloce. L’algoritmo standard è spesso il modo più efficiente per risolvere un problema, ma spesso nasconde il ragionamento della matematica agli studenti che imparano a fare lavori più complicati in età sempre più giovane. Sì, il modello di area sembra molto diverso dalla matematica che molti di noi facevano da bambini, ma la meccanica è la stessa.

I modelli di area e le matrici si basano su un semplice pensiero: la lunghezza o un rettangolo per la sua larghezza sarà uguale all’area totale. Il primo modello di area che gli studenti usano è una semplice matrice fisica.

Questo modello di base è in realtà la base per l’apprendimento che continuerà per tutta la scuola superiore! Come può essere usato questo modello per approfondire la comprensione dei giovani studenti? L’uso più importante di questo modello è la differenza visiva di come appare l’addizione rispetto alla moltiplicazione. Rende più chiaro quanto sia diverso 6 + 4 da 6 x 4. Questa distinzione sarà molto importante quando gli studenti inizieranno a studiare l’ordine delle operazioni. Una volta che gli studenti hanno imparato i fatti della moltiplicazione, passano alla moltiplicazione a due cifre. Questo è il punto in cui i modelli prendono la piega che molti adulti iniziano a non essere a proprio agio con la matematica!

I tuoi studenti hanno problemi a portare il modello fisico nell’algoritmo? Prova questo suggerimento: fai costruire ai tuoi studenti delle matrici fisiche sopra la tabella di moltiplicazione. Questo li aiuterà a vedere la relazione tra il modello che stanno costruendo e i fatti che stanno imparando!

L’uso di manipolatori come i blocchi di base dieci per mostrare le relazioni di valore di luogo è il passo successivo nell’evoluzione del modello di area. Questo metodo può essere complicato per educatori e genitori che non sono abituati a come funzionano le relazioni di lunghezza e larghezza all’interno di ciascuna unità dei blocchi di base dieci. Un altro aspetto di questo modello che può essere difficile, è la capacità dei blocchi di rappresentare valori diversi. Quando si lavora con la moltiplicazione dei numeri interi, il cubo unitario rappresenta uno, ma quando si lavora con i decimali, il cubo unitario rappresenta un centesimo. L’uso della modellazione del valore di luogo mostra agli studenti perché uno zero deve essere messo quando si moltiplicano 2 cifre per 2 cifre. Può anche dare agli studenti che sono meno sicuri con la moltiplicazione un ponte per passare dalla moltiplicazione a 1 cifra a problemi più complessi.

Quando gli studenti raggiungono circa la quinta o sesta classe, l’uso dei modelli di area prende un’altra trasformazione. Il modello concreto si sposta verso una rappresentazione visiva. Con i decimali, questo spesso prende la forma di una griglia di centinaia. Usare questo modello è uno dei modi migliori per far capire agli studenti perché i decimali non sono allineati in un problema di moltiplicazione. Quando gli studenti sono esposti solo al lavoro di algoritmo, spesso hanno problemi a ricordare quando allineare i decimali rispetto a quando spostare un decimale. Dare loro la comprensione del perché del posizionamento dei decimali li aiuterà ad avere una memoria più naturale e la comprensione del concetto, e non avranno bisogno di affidarsi alla memorizzazione così pesantemente. Inoltre, quando gli studenti usano un modello di area per rappresentare la moltiplicazione delle frazioni, sono in grado di visualizzare il motivo della moltiplicazione dei denominatori. Dopo aver imparato a sommare le frazioni, questo è importante perché gli studenti hanno fermamente impiantato nella loro mente l’idea di trovare denominatori comuni come necessari per lavorare con le frazioni. Quando si moltiplica, questo naturalmente non è necessario e risulterà in una risposta sbagliata. Di nuovo, come quando si lavora con i decimali, molti studenti si confondono sulle differenze di regole tra operazioni additive e moltiplicative.

I tuoi studenti hanno problemi a vedere la lunghezza e la larghezza nei modelli di aree decimali e frazionarie? Prova questo suggerimento: disegna le linee numeriche lungo la lunghezza e la larghezza. Contrassegnate prima gli interi. Poi evidenzia gli interi per fare i quadrati di unità in modo che il denominatore possa essere facilmente contato. Guarda il video qui sotto per vedere i passi con una moltiplicazione complessa di numeri misti!

Tutti i modelli precedenti, anche se diversi, hanno a che fare con lunghezza e larghezza numeriche. I modelli di area non devono usare valori numerici e possono essere usati per semplificare espressioni algebriche. Un manipolatore chiamato algebra tiles è comunemente usato per costruire modelli algebrici di area. Usare un modello di area per semplificare le espressioni algebriche può essere usato come alternativa al FOIL. Anche se molti di noi che insegnano ora sono cresciuti usando il metodo FOIL, un mnemonico che sta per primo, esterno, interno, ultimo, per moltiplicare le espressioni algebriche, questo metodo ha alcuni difetti evidenti. Uno dei più grandi è quando una delle parentesi include tre termini invece di due. Il metodo FOIL funziona solo se entrambi i moltiplicatori hanno solo due termini, ma non c’è nulla che limiti i problemi algebrici a due termini. Gli studenti che non hanno altro metodo oltre al FOIL probabilmente si bloccheranno su un problema senza altro metodo da usare.

I modelli di area sono uno strumento essenziale per la piena comprensione delle relazioni moltiplicative. Dal primo uso per costruire i fatti di moltiplicazione fino all’algebra, questo modello, anche se non è quello con cui la maggior parte di noi è cresciuta imparando la matematica, è uno dei metodi migliori per creare un modello di comprensione costante e comprensibile per gli studenti. Anche se la matematica diventa sempre più complessa, ogni volta può essere fatta sentire come se fosse qualcosa di già conosciuto utilizzando un modello familiare di risoluzione.