Modulo 1 — Scegliere un asse di rotazione e descrivere la direzione della rotazione

Da PER wiki

Obiettivi di apprendimento

Dopo aver lavorato attraverso questo modulo, dovresti essere in grado di:

• Descrivere la rotazione di un corpo rigido intorno ad un asse fisso.
• Definire la velocità angolare in termini di tasso di variazione della posizione angolare.
• Indicare il senso di rotazione di un oggetto rigido e applicare la regola della mano destra.

La rotazione di un oggetto rigido sotto forma di spin può avvenire in combinazione con il moto traslazionale. Lasceremo la descrizione del moto traslazionale e rotazionale combinati per dopo. In questo modulo ci concentreremo sulla descrizione del moto traslazionale puro. Il moto rotazionale puro può essere molto complicato e alcuni casi sono fuori dallo scopo di qualsiasi lezione di fisica introduttiva.

Per semplificare le idee sul moto angolare faremo le seguenti restrizioni:

1. Il corpo rigido ruota intorno a un asse di rotazione fisso.
2. Considereremo oggetti che sono sottili, per esempio il disco in figura a) o l’asta in figura b).
3. La rotazione è nel piano dove l’oggetto è contenuto, per esempio il piano xy nella figura sotto.
4. L’asse di rotazione è perpendicolare al piano in cui l’oggetto è contenuto, l’asse z nelle figure sottostanti.

Un corpo rigido costretto a ruotare su un asse fisso

Il caso più semplice di moto rotazionale è un corpo rigido come il disco o la barra mostrata sopra che può ruotare su un asse o cerniera che è fisso nello spazio. L’asse o la cerniera non trasla, ma permette la rotazione. Questo caso illustra chiaramente la nozione di asse di rotazione. Immagina un punto che si trova al centro del disco o all’estremità della barra, il punto Q, nella figura qui sotto. Mentre il corpo ruota, questo punto non si muove affatto. Qualsiasi altro punto, come il punto B, si muoverà durante la rotazione. Immagina una linea retta passante per il punto Q e perpendicolare al piano dove sono contenuti il disco o la barra, il piano xy nella figura. Questa linea non si muove mentre il corpo ruota. Qualsiasi altra linea che passa per qualsiasi altro punto dell’oggetto, come la linea blu che passa per il punto B, si muoverà. Questa unica linea fissa è l’asse di rotazione.

In sintesi, quando parliamo di un asse fisso di rotazione dobbiamo immaginare una linea perpendicolare al piano dove il corpo rigido sta ruotando. In generale considereremo l’oggetto contenuto e rotante nel piano xy, quindi l’asse di rotazione sarà parallelo all’asse z. Il punto di intersezione tra questa linea e il piano, il punto Q nella figura sopra, sarà anch’esso fisso nello spazio.

Movimento rotazionale di un corpo rigido che ruota intorno a un asse fisso

Consideriamo un disco che ruota intorno a un asse fisso che passa per il suo centro. Un punto B nel disco, a distanza r dal centro, si muoverà in un percorso circolare di raggio r, il cerchio tratteggiato in figura a).

Posizione angolare

La posizione del punto B può essere descritta in termini di angolo θ(t) misurato dall’asse +x. L’angolo θ è chiamato posizione angolare del punto.

Convenzione: la posizione angolare è definita positiva quando è misurata in senso antiorario rispetto all’asse +x.

Velocità angolare

La velocità del punto B così come la velocità di tutti i punti all’interno del disco dipenderà dal tasso di variazione delle loro posizioni angolari. Se il disco ruota di un angolo dθ = 25o in senso antiorario in un intervallo di tempo dt =1 sec, i punti B, C e tutti i punti all’interno del disco ruoteranno della stessa quantità nello stesso intervallo di tempo, figura c).

La velocità angolare è definita come il tasso di cambiamento della posizione angolare ed è indicata dalla lettera ω:

Unità: = rad.s-1

Accelerazione angolare

L’accelerazione angolare è il tasso di variazione della velocità angolare.

Unità: = rad.s-2

Direzione

Solo specificare un asse e la velocità di rotazione non è sufficiente per descrivere completamente il moto rotatorio. Dobbiamo anche discutere la direzione. Una volta scelto un asse, le possibili direzioni di rotazione sono state ridotte a due possibilità – l’oggetto può girare in senso antiorario o in senso orario visto dall’alto del piano (convenzionalmente da una posizione + z). Queste due situazioni sono descritte nelle figure seguenti. È importante fare attenzione qui, comunque, poiché il senso antiorario o orario della rotazione dipende dalla posizione dell’osservatore. Un disco che gira in senso antiorario quando è visto dall’alto girerà in senso orario quando è visto dal basso.

Quando lavoreremo verso una descrizione matematica della rotazione, descriveremo la rotazione in termini di un vettore. Si scopre (come vedremo) che una convenzione molto utile è quella di assegnare agli assi delle coordinate +z di giacere lungo l’asse di rotazione e di pensare alle due possibilità di senso antiorario e orario come rotazioni positive e negative intorno a questo asse. Così il vettore velocità angolare corrispondente alla rotazione del disco nella situazione mostrata nelle figure precedenti sarà:

Per la rotazione antioraria:

θ aumenta con il tempo,ω = dθ/dt > 0 allora la velocità angolare punta verso l’asse +z.

Per la rotazione in senso orario:

θ diminuisce con il tempo, ω = dθ/dt < 0 allora la velocità angolare punta verso l’asse -z:

La regola della mano destra

Questa convenzione è chiamata regola della mano destra. Per usarla, arricciate le dita della vostra mano destra. Allinea la tua mano con l’oggetto che gira (in questo caso, il disco) in modo tale che seguendo le dita dalle nocche alla punta delle dita si ottiene la stessa rotazione dell’oggetto. Il tuo pollice mostrerà quindi la “direzione” della rotazione.

La regola della mano destra e (x,y,z)

Quando si usa una coordinata cartesiana per descrivere il moto in un piano, è importante usare un sistema di coordinate destrorse in modo che la definizione di varie quantità di rotazione sia definita in termini di prodotto vettoriale. Nell’esempio precedente, questo significa che se si posiziona la mano destra in modo che le dita estese coincidano con l’asse + x, poi si ruota il polso in modo che le dita si spostino verso l’asse y mentre si chiude la mano a pugno, il risultato sarà che il pollice punta lungo +z. Questo sarà coerente con la solita convenzione di misurare l’angolo partendo dall’asse x e considerando positivo uno spostamento angolare in senso antiorario.

Disegnare un sistema rotante

Il punto di vista dovrebbe essere allineato con l’asse di rotazione.

Quando disegni un sistema rotante è importante allineare il tuo punto di vista con l’asse di rotazione. In altre parole, dovresti disegnare il sistema come se stessi guardando proprio lungo l’asse.

Rappresentare vettori che puntano dritti verso di te o dritti lontano da te.

Perché disegniamo i sistemi rotanti come se stessimo guardando lungo l’asse, è impossibile disegnare una freccia che rappresenti l’asse. L’asse lineare apparirà come un punto dal nostro punto di vista. Per questo motivo, c’è una convenzione per disegnare una freccia che punta direttamente verso o direttamente lontano dall’osservatore. La convenzione è che una freccia che punta direttamente all’osservatore è disegnata come un punto cerchiato. Una freccia che punta direttamente lontano è disegnata come una “x” cerchiata.

Disegnare i vettori allineati con l’osservatore: porta dall’alto e dal basso.

Immagine: Una porta è mostrata lungo l’asse di rotazione scelto da varie prospettive.