Operazioni binarie

Operazione binaria

Come si ottiene un numero quando due numeri vengono aggiunti o sottratti o moltiplicati o vengono divisi. Le operazioni binarie associano due elementi qualsiasi di un insieme. La risultante dei due è nello stesso insieme. Le operazioni binarie su un insieme sono calcoli che combinano due elementi dell’insieme (chiamati operandi) per produrre un altro elemento dello stesso insieme.

Le operazioni binarie * su un insieme non vuoto A sono funzioni da A × A ad A. L’operazione binaria, *: A × A → A. È un’operazione di due elementi dell’insieme i cui domini e co-domini sono nello stesso insieme.

Addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, esponenziale sono alcune delle operazioni binarie.

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Proprietà delle operazioni binarie

• Proprietà di chiusura: Un’operazione * su un insieme non vuoto A ha proprietà di chiusura, se a ∈ A, b ∈ A ⇒ a * b ∈ A.
• Le addizioni sono le operazioni binarie su ciascuno degli insiemi dei numeri naturali (N), interi (Z), numeri razionali (Q), numeri reali (R), numero complesso (C).

Le addizioni sull’insieme di tutti i numeri irrazionali non sono operazioni binarie.

• La moltiplicazione è un’operazione binaria su ciascuno degli insiemi dei numeri naturali (N), interi (Z), numeri razionali (Q), numeri reali (R), numero complesso (C).

La moltiplicazione sull’insieme di tutti i numeri irrazionali non è un’operazione binaria.

• La sottrazione è un’operazione binaria su ciascuno degli insiemi di numeri interi (Z), numeri razionali (Q), numeri reali (R), numero complesso (C).

La sottrazione non è un’operazione binaria sull’insieme dei numeri naturali (N).

• La divisione non è un’operazione binaria sull’insieme dei numeri naturali (N), interi (Z), numeri razionali (Q), numeri reali (R), numero complesso (C).
• L’operazione esponenziale (x, y) → xy è un’operazione binaria sull’insieme dei numeri naturali (N) e non sull’insieme degli interi (Z).

Tipi di operazioni binarie

Commutativa

Un’operazione binaria * su un insieme A è commutativa se a * b = b * a, per tutti (a, b) ∈ A (insieme non vuoto). Sia l’addizione l’operazione binaria commutativa per a = 8 e b = 9, a + b = 17 = b + a.

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Associative

La proprietà associativa delle operazioni binarie è valida se, per un insieme non vuoto A, possiamo scrivere (a * b) *c = a*(b * c). Supponiamo che N sia l’insieme dei numeri naturali e che la moltiplicazione sia l’operazione binaria. Sia a = 4, b = 5 c = 6. Possiamo scrivere (a × b) × c = 120 = a × (b × c).

Distributivo

Lasciamo che * e o siano due operazioni binarie definite su un insieme non vuoto A. Le operazioni binarie sono distributive se a*(b o c) = (a * b) o (a * c) oppure (b o c)*a = (b * a) o (c * a). Consideriamo * come moltiplicazione e o come sottrazione. E a = 2, b = 5, c = 4. Allora, a*(b o c) = a × (b – c) = 2 × (5 – 4) = 2. E (a * b) o (a * c) = (a × b) – (a × c) = (2 × 5) – (2 × 4) = 10 – 6 = 2.

Identità

Se A è l’insieme non vuoto e * è l’operazione binaria su A. Un elemento e è l’elemento identità di a ∈ A, se a * e = a = e * a. Se l’operazione binaria è l’addizione(+), e = 0 e per * è la moltiplicazione(×), e = 1.

Inverso

Se un’operazione binaria * su un insieme A che soddisfa a * b = b * a = e, per tutti a, b ∈ A. a-1 è invertibile se per a * b = b * a= e, a-1 = b. 1 è invertibile quando * è la moltiplicazione.

Esempio risolto per voi

Questione 1: Mostrare che la divisione non è un’operazione binaria in N né la sottrazione in N.

Risposta : Sia a, b ∈ N

Caso 1: Operazione binaria * = divisione(÷)

-: N × N→N dato da (a, b) → (a/b) ∉ N (come 5/3 ∉ N)

Caso 2: Operazione binaria * = Sottrazione(-)

-: N × N→N data da (a, b)→ a – b ∉ N (poiché 3 – 2 = 1 ∈ N ma 2-3 = -1 ∉ N).

Questione 2: Tutte le operazioni binarie sono chiuse? Molti insiemi che ti possono essere familiari sono chiusi sotto certi operatori binari, mentre molti non lo sono. Così, l’insieme dei numeri interi dispari rimane chiuso sotto la moltiplicazione. Per esempio, l’insieme dei numeri interi dispari non è chiuso sotto l’addizione, perché la somma di due numeri dispari non è sempre dispari, anzi, non è mai dispari.

Domanda 3: La radice quadrata è un’operazione binaria? Un’operazione non binaria si riferisce a un processo matematico che richiede solo un numero per ottenere qualcosa. Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione sono esempi di operazioni binarie. Allo stesso modo, esempi di operazioni non binarie consistono in radici quadrate, fattoriali, così come i valori assoluti.

Questione 4: Qual è l’elemento di identità in un’operazione binaria? Un elemento di identità o elemento neutro in operazione binaria si riferisce a un tipo speciale di elemento di un insieme per quanto riguarda un’operazione binaria su quell’insieme, che lascia un elemento dell’insieme inalterato quando viene combinato con esso. Usiamo questo concetto in strutture algebriche come gruppi e anelli.

Domanda 5: Cos’è l’overflow binario?

Risposta: L’overflow avviene quando la grandezza di un numero supera l’intervallo consentito dalla dimensione del campo di bit. La somma di due numeri con segno identico può benissimo superare l’intervallo del campo di bit di quei due numeri, e quindi l’overflow può essere una possibilità in questo caso.