Reticolo di Bravais

In geometria e cristallografia, un reticolo di Bravais, dal nome di Auguste Bravais (1850), è una serie infinita di punti discreti generati da un insieme di operazioni discrete di traslazione descritte nello spazio tridimensionale da:

R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 {displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}

(1)

dove i ni sono interi qualsiasi e ai sono vettori primitivi che giacciono in direzioni diverse (non necessariamente reciprocamente perpendicolari) e spaziano sul reticolo. La scelta dei vettori primitivi per un dato reticolo di Bravais non è unica. Un aspetto fondamentale di qualsiasi reticolo di Bravais è che, per qualsiasi scelta di direzione, il reticolo apparirà esattamente lo stesso da ciascuno dei punti discreti del reticolo quando si guarda in quella direzione scelta.

In cristallografia, il concetto di reticolo di Bravais di una serie infinita di punti discreti è ampliato usando il concetto di cella unitaria che include lo spazio tra i punti discreti del reticolo così come qualsiasi atomo in quello spazio. Ci sono due tipi principali di celle unitarie: celle unitarie primitive e celle unitarie non primitive.

Una cella unitaria primitiva per un dato reticolo di Bravais può essere scelta in più di un modo (ogni modo ha una forma diversa), ma ogni modo avrà lo stesso volume e ogni modo avrà la proprietà che una corrispondenza uno-a-uno può essere stabilita tra le celle primitive e i punti discreti del reticolo. La cella primitiva ovvia da associare a una scelta particolare di vettori primitivi è il parallelepipedo formato da essi. Cioè l’insieme di tutti i punti r della forma:

r = x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 dove 0 ≤ x i < 1 {\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{mathbf {a} _{1}+x_{2}{mathbf {a} _{2}+x_{3}{mathbf {a} _{3}{qquadrante {{text{where}0\leq x_{i}<1}

(2)

Utilizzare il parallelepipedo definito dai vettori primitivi come cella unitaria ha lo svantaggio in alcuni casi di non rivelare chiaramente la piena simmetria del reticolo. Una soluzione a questo problema è usare la cella primitiva di Wigner-Seitz (che consiste in tutti i punti nello spazio che sono più vicini al punto dato del reticolo che a qualsiasi altro punto del reticolo) che mostra la piena simmetria del reticolo. Un’altra soluzione è quella di utilizzare una cella unitaria non primitiva che mostra l’intera simmetria del reticolo. Il volume della cella unitaria non primitiva sarà un multiplo intero del volume della cella unitaria primitiva.

La cella unitaria, primitiva o no, quando viene replicata una volta per ogni punto discreto del reticolo, deve riempire esattamente l’intero spazio senza sovrapposizioni e senza vuoti.

Il concetto di reticolo di Bravais espanso, compresa la cella unitaria, è usato per definire formalmente una disposizione cristallina e le sue frontiere (finite). Un cristallo è costituito da una disposizione periodica di uno o più atomi (la base o motivo) che si verifica esattamente una volta in ogni cella unitaria primitiva. La base può consistere in atomi, molecole o stringhe di polimeri della materia solida. Di conseguenza, il cristallo ha lo stesso aspetto se visto in qualsiasi direzione da qualsiasi punto equivalente in due diverse celle unitarie (due punti in due diverse celle unitarie dello stesso reticolo sono equivalenti se hanno la stessa posizione relativa rispetto ai confini delle loro singole celle unitarie).

Due reticoli di Bravais sono spesso considerati equivalenti se hanno gruppi di simmetria isomorfi. In questo senso, ci sono 14 possibili reticoli di Bravais nello spazio tridimensionale. I 14 possibili gruppi di simmetria dei tralicci di Bravais sono 14 dei 230 gruppi spaziali. Nel contesto della classificazione dei gruppi spaziali, i tralicci di Bravais sono anche chiamati classi di Bravais, classi aritmetiche di Bravais o gruppi di Bravais.