ベン・グリーン（数学者）

グリーンの研究の大部分は解析的整数論と加法的組合せ論の分野であるが、調和解析や群論でも成果を上げている。 加法的組合せ論におけるグリーンの初期の成果としては、和集合における算術進行の大きさに関するジャン・ブルゲンの結果の改良と、自然数の無和集合に関するキャメロン・エルド予想の証明がある。 また、グラフの Szemerédi regularity lemma に類似した、最初の N 個の自然数{displaystyle N}上で定義される関数の算術正則性のレンマを証明した。

2004 年から 2010 年に、 Terence Tao と Tamar Ziegler との共同研究で、いわゆる高次フーリエ解析が開発された。 この理論はGowers規範とnilsequencesとして知られるオブジェクトを関連づけるものである。 この理論は、古典的なフーリエ解析で文字が果たす役割と類似の役割を果たすこの無次元配列に由来している。 グリーンとタオは高次フーリエ解析を用いて、素数を含むある整数の集合における連立方程式の解の数を数える新しい方法を示した。 これは、ハーディー・リトルウッド円法を用いた古典的なアプローチを一般化したものである。 この理論の多くの側面は、Gowers規範の逆定理の定量的な側面を含め、現在も研究が続けられている。

グリーンはまた、群論におけるテーマについてエマニュエル・ブルイヤールと共同研究を行っている。 特に、Terence Taoと共同で、小さな倍数を持つ整数の集合に関するFreiman-Ruzsaの定理を一般化し、近似群の構造定理を証明した。 Green は Kevin Ford と Sean Eberhard と共同で対称群の理論、特にその要素のどの割合が大きさ k の集合 {displaystyle k} を固定するかについての研究も行っています。 特に、平面上ですべてが共線でないn個の点の集まりが与えられたとき、n {displaystyle n}が十分に大きければ、点のうちのちょうど2つを含む平面上の少なくともn / 2 {displaystyle n/2}個の線が存在しなければならないことを証明しました。

Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, James Maynard and Terence Tao, 最初2つの別々の研究グループで、その後組み合わせて、最大X {displaystyle X}のサイズの2つの連続素数の間の最長ギャップのサイズに対する下界を向上させることに成功。 以前最もよく知られていたランキンによる下界は76年間改善されていなかった。

最近では、グリーンは算術ラムゼイ理論における問題を検討した。 トム・サンダースと共同で、素数位の十分に大きな有限体が固定数の色で彩られている場合、その場は、x , y , x + y , x y {displaystyle x,y} がすべて同じ色を持つ要素 x , y {displaystyle x,y,x{+}y, xy}を持つことを証明した。

Green はまた、Croot-Lev-Pach-Ellenberg-Gijswijt による、線形方程式の解を持たない有限ベクトル空間の部分集合の大きさを制限する多項式法の適用に関する新しい開発にも関与しています。 彼はこれらの方法を応用して、関数体においてSárközyの定理の強い版を証明した

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