ボード線図、利得余裕、位相余裕（プラス図）

BY admin
|

目次

ボード線図とは

ボード線図は制御システム工学で制御システムの安定性を決定するためによく使われるグラフである。 Bode プロットは、Bode magnitude plot (大きさをデシベルで表す) と Bode phase plot (位相シフトを度で表す) の2つのグラフでシステムの周波数応答をマッピングします。

Bodeプロットは1930年代に、米国のベル研究所で働いていたHendrik Wade Bodeによって初めて発表されました。 ボード線図はシステムの安定性を計算する比較的簡単な方法ですが、（ナイキスト安定性基準と異なり）右半平面の特異点を持つ伝達関数を扱うことはできません。

ボード線図上に示される利得余裕と位相余裕

ボード線図を理解する上で利得余裕と位相余裕を理解していることが非常に重要です。 1789>

ゲインマージン

ゲインマージン（GM）が大きいほど、システムの安定性は高くなります。 ゲインマージンとは、システムを不安定にすることなく増減できる利得の量を指します。 通常はdB単位の大きさで表します。

通常、ボーデプロットからゲインマージンを直接読み取ることができます（上図参照）。 これは、ボーデ位相プロット=180°となる周波数での(ボーデ振幅プロットの)振幅曲線とx軸の間の垂直距離を計算することによって行われます。 この点は、位相クロスオーバー周波数として知られています。

ゲインおよびゲインマージンは同じものではないことを認識することが重要です。 実際、ゲインマージンはゲインのマイナス値（デシベル、dB）です。 このことは、ゲインマージンの公式を見れば理解できるでしょう。

ゲインマージンの公式

ゲインマージン（GM）の公式は次のように表現できます：

ここでGはゲインです。 これは、位相クロスオーバー周波数でのマグニチュードプロットの縦軸から読み取った大きさ（dB）です。

上のグラフの例では、ゲイン（G）は20です。 1789>

位相余裕

位相余裕（PM）が大きいほど、システムの安定性は高くなります。 位相余裕とは、システムを不安定にすることなく増減できる位相の量を指します。 通常、位相は度数で表されます。

通常、ボーデプロットから位相余裕を直接読み取ることができます（上図に示すように）。 これは、Bode振幅プロット=0dBとなる周波数での位相曲線(Bode位相プロット上)とx軸の間の垂直距離を計算することによって行われます。 この点は、ゲインクロスオーバー周波数として知られています。

位相遅れと位相マージンは同じものではないことを認識することが重要です。

Phase Margin Formula

Phase Margin (PM) の式は、次のように表現できます：

ここで は位相遅れ（0より小さい数値）です。 これは、利得交差周波数での位相プロットの縦軸から読み取った位相です。

別の例として、あるアンプの開ループ利得が位相遅れが-120°となる周波数で0dBを交差する場合、位相遅れは-120°となります。 したがって、このフィードバックシステムの位相余裕は-120°-(-180°)=60°(安定)となります。

ボード線図の安定性

以下は、ボード線図を描く（およびその安定性の計算）のに関連する基準の要約です：

  1. ゲイン・マージン(Gain Margin)。 ゲインマージンが大きければ大きいほど、システムの安定性が高くなります。 ゲインマージンとは、システムを不安定にすることなく増減できる利得の量を意味します。 通常はdB単位で表示します。 位相余裕を大きくすればするほど、システムの安定性が高まります。 システムを不安定にすることなく増減できる位相を指します。 通常、位相で表現します。
  2. ゲインクロスオーバー周波数(Gain Crossover Frequency)：ゲインのクロスオーバー周波数です。 ボード線図において、大きさの曲線が0dB軸を切る周波数をいう。
  3. コーナー周波数：位相曲線がボードプロットで180o軸の負数をカットする周波数を指します。
  4. コーナー周波数：2つの漸近線が切れる、または出会う周波数をブレーク周波数またはコーナー周波数といいます。 Gの弾性率（jω）がピーク値を持つ周波数の値を共振周波数と呼びます。 ループ伝達関数｛すなわちG(s)×H(s)｝は定数項K、積分項(jω)、1次項( 1 + jωT)(± n) (n は整数)、2次項または2次項の種々の因子の積で構成されています

    5. Slope: 各因子に対応する傾きがあり、各因子の傾きはdB per decadeで表される

  5. 角度。

さて、Bode曲線を描くために覚えておくべき結果がある。

  • 定数項K:この係数の傾きは10年に0dBである。 この定数項に対応するコーナー周波数は存在しない。
  • 積分係数1/(jω)n.この定数項に対応する位相角もゼロである。 この係数は10年間で-20×n(nは整数)dBの傾きを持つ。 この積分係数に対応するコーナー周波数は存在しない。 この積分係数に対応する位相角は-90×nである。 この係数は、10年間で-20dBの傾きを持ちます。 この係数に対応するコーナー周波数は1/T radian/secです。 この1次因子に対応する位相角は-tan- 1(ωT)です。
  • 1次因子(1+jωT)。 このファクターは10年間で20dBの傾きを持つ。 この係数に対応するコーナー周波数は1/T radian/secです。 この1次因子に対応する位相角は、tan- 1(ωT) .
  • 2次または2次因子：: このファクターは10年に-40dBの傾きを持つ。 このファクターに対応するコーナー周波数はωnラジアン/秒である。 この1次関数に対応する位相角は

ボード線図の描き方

以上の点に注意すれば、どんな種類の制御系でもボード線図を描くことができるようになります。

  1. 開ループ伝達関数G（s）×H（s）にs＝jωを代入します。
  2. 対応するコーナー周波数を見つけて表にしてください。 X軸に角周波数、Y軸の左側には真ん中にゼロの傾き、右側には真ん中に-180oをとって位相角をマークしてください。
  3. システムの利得係数と次数の種類を計算します。
  4. 次にそれぞれの係数に対応する傾きを計算します。

ボード線図の描き方：

  • 半対図画紙にコーナー周波数をマークします。
  • これらの因子を与えられた順序で上から下へ並べていく。
    1. 定数項K.
    2. 積分因子
    3. 1次因子

      4. 1次因子（1+jωT)を表示。

  • 2次の因子：
  • ここで、与えられた因子の対応する傾きの助けを借りて、線をスケッチしてください。 次のファクターの傾きを加えることで、コーナー周波数ごとに傾きを変更する。
  • ゲインマージンを計算します。

ボード線位相プロットを描くには：

  1. 因子のすべての位相を足した位相関数を計算します。
  2. 異なる点での位相を知るために、上の関数にいろいろな値を代入して曲線を描きます。
  3. 位相余裕を計算します。

Bode安定基準

安定条件は次のとおりです。 マージンは両方とも正であるか、または位相マージンがゲインマージンより大きくなければなりません。

  • Marginal Stable Systemの場合：両方のマージンが0であるか、または位相マージンがゲインマージンと等しいこと。 Bode Plotの利点
    1. 漸近近似に基づいており、対数的な大きさの曲線をプロットする簡単な方法を提供します。
    2. 伝達関数に現れるさまざまな大きさの乗算は加算として扱うことができ、対数のスケールを使用しているため除算は減算として扱うことができます。
    3. このプロットの助けのみで、計算することなくシステムの安定性について直接コメントできます。
    4. ボード線図は、利得余裕と位相余裕の点で相対的な安定性を提供します。