モジュール1–回転軸の選択と回転方向の記述

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PER wikiより

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Learning Goals

After working through this module, you should be able to:

  • Describe the rotation of a rigid body about a fixed axis.
  • 角速度を角度位置の変化率で定義する。
  • 剛体の回転方向を示し、右手の法則を適用する。

スピンの形で剛体の回転は並進運動と組み合わせて起きることがあります。 並進運動と回転運動の組み合わせの説明は後回しにします。 このモジュールでは、純粋な並進運動の記述に集中します。 純粋な回転運動は非常に複雑で、物理学の入門クラスの範囲外であるケースもある。

角運動についての考え方を単純化するために、以下の制限を設ける。

  1. 剛体は固定した回転軸を中心に回転する。
  2. 回転は物体が含まれている平面、例えば下図のxy平面で行われる。
  3. 回転軸はオブジェクトが含まれる平面に対して垂直で、下の図ではz軸である。

2dRotation.png

固定軸に対して回転するように拘束された剛体

回転運動の最も単純なケースは、空間に固定されている軸またはヒンジに対して回転できる上記のディスクまたはバーなどの剛体である。 車軸やヒンジは平行移動せず、回転を可能にする。 この場合、回転軸の概念がよくわかる。 下図の円盤の中心、あるいは棒の先端にある点Qを想像してほしい。 体が回転しても、この点は全く動かない。 点Bのような他の点は、回転に伴って移動する。 点Qを通り、円盤や棒が含まれる平面（図中のxy平面）に垂直な直線を想像してみよう。 この直線は、体が回転しても動きません。 点Bを通る青い線のように、物体内の他の点を通る他の線は動きます。 5595>

FixedAxis.png

まとめると、固定された回転軸について話すとき、剛体が回転している平面に垂直な線を想像する必要があるのである。 一般的には、xy平面内に含まれ回転しているオブジェクトを考えますので、回転軸はz軸に平行になります。 この直線と平面との交点、上の図の点Qも空間的に固定される。

固定軸を中心に回転する剛体の回転運動

その中心を通る固定軸を中心に回転する円盤を考える。 円盤の中で中心から距離rの点Bは半径rの円軌道、図a)の破線の円の中を移動することになる。

AngularVelocity01b.png

角度位置

点Bの位置は＋x軸から測った角度θ（t）で記述することができる。 この角度θを点の角度位置という。

慣例：角位置は＋x軸を基準にして反時計回りに測ったとき正と定義する。

角速度

点Bの速度だけでなく、ディスク内のすべての点の速度はそれらの角位置の変化率に依存することになる。 円盤が時間間隔dt＝1秒で反時計回りに角度dθ＝25o回転すると、点B、Cおよび円盤内のすべての点は同じ時間間隔で同じだけ回転する、図c)。

角速度は角度位置の変化率で、ωで表記する：

単位：rad.を使用し、角速度は1秒間に1回転する。s-1

omega(t) = \frac{dΘ(t)}{dt}

角加速度

角加速度は角速度の変化率であり、角速度が変化すると、角速度も変化します。

単位：= rad.単位です。s-2

alpha(t) = \frac{domega(t)}{dt} = \frac{d^{2}theta(t)}{dt}

方向

軸と回転速度を指定するだけでは、回転運動は完全には記述できない。 また、方向についても議論する必要がある。 一旦軸が選ばれると、可能な回転方向は2つの可能性に絞られる。オブジェクトは平面の上（慣習的に＋z位置）から見て、反時計回りか時計回りに回転するかもしれない。 この2つの状況について、下の図で説明します。 しかし、ここで注意しなければならないのは、反時計回りか時計回りかは、観測者の位置によって異なるということです。 上から見て反時計回りの円盤が、下から見ると時計回りに回るのです。

Convention.png

回転を数学的に記述するために、回転をベクトルで記述します。 後述するように、+z座標軸を回転軸に沿うように割り当て、反時計回りと時計回りの2つの可能性をこの軸の周りの正と負の回転として考えることが非常に便利な慣習であることが判明した。 したがって、上の図のような状況での円盤の回転に対応する角速度ベクトルは、

\vec{omega} = \omega \hat{k} となります。

反時計回りの場合：

θは時間とともに増加し、ω = dθ/dt > 0なら角速度は+z軸の方向に向きます。

時計回りの回転の場合：

θは時間とともに減少し、ω = dθ/dt < 0 なら角速度は-z軸の方向に向く。 使い方は、右手の指を丸める。 回転する物体(この場合、円盤)に手を合わせ、指の関節から指先までが物体が経験するのと同じ回転になるようにする。 親指は回転の「方向」を示しています。

右手の法則と (x,y,z)

平面内の運動を記述するのに直交座標を用いる場合、様々な回転量の定義をベクトル積の観点から定義するために右手座標系を用いることが重要である。 上の例では、右手の指の延長線が＋x軸に一致するように置き、手首をひねって指をy軸方向に動かしながら手を握りこぶしにすると、親指は＋z軸を指すことになる、ということである。 これは、x軸を起点として角度を測定し、反時計回り方向の角変位を正とみなすという通常の慣例と一致する。

回転するシステムを描く

視点は回転軸と一直線にすること。

回転するシステムを描くとき、視点を回転軸に合わせることが重要です。 言い換えれば、軸に沿って右側を見るようにシステムを描く必要があります。

自分からまっすぐ向いているベクトルやまっすぐ離れているベクトルを表現する。

回転系は軸に沿って見ているように描くので、軸を表す矢印は描けません。 直線軸は私たちから見ると点のように見えてしまうのです。 そのため、観察者に正対する矢印、あるいは観察者から正対しない矢印を描くという慣習がある。 観察者に正対する矢印は丸で囲った点で描かれ、観察者に正対しない矢印は丸で囲った点で描かれます。 また、遠ざかる矢印は丸で囲んだ「×」で描かれます。

ベクトルを見る人に合わせて描く：上からのドアと下からのドア。

イメージです。

DoorAxes.png

様々な視点から、選ばれた回転軸に沿ってドアが表示される。