解析幾何学

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解析幾何学初級

同時代に「大幾何学者」と呼ばれたペルガのアポロニウス（262頃-190bc）は、『円錐』によって解析幾何学の発展を1800年以上も予見している。 彼は、円錐と平面の交点を円錐と定義した(図参照)。 ユークリッドの相似三角形と円の割線に関する結果を用いて、2次曲線の任意の点Pから、2次曲線の長軸とその端点での接線という2本の垂直線までの距離が満たす関係を見出した。 これらの距離はPの座標に対応し、これらの座標の関係は2次曲線の2次方程式に対応する。 アポロニウスはこの関係を使って、2次曲線の基本的な性質を導き出した。

conic sections
conic sections

二次曲線は図のように平面と二重円錐が交わることで生じる。 楕円(円を含む)、放物線(枝が1本)、双曲線(枝が2本)の3種類である。

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数学における座標系（図参照）のさらなる発展は、イスラムやインドの数学者の下で代数が成熟した後に現れました。 (数学参照。 イスラム世界(8-15世紀)、南アジアの数学参照)。 16世紀末、フランスの数学者François Vièteは、既知および未知の数量を文字で表す代数表記法を初めて体系化し、代数式の取り扱いや代数方程式の解法に関する強力な一般法を開発した。 代数的記数法のおかげで、数学者はもはや幾何学的図形や幾何学的直感に完全に依存することなく、問題を解決することができるようになった。 より大胆になった数学者は、線形（1乗）の変数が長さに、2乗が面積に、3乗が体積に対応し、それ以上の乗数は「物理的」解釈を欠くという標準的な幾何学的思考法を捨て去りはじめた。 1405>

デカルト座標デカルト平面と呼ばれる2次元のグラフに、いくつかの点が記されている。 最初の数字（x値）はy軸からの距離（右に正の値、左に負の値）を示し、2番目の数字（y値）はx軸からの距離（上に正の値、下に負の値）を示すことに注意してください。 各点は2つの座標を持ち、最初の数値（x値）はy軸からの距離（右に正の値、左に負の値）を示し、2番目の数値（y値）はx軸からの距離（上に正の値、下に負の値）を示すことに注意する。

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Descartes と Fermat は、1630 年代に Viète の代数を幾何学の軌跡の研究に適応させて、解析的幾何学を独立して創設しました。 彼らは、固定ではなく、可変の距離を表すために文字を使用することで、ヴィエートから決定的に前進した。 デカルトは幾何学的に定義された曲線を方程式を使って研究し、あらゆる次数のxとyの多項式グラフである一般代数曲線を考察する必要性を強調した。 彼は古典的な問題、すなわち、Pからある直線までの距離の積が他の直線までの距離の積と等しくなるようなすべての点Pを見つけることで、自分の方法を示したのである。 幾何学を参照。 1405>

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フェルマーは、xとyの座標の間のあらゆる関係が曲線を決定することを強調した（図参照）。 この考えを用いて、彼はアポロニウスの議論を代数的な用語で再構成し、失われた仕事を取り戻した。

多項式グラフ図にy = 3x4 - 16x3 + 6x2 + 24x + 1の多項式グラフの一部を示す。
多項式グラフ図は、多項式y = 3×4 – 16×3 + 6×2 + 24x + 1のグラフの一部である。

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Fermatは自分の研究を発表せず、Descartesは「ぶらぶら歩き」をさせないためにわざと読みにくくした。 彼らの考えが一般に受け入れられるようになったのは、17世紀後半に他の数学者たちの努力によってである。 特にオランダの数学者フランツ・ファン・シューテンは、デカルトの著作をフランス語からラテン語に翻訳した。 また、フランスの法律家フロリモン・ド・ボーヌやオランダの数学者ヨハン・ド・ウィットも、デカルトの著作に重要な解説を加えている。 イギリスでは、数学者ジョン・ウォリスが、方程式を使って円錐を定義し、その性質を導き出し、解析幾何学を普及させた。 彼は負の座標を自由に使ったが、図のように2本の（斜）軸を使って平面を4象限に分けることを明確にしたのはアイザック・ニュートンである。 アルキメデス（紀元前285～212年）のような古典ギリシャの数学者は、解析幾何学の力を利用することなく、微分積分の基本問題である接線や極点の発見、弧長、面積、体積などの特殊ケースを解決していた（積分学）。 ルネサンス期の数学者たちは、天文学、光学、航海術、戦争、商業の必要性から、これらの問題に立ち戻ることになった。 フェルマーは、ある点における代数曲線の接線を、その点における代数曲線と二重交差する直線を求めることによって求める代数的アルゴリズムを開発し、微分積分を発明したのである。 デカルトは円を用いて同様の、しかしより複雑なアルゴリズムを導入した。 フェルマーは、すべての有理数k≠-1に対する曲線y = axkの下の面積を、内接および外接の長方形の面積を合計することによって計算した。 (17世紀の残りの期間、フランスのジル・パーソン・ド・ロベラル、イタリアのボナヴェントゥーラ・カヴァリエリ、イギリスのジェームズ・グレゴリー、ジョン・ウォリス、アイザック・バロウなど多くの数学者によって微積分の基礎が続けられた。 二人は座標を使って微積分の考えを完全に一般化して表現する記法を開発し、微分法則や微積分の基本定理（微分と積分をつなぐ）を自然に導き出したのである。 ニュートンは、次数3の任意の3次曲線、代数曲線が、適当な座標軸に対して、xy2 + ey = ax3 + bx2 + cx + d,xy = ax3 + bx2 + cx + d,y2 = ax3 + bx2 + cx + d,y = ax3 + bx2 + cx + d という4つの標準方程式を持つことを主張して、幾何学における解析的方法の役割を別にする重要さを実証した。 スコットランドの数学者スターリングは、1717年、ニュートンの助けを借りて、この主張を証明した。 ニュートンは立方体を72種に分け、後に78種に訂正した。

ニュートンはまた、原点近くの代数曲線を正の整数kに対して分数冪級数y = a1x1/k + a2x2/k + …で表現する方法を示した。