8.4: ボルツマンの方程式

高温で高密度のガス中に多数の原子がある場合、原子は常に互いに衝突を経験し、さまざまなエネルギー準位への励起が起こるでしょう。 衝突による励起に続いて、通常はナノ秒オーダーの時間スケールで、放射励起が起こります。 温度と圧力が一定であれば、衝突励起と放射性脱励起の間に一種の動的平衡が存在し、原子が様々なエネルギー準位間で一定の分布を持つようになる。 ほとんどの原子は低いエネルギー準位に存在し、高いエネルギー準位に存在する原子の数は、エネルギー準位に応じて指数関数的に減少する。 温度が低いほど、高い準位にいる原子の数は指数関数的に減少する。 非常に高い温度でなければ、高いエネルギー準位に相当数の原子が存在することはない。 ボルツマンの方程式は、エネルギーと温度の関数として、原子がさまざまなエネルギー準位の間でどのように分布するかを示している。

たとえば、箱（体積一定）の中に原子があり、それぞれがエネルギー準位を持つものとしよう。 このとき、エネルギー準位(E_j)にある原子が(N_j)個あるとします。 このとき、原子の総数(N)は次式で与えられる。

ここで、(i)は(j)を含む、(1)から(m)までの実行整数である。

系の全内部エネルギーは

ここで、第1エネルギー準位に(N_1)、第2エネルギー準位に(N_2)、…というように原子を配置する方法がいくつあるか確立しなければならない。 この数を “閾値 “と呼びます。 というのは直感的に分かる人もいると思いますが、私自身は直感的に分からないので、最低限の証明はあった方が嬉しいです。 従って、第1階層を占める原子の種類は、(N_1)個の原子が(N_1)個の中から選ばれる数で、( )内は通常の2項係数を表し、 \begin{pmatrix} N それぞれの方法について、残りの原子数(N – 1)の中から(N_2)個の原子が選択できる数を知る必要があります。 これは、もちろん、୧⃛(๑⃙⃘◡̈๑⃙⃘)୨⃛ N-1 N_2 ୨⃛ N_2 ୨⃛です。 したがって、1～2段目の入力方法の数は、 \(begin{pmatrix} N \N_1 \end{pmatrix})\(\begin{pmatrix} N-1 \ N_2 \end{pmatrix}) となります。 この議論を続けると、最終的に

二項係数を全部書き出すと(私の言葉を鵜呑みにせず、実際にやってみてください)、たくさんの打ち消しが出てきて、ほとんどすぐに式( \ref{8.1.0}) に到達します。4.3}).

We need to know the most probable partition – i.e. the most probable numbers \(N_1), \(N_2) etc…… 最確数パーティションは、(N_j)の各々に関して、(式)で表される制約のもとで、(X)を最大化するパーティションです。 式の対数をとると、

Stirlingの近似をすべての変数の階乗に適用する。 (すぐに分かると思いますが、定数項Ⓐにも適用してもしなくても問題ありません。) となり、

ここで、ある変数、例えば \(N_j) に関して、式

微分を行うと、

That is to sayが得られる。

あとは、ラグランジュ乗数である♪ \(\lambda paragraph) (or \(C = e^lambda paragraph)) と♪ \(\mu paragraph) を特定するのみである。 Equation ∕(\ref{8.4.9}) の両辺をMultiply by \(N_j Filter). このとき、(i)は(1)から(m)までの添え字、(j)は(i)の値であることを思い出してください。 したがって、今、下付き添え字をthe \(j) to \(i) change, and sum from \(i = 1) to \(m), Equation \(Ref{8.4.9}) now becomes

where we have made of Equations \(Ref{8.4.1}) and \(Ref{8.4.2}). 式から、

so that \

Now apply equation 8.3.3, followed by equation 8.3.3.2を適用すると、すぐに同定ができる

This Equation \(\ref{8.4.10}) becomes

We still have to determine \(Cachet). 式中の添え字を、 \(j) から \(i) に変え、 \(1) から \(m) までを合計すると、すぐに

Thus

ここで、和の限界 (\(1) と \(m)) を理解できるように省略しました。.

ただし、まだ考えていない要素が1つあります。 原子のほとんどのエネルギー準位は縮退しており、同じエネルギーを持つ状態がいくつか存在する。 したがって、ある準位の母集団を求めるには、構成する準位の母集団を足し合わせなければならない。 したがって、式の各項には、その準位の統計的重み(weight)である(weight)∕(∕varpi)を乗じなければなりません。 (これは、残念ながら、しばしば、 \(genta) という記号が与えられます。 황(d), 황(g) and \(varpi) の区別は7.14節を参照してください。 なお、記号 “π “はギリシャ文字 “π “の形です) こうしてボルツマン方程式にたどり着く：

式の分母は分割関数(die Zustandsumme)と呼ばれる。 この関数には、しばしば \(u) or \(Q) or \(Z) という記号が与えられる。

核スピンがゼロの原子の1準位の統計量は、 \(2J + 1) である。 原子核のスピンが(I)の場合、準位の統計的重みは(2I + 1)(2J + 1)である。 しかし、分子にも分母の全ての項にも同じ係数(2I + 1)が存在するため、上下で相殺されることになり、この式は(8.4.18)のようになります。 したがって、ボルツマン方程式を扱う上で、ほとんどの場合、原子が核スピンを持っているかどうかを気にする必要はなく、式中の各水準の統計的な重みは、通常は \((2J + 1)\) と捉えて問題ない。

式中では、水準 \(j) の原子数とすべての水準の原子数とを比較している。 また、レベル(2)の原子数とレベル(1)の原子数との比較も可能です。

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