Abelianグループ

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この記事は群論における基本的な定義に関するものです。 ただし、記事本文には高度な内容が含まれることがあります。
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この記事は、極めて重要な（すなわち, 655>View a list of pivotal group properties | View a complete list of group properties

歴史

用語の由来

アーベル群という言葉は、数学者Niels Henrick Abelが五式の不解を証明するために、形式論以前の群について研究したことから由来している。

アベルという単語は通常小さなaで始まります。

wikinote: このウィキの古いコンテンツでは、アベルのために大文字のAを使っています。

定義

アーベル群とは、任意の2つの要素が交換する群のことです。 記号で言えば、G における任意の要素 x と y に対して、 xy = yx (ここで xy は G における x と y の積を表す) なら、その群 は abelian と呼ばれます。 なお、x,yは等しいことが許されるが、等しい要素はいずれにせよ交換されるので、不等間隔の要素に注意を限定したい場合は、このようにすればよい。

完全定義

abelian groupとは、(infix) binary operation + (addition or group operationという)、 identity element 0、 (prefix) unary operation - (inverse map or negation mapという)を備え、以下を満足する集合 G のことである。

  • G” src=”https://groupprops.subwiki.org/w/images/math/f/0/b/f0b9ba5320b943fbe1dca7d02c48a04d.png” class=”alignleft”> の任意の a,b,c \ に対して <img alt= を満たす。 この性質を連想性という。
  • 任意のa \in Gに対して、a + 0 = 0 + a = aである。 0 このように、加法的恒等式要素または中性要素の役割を果たします。
  • 任意のa \in Gに対して、a + (-a) = (-a) + a = 0となります。 したがって、-aは+に関してaの逆元である。
  • 任意のa,b \in Gに対して、a + b = b + aである。 この性質を可換性という。

Equivalent formulations

群Gは次の等式を満たすとき abelian と呼ばれる。

  • その中心 Z(G) は全群である。
  • その派生部分群 G' = はトリビアルである。
  • (G の生成集合 S を選ぶ)。 任意の要素a,b \in Sに対して、ab = ba.
  • The diagonal subgroup { (g,g) \mid g \in G} is a normal subgroup inside G \times G…
  • （Gの生合成集合を選ぶ）。

表記

Gが abelian group であるとき、通常、additive notation と terminology を使用します。 したがって、群の乗算は加算と呼ばれ、2つの要素の積は和と呼ばれる。

  1. 群の乗算には、劣等演算子+が使われるので、二つの要素aとbの和はa + bで表される。 群の乗算を加算といい、2つの要素の積を和という。
  2. 恒等式は通常0と表し、ゼロと呼ぶ
  3. 要素の逆はその負または加法逆と呼ぶ。 a の逆元は -a
  4. a + a + \ldots + a を n 回行ったものは na と表記される。 (ここで n \mathbb{N}) while (-a) + (-a) + (-a) + \ldots + (-a) done n times is denoted (-n)a.

この表記は、アベリアン群 G を、アベリアン群ではない群の部分群としてではなく、単独で扱う場合によく行われます。

Examples

VIEW: この特性を満たすグループ｜この特性に不満なグループ
VIEW: Related group property satisfactions | related group property dissatisfactions

Some infinite examples

The additive group of integers Mathb{Z}, the additive group of rational number Mathbb{Q}, Abelian groupの例として、実数の加法群、非零実数の乗法群、R}^*などがあります。

（より一般的には、任意のフィールドについて、加法群、および非ゼロ要素の乗法群は、Abelian groupです）

有限例

巡回群はAbelian groupの良い例で、順序nの巡回群はnモジュロの整数群であり、これは “integer of modulo(整数群) “です。

さらに、環状群の任意の直積もまた abelian group である。 さらに、すべての有限生成アーベル群はこの方法で得られる。 これは有限生成のアーベル群に対する有名な構造定理である。

構造定理は、ここで説明するように、有限アーベル群の完全なリストを生成するために使用できる： 分類 of finite abelian groups.

非例

すべての群がアーベルであるわけではない。 最小の非アベリアン群は3文字上の対称群、つまり3文字上のすべての並べ換えの群であり、合成のもとでのものです。

事実

部分群としての出現

すべての環状群は abelian である。 各群はその環状部分群によって生成されるので、すべての群は abelian 部分群の族によって生成される。 もっと厄介な問題は、abelian normal subgroupsは存在するのか、ということです。 9612>

Occurrence as quotients

任意の群の最大 abelian quotient はその abelianization と呼ばれ、これは派生亜群による商である。 ある部分群が派生部分群を含む場合に限り、その部分群はabelian-quotient部分群（abelian quotient群を持つ正規群）である。

Metaproperties

abelianness is subgroup-closed

Metaproperty name Satisfied? Proof Statement with symbols
varietal group property Yes abelian groups のコレクションは、various of groups の subvariety を形成しています。 特に、部分群、商を取ることで閉じている。 と任意の直積
subgroup-closed group property Yes If G is an abelian group and H is a subgroup of G, then H is abelian.
quotient-closed group property Yes abelianness is quotient-closed G is an abelian group and H is a normal subgroup of G, the quotient group G/H is abelian.
直積閉群の性質 あり abelianness は直積閉群 G_i, i \in I, is abelian groupsであると仮定する。 すると、外部直積Θprod_{i \in I} G_iもabelianである。

他の性質との関係

より強い性質

性質 意味 含意度の証明 厳密さの証明（逆含意度の失敗） 中間概念 比較
cyclic group generated by one element cyclic implies abelian abelian not implies cyclic (see also list of examples) Epabelian group, 局所巡回群, 残留巡回群|FULL LIST, MORE INFO
同型巡回群の直積 (例のリストも参照) |FULL LIST, MORE INFO
残存環状群 すべての非同一要素は環状商群を持つ正規部分群の外にある （リストの例も参照） |FULL LIST。 詳細
局所巡回群 有限生成部分群はすべて巡回する (例リストも参照) Epabelian group|FULL LIST。 MORE INFO
epabelian group abelian group whose exterior square is trivial group (see also list of examples ) |FULL LIST, MORE INFO
有限剰余群 abelian and a finite group (see also list of examples ) {FULL LIST, MORE INFO
有限生成 abelian group abelian と有限生成 group (see also list of examples) Residually cyclic group|FULL LIST.LIST, MORE INFO

弱い性質

は、そのようなグループです。 詳細

性質 意味 含意証明 厳密性の証明（逆暗号化失敗） 中間概念
nilpotent group lower central seriesがidentityに到達。 upper central series reaches whole group abelian implies nilpotent nilpotent not implies abelian (see also list of examples) class equal maximum subnormal depth.このグループ内では、abelianはnilpotentである。 ニルポテンシー3級群、ニルポテンシー2級群、交叉写像が2級を与える交互バイホモモフィズムの倍であるニルポテンシー2級群、UL等価群|FULL LIST, 詳細
可解群 派生級数が恒等式に達し、エーベリアン因子群との正規級数を持つ エーベリアンは可解を暗示する 可解はエーベリアンを暗示しない （例のリストも参照） メタベリアン群, メタニルポテント群, ニルポテント群|FULL LIST, MORE INFO
メタベル群 abelian normal subgroup with abelian quotient group (see also list of examples) Group of nilpotency class 2|FULL LIST。 詳細情報
事実上の abelian 集団は有限インデックスの abelian サブグループを持つ (例のリストも参照) FZ-group|FULL LIST.LO.LO.LO.LO.LO.LO.LO.LO.LO.LO.LO.LO.LO.LO.LO.LO.LO, MORE INFO
FZ-グループ center has finite index (see also list of examples |FULL LIST.) FZ-グループ center has finite index (see also list of examples … )
FC-群 すべての共役クラスは有限 (例のリストも参照) FZ-群, 有限派生部分群を持つ群|FULL LIST, MORE INFO

Incomparable properties

  • Supersolvable group とは、連続する商群がすべて巡回群である正規系列を持つ群のことである。 abelian group is supersolvable if and only if it is finitely generated.
  • polycyclic group is a group that have a subnormal series where all the successive quotent groups are cyclic groups.
  • Polycyclic group is a group that have a subnormal series where all successive quotent groups are cyclic group.All the following quotent individuals in the finitely generated. また、多環式群は有限生成である場合に限り、多環式である。

正規化

対角二乗演算子

この性質に対角二乗演算子を適用することで得られる。 normal subgroup
View other properties obtained by applying the diagonal-in-square operator

群Gは、外部直積G \times Gにおいて、対角部分群{ (g,g) \mid g \in G \}が正常部分群である場合にのみ abelian group であるとする。

テスト

テスト問題

さらに詳しい情報。 Abelianness testing problem

abelianness testing problemとは、あるグループ（グループのエンコーディングやグループのマルチエンコーディングなど、何らかのグループ記述規則を用いて記述される）がabelianかどうかをテストする問題である。

エーベリアン性検定問題のアルゴリズムは、エーベリアン性検定のためのブルートフォース・ブラックボックス群アルゴリズム（これは、要素のすべてのペアについてそれらが交わるかどうかを検定し、群の順序に2次的である）からエーベリアン性検定のための生成集合ベースのブラックボックス群アルゴリズム（これは生成集合上でのみ検定し、生成集合のサイズに2次的である）までの範囲とする。

GAP command

このグループの特性は Groups, Algorithms, Programming (GAP) の組み込み機能を使ってテストできる。
このグループの特性に対する GAP コマンドは次の通り： IsAbelian
この特性を持つすべてのグループのクラスは組み込みコマンドで参照することができる。 AbelianGroups
View GAP-testable group properties

グループが abelian かどうかをテストするには、GAP シンタックスは次のようになります:

IsAbelian (group)

ここで group はグループを定義するか、以前に定義したグループへの名前を提供します。

この概念の研究

数学の科目分類

数学の科目分類では、この概念の研究は、クラスに属します。 20K

教科書の参考文献

本 ページ番号 章と節 状況情報 表示
Abstract Algebra by David S.Dummit and Richard M. Foote, 10桁 ISBN 0471433349, 13桁 ISBN 978-0471433347詳細 17 正式定義（群の一般定義におけるポイント（2）としての定義）
群と表象 by Jonathan Lazare Alperin and Rowen B. Bell, ISBN 0387945261詳細はこちら 2 1.1 (Rudiments of Group Theory/Review) 定義はパラグラフで紹介されています Google Books
Algebra by Michael Artin, ISBN 0130047635, 13桁 ISBN 978-0130047632詳細 42 パラグラフで紹介されている定義（群の定義の直後）
トピックス イン アルジェブラ by I． N. Herstein 詳細 28 正式な定義
A Course in the Theory of Groups by Derek J. S. Robinson, ISBN 0387944613More info 2 1.1 (二項演算、半群、群) 正式定義 Google Books
Finite Group Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) by Michael Aschbacher, ISBN 0521786754詳細 1 1.1 (Elementary group theory) 段落で紹介した定義 Google Books

定義リンク