Apollonius of Perga

楕円（緑の斜線）はApolloniusが研究し名付けた円錐曲線の一つであった。

楕円、放物線、双曲線に現在知られている名前を付けたのはアポロニウスでした。 また、惑星の見かけの運動や月の速度の変化を説明するための偏心軌道、デフィセント、エピシクルの仮説も彼のものとされています。 アポロニウスの定理は、正しいパラメータが与えられれば、2つのモデルが等価になりうることを示したものである。 プトレマイオスはこの定理を『アルマゲスト』12.1章に記している。 アポロニウスはまた、イプシロン(ε)と名付けた月説を研究した。 7505>

生涯と主な業績

アポロニウスは紀元前262年頃に生まれ、アルキメデスより25年ほど後であった。 プトレマイオス・エウエルゲテス、プトレマイオス・フィロパトル（紀元前247-205年）の時代に活躍した。 円錐に関する論文により「偉大な幾何学者」と呼ばれ、その名声は確固たるものとなった

彼の論文のうち、現存するのは円錐論のみである。 他の論文については、後世の作家、特にパッポスのおかげで、歴史家はタイトルとその内容をある程度知ることができる。 8冊の『コニックス』初版の後、ペルガモン出身のエウデモスの提案により、アポロニウスは第2版を出版した。 最初の3冊を改訂する際、アポロニウスはエウデモスにコピーを送ったが、最も大きな変更は最初の2冊であった。 エウデモスは残りの改訂を終える前に亡くなったので、アポロニウスは最後の5冊をアッタロス1世（紀元前241-197年）に献呈した。

13世紀のラテン語訳の断片が発見されているが、1661年にGiovanni Alfonso BorelliとAbraham Ecchellensisが5-7巻をラテン語に訳した。 彼らはフィレンツェ写本に残るイスパハンのアブ・ル・ファトの983年のアラビア語版を使用したが、現在ではほとんどの学者が、1-4巻はヒラル・イブン・アビ・ヒラル、5-7巻はタービト・ビン・クーラのものが最良のアラビア語訳であると認めている

アポロニウスは純粋数学に関心があった。 彼は『二項式』第4巻のいくつかの定理の有用性について問われたとき、「それらは、数学の他の多くのものをこれ以外の理由で受け入れないのと同じように、実証そのもののために受け入れる価値がある」と誇らしげに断言したのであった。 そして、彼の成果の多くは当時の科学や工学には応用できないので、アポロニウスはさらに『円錐学』第5巻の序文で、「このテーマは、それ自身のために研究する価値があると思われるものの一つである」と主張したのである。「

Conics

アポロニウスは、第1～4巻において、第1巻で示された曲線の生成とその基本的性質を、以前の論考よりも十分に研究し、第3巻と第4巻の大部分にある多くの定理が新しいものであると述べている。 ユークリッドの『円錐に関する四書』など先行する著作への言及は、ユークリッドだけでなくコノンやニコテレスへの恩義も示している

アポロニウスの取り扱いの一般性は注目に値する。 彼は円錐曲線、放物線、楕円、双曲線を定義し命名している。 彼はこれらの曲線のそれぞれを、斜めの軸、たとえば直径とその極点での接線からなる軸に適用される方程式（後にデカルト方程式と呼ばれる）に相当する基本的な円錐の性質とみなしているのである。 (斜円錐とは、軸が直交座標軸と90度の角度を成していない円錐のことです。 一方、直円錐とは、軸が直交座標軸と90度の角度を成すものである)。 円錐の切り方は問題ではない、と彼は断言する。 そして、基本的な円錐の性質は、どんな新しい直径とその極点での接線についても、同じ形で表現できることを示した上で、斜めの軸は特殊なケースに過ぎないことを示すのである。 7505>

アポローニウスの天才は第5巻で最大になる。 ここでは、数学的法線（法線とは、曲面や他の直線に垂直に引いた直線のこと）を、与えられた点から曲線に引いた最小・最大の直線として扱い（接線の性質とは無関係）、特定の点からいくつの法線を引くことができるか論じ、その足を構成によって求め、任意の点での曲率中心を決定し、また任意の円錐断面の展開図の直交方程式を導き出す命題を与えている。

『二次曲線』では、アポロニウスはさらに解析幾何学に近い方法を開発し、彼の仕事はデカルトの仕事を1800年ほど先取りしていると見なされることもある。 また、直径や接線などの基準線を用いた手法は、現代の座標系と基本的に同じである。 しかし、現代の解析幾何学とは異なり、負の大きさを考慮に入れていない。 また、曲線が得られた後に、それぞれの曲線に座標系を重ね合わせた。 7505>

その他の作品

PappusはApolloniusの他の論考に言及している。 これらはそれぞれ2冊の本に分かれており、ユークリッドの「データ」「ポーリズム」「表面軌跡」、アポロニウスの「円錐」とともに、パッポスによれば、古代の解析の本体に含まれていたのである。

De Rationis Sectione

De Rationis Sectione（比の切断）は、二つの直線とそれぞれの中に一点があるとき、その中の与えられた点とこの第三直線との交点との間で切断された部分が与えられた比を持つように、二つの固定直線の切断線を第三与えられた点を通して引くという問題を解決しようとしたものである。

De Spatii Sectione

De Spatii Sectione (Cutting of an Area) では、二つの切片が含む長方形が与えられた長方形に等しいことを要求する同様の問題を論じている。

De Sectione Determinata

De Sectione Determinata (Determinate Section)では、一次元の解析幾何学ともいうべき、直線上の点が他の点と比をなしていることを求める問題を扱った。 具体的な問題としては 直線上の2点、3点、4点が与えられたとき、与えられた点からの距離が、1点上の正方形または2点が含む長方形が、残りの1点上の正方形または残りの2点が含む長方形と、残りの1点と与えられた別の直線とが含む長方形の、いずれかの比率を満たすような別の点を見つけよ、というものである。

De Tactionibus

De Tactionibus (Tangencies) は、3つのもの（点、直線、円）が配置されているとき、与えられた点を通り、与えられた直線または円に接する円を記述するという一般問題を取り上げたものである。 最も難しく、歴史的にも興味深いのは、与えられた3つのものが円である場合である。 16世紀、ヴィエタはこの問題（アポロン問題とも呼ばれる）をアドリアヌス・ローマヌスに提示し、彼は双曲線を用いてこの問題を解いた。 7505>

De Inclinationibus

De Inclinationibus（傾斜法）の目的は、与えられた点に向かって伸びるある長さの直線が、与えられた（直線または円形の）二つの線の間にいかに挿入できるかを示すことであった。

De Locis Planis

De Locis Planis（Plane Loci）は、直線または円である軌跡に関する命題を集めたもので、

Legacy

Apolloniusの作品は「大幾何学者」として、数学の発展に大きな影響を与えました。 彼の有名な著書『円錐』では、放物線、楕円、双曲線という言葉が紹介されている。 また、惑星の見かけ上の動きや月の速度の変化を説明するために、偏心軌道の仮説を考え出した。 さらに数学の分野にも貢献し、正しいパラメータがあれば2つのモデルが等価になることを示したアポロニウスの定理がある。

注

• Boyer, Carl B. A History of Mathematics. ジョン・ワイリー&・サンズ、1991年。 ISBN 978-0471543977
• Fried, Michael N. and Sabetai Unguru. ペルガのアポロニウス『コニカ』: テキスト、コンテクスト、サブテキスト. Brill, 2001. ISBN 978-9004119779
• Heath, T.L. Treatise on Conic Sections. W. Heffer & Sons, 1961.

All links retrieved April 8, 2016.

• Apollonius of Perga. www-groups.dcs.st-and.ac.jp.Online.jp. Apollonius Summary.
• Apollonius’ Tangency Problem, Circles. agutie.homestead.com.
• Heiberg 版 Apollonius of Perga の円錐曲線の PDF スキャン（パブリックドメイン）. www.wilbourhall.org.