Betweenness centrality

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Percolation centralityはweighted betweenness centralityのバージョンですが、この重みを計算する際に各最短パスのソースとターゲットのノードの「状態」を考慮します。 複雑なネットワークでは、様々な場面で「伝染」のパーコレーションが発生します。 例えば、ウイルスやバクテリアの感染は、接触ネットワークと呼ばれる人々の社会的ネットワーク上で広がることがある。 また、病気の広がりは、道路、鉄道、航空網で結ばれた町や人口の中心地のネットワークを考えることによって、より抽象度の高いレベルで考えることができる。 コンピュータ・ウイルスは、コンピュータ・ネットワークを通じて広がることができます。 ビジネスのオファーや取引に関する噂やニュースも、人々のソーシャルネットワークを通じて広まる可能性があります。 これらのシナリオのすべてにおいて、「伝染病」は複雑なネットワークのリンク上に広がり、広がりながらノードの「状態」を回復可能かどうかにかかわらず変化させる。 例えば、疫学的なシナリオでは、感染が広がると、個人は「感受性」の状態から「感染」の状態に移行する。 上記の例で個々のノードが取り得る状態は、伝染が広がるにつれて、二値（ニュースを受け取った／受け取っていないなど）、離散（感受性／感染／回復）、あるいは連続（町内の感染者の割合など）である可能性もある。 これらのシナリオに共通する特徴は、伝染の拡大によりネットワーク上のノードの状態が変化することである。 この点に着目して提案されたのがパーコレーション中心性（PC）であり、ネットワークを介してのパーコレーションを助けるという観点から、ノードの重要度を具体的に測定するものである。 この指標はPiraveenanらによって提案された。

パーコレーション中心性は、与えられたノードについて、与えられた時間に、そのノードを通る「パーコレーションされたパス」の割合として定義される。 percolated path」とは、ソースノードがpercolated (例えば、感染) である一対のノード間の最短パスのことです。 ターゲットノードはパーコレーションされているか、非パーコレーションされているか、または部分的にパーコレーションされた状態であることができる。

P C t ( v ) = 1 N – 2 ∑ s ≠ v ≠ r σ r ( v ) σ r x t s ∑ x t v {displaystyle PC^{t}(v)={frac {1}{N->}}sum _{sneq v}}{frac {}sigma _{sr}(v)}{sigma _{sr}}}{frac {{x^{t}}_{s}{sum {}-{x^{t}}_{v}}}} {{sum _{sum}}{x^{t}}}} {{v}}} {{sum _{sr}}}} {{x^{t}}}}

PC^t(v)= \frac{1}{N-2}sum_{s \neq v }{sigma_{sr}(v)}{sum {}-{x^t}_v}

where σ s r {displaystyle \sigma _{sr}} } σσσ s r { displaystyle σσ_sr} σσ_sigma_{sr}} { displaystyle σ_sigma_{sr} { displaystyle σ_sr} σ_sum {}-{sigma_{sr}_{sr

sigma_{sr}

is total number of shortest paths from node s {displaystyle s} {3485> is total number of shortest paths from node s {3485> is not found.

s

からノードr {displaystyle r} まで。

r

and σ s r ( v ) {displaystyle \sigma _{sr}(v) } }.

sigma_{sr}(v)

は v {displaystyle v}

v

を通過する経路の数である． ノードiのパーコレーション状態{ {displaystyle i}

v

は

i

時刻t{displaystyle t}における

t

は、x t i {displaystyle {x^{t}}_{i}} で示される。

{x^t}_i

と2つの特別な場合、x t i = 0 {displaystyle {x^{t}}_{i}=0} のときである。

{x^t}_i=0

これは時刻tにおける非パーコレーション状態{displaystyle t}を示す。

t

一方、x t i = 1 {displaystyle {x^{t}}_{i}=1} の場合は、以下のようになります。

{x^t}_i=1

これは、時刻tにおける完全パーコレーション状態{displaystyle t}を表しています。

t

. その間の値は部分的に浸透した状態を示す（例えば、町村のネットワークでは、これはその町での感染者の割合となる）。

パーコレーション経路に付けられた重みはソースノードに割り当てられたパーコレーションレベルに依存し、ソースノードのパーコレーションレベルが高いほど、そのノードから出発する経路の重要性が高くなるという前提に基づく。 したがって、パーコレーションレベルの高いノードを起点とする最短パス上にあるノードは、パーコレーションにとってより重要である可能性がある。 PCの定義は、ターゲットノードの重みも含めるように拡張することができる。 パーコレーション中心性の計算はO ( N M ) {displaystyle O(NM)} で実行されます。

O(NM)

time with an efficient implementation adopted from Brandes’ fast algorithm and if the calculation needs to consider target nodes weights, worst case time is O ( N 3 ) {displaystyle O(N^{3})}} ⁾⁾。

O(N^{3})