Brahmagupta
AlgebraEdit
Brahmagupta は Brahmasphutasiddhānta の第18章で一般線形方程式の解を与えた、
ルパ間の差を反転し未知数の差で割ると方程式の中の未知数となる。 ルパは二乗と未知数を引いた値以下である。
これは方程式bx + c = dx + eの解であり、ルパは定数cとeを指す。 ルパの平方根に2乗を4倍したものを真ん中で減らして、真ん中の2乗で増やし、余りを2乗で割ればよい
それぞれ、方程式 ax2 + bx = c の解は、
x = ± 4 a c + b 2 – b 2 a {displaystyle x={Chefrac {pm {}sqrt {4ac+b^{2}}-b}{2a}} と等価であるとします。｝
and
x = ± a c + b 2 4 – b 2 a {displaystyle x={frac {pm {}sqrt {ac+{thetfrac {b^{2}}}{4}}-{thetfrac {b}{2}}}{a}}}
He went on to solve systems of simultaneous indeterminate equations that must be isolated first desired variable, then the equation must be divided by desired variable’s coefficient.He said said the way to the system of simplinate equations, and they’re using the same variable, and they’re using the equation. 特に、複数の未知数を持つ方程式を解くために「粉砕機」を使うことを推奨しています。
18.51. 最初の色と異なる色を引き算する。1番で割ったものが1番の尺度である。2番で割ったものは似たような約数を考え、それを繰り返す。 が多い場合、粉砕機.
ディオファントスの代数と同様に、ブラフマグプタの代数はシンコペートされていた。 足し算は数字を横に並べることで示し、引き算は下辺に点を置き、割り算は配当の下に除数を置くことで、我々の表記法と似ているがバーはない。 掛け算、繰り上がり、未知数などは適切な用語の略語で表現された。 7253>
ArithmeticEdit
4つの基本操作（加算、減算、乗算、除算）はBrahmagupta以前の多くの文化に知られていた。 この現在のシステムはヒンズー教のアラビア数字システムをベースにしており、Brahmasphutasiddhantaに初めて登場した。 ブラフマグプタは、掛け算をこのように説明している。「乗法は、牛の糸のように、被乗法に積分部分がある限り何度も繰り返され、それらと乗算を繰り返し、積を足し合わせていくものである。 それが乗法である。 あるいは、被乗数は被乗数の中にある積分部分の数だけ繰り返される」。 インドの算術は、中世ヨーロッパでは、インド人の方法という意味の「モーダス・インドルム」と呼ばれていた。 ブラフマスフタシッダンタでは、乗法は「ゴムトリカ」と名付けられた。 ブラフマグプタの『ブラフマス・フタシッダーンタ』の第12章「計算」の冒頭で、分数の演算について詳述されている。 整数の立方体や立方根の求め方を説明し、後に平方や平方根の計算を容易にする規則を与えているが、読者は平方根を取るまでの基本的な算術の操作を知っていることが期待される。 そして、a/c + b/c, a/c × b/d, a/1 + b/d, a/c + b/d × a/c = a(d + b)/cd, a/c – b/d × a/c = a(d – b)/cd という5種類の分数の組み合わせの扱い方の規則を示している。
SeriesEdit
Brahmagupta は次に最初のn個の整数の平方と立方体の和を与える
12.20. 平方和は、1増加したステップの2倍をかけたものを3で割ったものである。 立方体の和はその二乗である。同一の球を持つこれらの山。
ここでBrahmaguptaは現代の慣習であるnの観点ではなく、最初のn個の整数の和の観点から結果を見つけた。
彼は最初のn個の自然数の2乗の和をn(n + 1)(2n + 1)/6、最初のn個の自然数の3乗の和を (n(n + 1)/2)2
として与えている。
ZeroEdit
ブラマグプタのBrahmasphuṭasiddhāntaは、0と負の数に適用する算術操作の規則を示した最初の本である。 ブラフマスフタシッダは、バビロニアで行われていたような他の数を表すための単なる代用数字としてではなく、またプトレマイオスやローマで行われていたような量の不足を表す記号としてではなく、ゼロをそれ自体として扱った最も初期のテキストである。 ブラフマグプタは『ブラフマスフタシッダーンタ』の第18章で、負の数の演算について述べている。 2つの正の数は正の数、2つの負の数は負の数であり、正と負の数はその差であり、それらが等しければ0である。 マイナスとゼロの和はマイナス、プラスとゼロの和はプラス、2つのゼロの和はゼロです。 マイナスゼロはマイナス、プラスはプラス、ゼロはゼロです。 プラスからマイナス、プラスからマイナスを引くときは、足すことになる」
続いて掛け算について、
18.33と述べている。 負と正の積は負、二つの負の積は正、正の積は正である。ゼロと負、ゼロと正、二つのゼロの積はゼロである」
しかしゼロによる分割についての彼の記述は現代の理解とは異なる：
18.34.正と負の積は正、負の積は正、正は負、ゼロは正である。 正を正で割ったもの，負を負で割ったものは正であり，0を0で割ったものは0であり，正を負で割ったものは負であり，負を正で割ったものは負である
18.35。 マイナスまたはプラスをゼロで割ったものは、それを除数とし、ゼロをマイナスまたはプラスで割ったものは、マイナスまたはプラスである。 負または正の二乗は正であり、ゼロの二乗はゼロである。 7253>
ここでブラマグプタは0/0=0とし、a≠0とするa/0の問題については、彼は自らをコミットしていない。 彼の負の数と0に関する算術の規則は、現代の数学で0による除算が未定義のままであることを除けば、現代の理解に極めて近い。
Diophantine analysis 編集
Pythagorean triplets 編集
Brahmasphutasiddhantaの12章で、ブラマグプタはピタゴラスの三角形を生成するのに都合のよい公式を示している：
12.39. 山の高さに所定の倍率を掛けたものが都市までの距離であり、それは消去されることはない。 それを2倍にした倍率で割ると、同じ旅をする2人のうちの1人の跳躍となる。
言い換えれば、d=mx/x+2ならば、高さmの山の頂上から垂直方向に距離dだけ「跳躍」して、山の麓から水平距離mxの都市まで直線的に移動する旅人は、山を垂直方向に降りてから都市まで水平方向に移動する旅人と同じ距離を移動することになります。 幾何学的に言えば、直角三角形の底辺の長さがa＝mx、高さの長さがb＝m＋dであれば、その斜辺の長さcはc＝m（1＋x）-dで与えられるということである。 また、mとxが有理数なら、d、a、b、cも有理数である。したがって、ピタゴラス3連は、a、b、cにそれぞれ分母の最小公倍数を掛けることによって得られる。
ペル方程式編集
ブラマグプタはさらに、Nx2 + 1 = y2（ペル方程式）のような2次のディオファントス方程式のある例について、ユークリッドアルゴリズムを用いて解を生成する再帰関係式を与えている。 ユークリッド・アルゴリズムは、数をどんどん小さくしていくので、彼には「粉砕機」と呼ばれていた。
正方形の性質：
18.64. ある正方形の平方根の2倍に乗数をかけて任意の値で増減させる. の積に乗数を掛けたものを、最後に計算したものです。
18.65. カミナリ積の和は1番目です。 加積は加積の積に等しい。 加算器または減算器で割った2つの平方根が加算器ルパである。
彼の解答の鍵は恒等式であった。
( x 1 2 – N y 1 2 ) ( x 2 – N y 2 2 ) = ( x 1 x 2 + N y 1 y 2 ) 2 – N ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 {displaystyle (x_{1}^{2}-, N y 2 y 1)Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}}
これはDiophantusによって発見された恒等式を一般化したものである。
( x 1 2 – y 1 2 ) ( x 2 – y 2 2 ) = ( x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 – ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 . {\displaystyle (x_{1}^{2}-y_{1}^{2})(x_{2}^{2}-y_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.}
自分の恒等式と、(x1, y1), (x2, y2) がそれぞれ x2 – Ny2 = k1, x2 – Ny2 = k2 という方程式の解ならば、 (x1x2 + Ny1y2, x1y2 + x2y1) は x2 – Ny2 = k1k2 の解であるという事実から、 x2 – Ny2 = kiという形式の一連の方程式を通してPell方程式の積分解が求められるのでした。 Brahmagupta は、N のすべての値に対して一様に解を適用することはできず、むしろ、k = ±1, ±2, ±4 に対して x2 – Ny2 = k が整数解を持つとき、x2 – Ny2 = 1 が解を持つことを示すことができただけであった。 一般的なペル方程式の解は、1150年頃のBhaskara IIを待たなければならない。
GeometryEdit
Brahmaguptaの公式Edit
Brahmagupta の幾何学における最も有名な結果は、環状の四角形に関する公式である。 任意の環状四辺形の辺の長さを与えると、ブラマグプタはその図形の面積
12.21 の近似式と正確な公式を与えた。 近似面積は、三角形と四角形の辺と対辺の和の半分の積である。 正確には、四辺形の辺の和を半分にした積の平方根です。
ですから、環状の四辺形の長さp、q、r、sを与えると、近似面積はp + r/2 – q + s/2で、t = p + q + r + s/2とすると、正確面積は
√(t – p)(t – q)(t – r)(t – s)になるのです。
ブラマグプタはこれらの四角形が環状であることを明示していないが、彼の規則から明らかである。 ヘロンの公式はこの公式の特殊な例であり、辺の1つを0にすることで導き出すことができる。 ある定理は、三角形の底辺がその高度によって分けられる2つのセグメントの長さを与えている：
12.22. 底辺は辺の二乗を底辺で割った差で増減し、2で割ったものが真の線分となる。 垂直はそのセグメントの2乗で減少した辺の2乗からの平方根である。
したがって、2つのセグメントの長さは1/2(b ± c2 – a2/b)となる。
彼はさらに有理三角形に関する定理を与えている。 有理辺a,b,cと有理面積を持つ三角形は次のような形である。
a = 1 2 ( u 2 v + v ) , b = 1 2 ( u 2 w + w ) , c = 1 2 ( u 2 v – v + u 2 w – w ) {displaystyle a={http {1}{2}} left({http {u^{2}}}+vttp {right),\ b={frac {1}{2}} alleft({}frac {u^{2}}{w}}+w}right),\ c={frac {1}{2}}left({}frac {u^{2}}{v}-v+{frac {u^{2}}{w}}-wright)}.
.
Brahmaguptaの定理編集
Brahmagupta,
12.23 と続く。 不等辺四辺形の辺と対辺の2積の和の平方根が対角である。 対角線の二乗は底辺と頂点の和の半分の二乗で減少し、平方根は垂直.
つまり、「非等辺」環状四辺形（つまり二等辺三角形）では、各対角線の長さは√pr + qsとなるわけです。
さらに、二等辺三角形や正四角形の円周率、正四角形の対角線の長さなど、幾何学図形の長さや面積の公式を与えている。 これはブラマグプタの有名な定理
12.30-31 につながっている。 不等辺の2つの三角形を想像すると、2つの対角線は2つの底辺である。 その2つの線分は対角線の交点で別々に上下の線分となる。 2つの対角線のうちの2つは、三角形の中の2つの辺であり、底辺. その垂直は垂直の下部であり、垂直の上部は垂直の和の半分を下部.
PiEdit
40節で、π、
12.40 の値を与えている。 直径と半径の2乗を3倍したものが、実質的な円周と面積． 正確には、その2つの2乗を10倍した平方根である。
そこでBrahmaguptaはπの「実用」値として3を用い、10≒3.1622・・・{displaystyle {sqrt {10}}approx 3.1622 }を用いた。
をπの「正確な」値とした。 この「正確な」値の誤差は1％未満であった。
測定と構成Edit
40節以前のいくつかの節で、ブラフマグプタは任意の辺を持つ様々な図形の構成を与えている。 7253>
πの値を与えた後、体積や表面積（または固体から掘り出された空のスペース）を求めるなど、平面図形や立体の幾何学を扱います。 直方体やピラミッドの体積、四角錐の錐体積を求める。 さらに、一連の穴の平均的な深さを求めます。 ピラミッドの錐体の体積については、深さに上面と下面の辺の平均の2乗をかけたものを「実用的」な値として与え、深さに平均面積をかけたものを「表面的」な体積として与えています。
TrigonometryEdit
Sine tableEdit
Brahmasphutasiddhantaの第2章、Planetary True Longitudesというタイトルで、Brahmaguptaはsine table:
2.2-5 を提示する。 サインは 原始人、双子、大熊座、双子、ヴェーダ、神々、火、6、味、サイコロ、神々、月、5、空、月、矢、太陽
ここでブラマグプタは、サンスクリットの論文で数値データによく見られるように、場所の数値の数字を表すために物の名前を使っています。 Progenitorsはインド宇宙論の14人の祖先（「Manu」）、「twin」は2、「Ursa Major」は大熊座の7つの星、「Vedas」は4つのVedas、「dice」は伝承ダイスの面の数、6、などという意味である。 この情報は、214、427、638、846、1051、1251、1446、1635、1817、1991、2156、2312、1459、2594、2719、2832、2933、3021、3096、3159、3207、3242、3263、3270というサインリストに変換でき、半径は3270である
補間公式編集
665年、ブラマグプタはニュートン・スターリングの2次補間公式の特殊なケースを考案し、すでに表されている他の値から新しいサイン関数の値を補間するために使用した。 この公式は、関数fの値がa-h、a、a＋hで既に知られているとき、その引数の値a＋xh（h＜880＞0、-1≦x≦1）における値の推定値を与える。
推定値の式は次の通りです：
f ( a + x h ) ≈ f ( a ) + x Δ f ( a ) + Δ f ( a – h ) 2 + x 2 Δ 2 f ( a – h ) 2 ! {displaystyle f(a+xh)\approx f(a)+x{ {frac {}Delta f(a)+}Delta f(a-h)}{2}}+x^{2}{frac {}Delta ^{2}f(a-h)}{2!}}.}.}.
.