Topological analog signal processing

次に、関連する伝達行列M1、M2を導出すると、

となり、

格子定数aの単位セル内で2つの散乱体が距離dだけ離れている場合、単位セルMcellの全移動行列は積となる。

with

その固有値は、以下の式で与えられる( \lambda _ \pm = \alpha _{Mathrm{R}})。 \alpha _{}mathrm{I}^2 – \beta _{}mathrm{R}^2 – \beta _{}mathrm{I}^2}）は実数で、それ以外は複素数です。 これらの固有値は、パラメータβR, βI, αIが(βR, βI, αI)空間内の二重円錐に属するとき、すなわち、条件㊧(㊦-㊦)で縮退する。 この円錐は図6の下のパネルに表されている。 円錐の先端では、βR＝βI＝αI＝0となり、McellはMcell＝αRσ0に減少することを意味する。

Topology of the bands. ここで、topology of the bandsは、等高線(contours)୧⃛(๑⃙⃘◡̈๑⃙⃘)୨⃛が式20で定義される錐体の軸を横切る回数として定義する。 a トリビアル格子では、錐体の軸を横切らず、トポロジー不変量がゼロに対応。 b 系の相転移時に錐体の先端と接触するのは、等高線(contours)￠(⑅mathcal⑅c)⑅。 この場合、トポロジカル不変量は定義できない。 c パネル(a)(b)と同じだが、トポロジカル格子の場合。 この場合、輪郭㊧が円錐の軸を1回横切り、nontrivial topology

On a bandでは行列Mcellは特殊な形式を持つ。 実際、Bloch 固有値問題から見て、(2)のような形になる。 \pm isqrt { \alpha _I^2 – \left| \beta \right|^2} = e^{i,k_{the_mathrm{B}}}a}), となり、そこから

${it{alpha }}_{mathrm{R}} = {{mathrm{cos}} left( {k_{mathrm{B}}a} \right)$$

(18)

そして

$$left| \alpha \right|^2 = 1 + \left| \beta \right|^2$

(19)

implying \(\alpha _{Mathrm{I}}^2 + \alpha _{Mathrm{R}}^2 = 1 + \left| \beta \right|^2), となり、 \alpha _{mathrm{I}}^2 = {}mathrm{sin}}^2(k_{mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2} と同じになります。 or

${Θit{alpha }}_{mathrm{I}} = \sqrt {{Θmathrm{sin}^2({Θit{k}}_{Θmathrm{B}}{it{a}}) + \left| \beta \right|^2}.$$

(20)

On a band, therefore we have

$$M_{{Cell}} = \left( {}begin{array}{*{20}{c}}} {}$M{{Mathem{Cell}} {*{Mathem{Cell}}} {*{Mathem{Cell}} {*{Mathem{Cell}} {*{Mathem{Cell}}}}) {{mathrm{cos}}(k_{mathrm{B}}a) \sqrt {{mathrm{sin}}^2(k_{mathrm{B}}a) + \left| \beta｜^2}}. } & {beta \ast }. \beta & {{mathrm{cos}}(k_{mathrm{B}}a) \mp isqrt {{mathrm{sin}^2(k_{mathrm{B}}a) + \left| \beta \right|^2} }. } \୧⃛(๑⃙⃘◡̈๑⃙⃘) \(21)

その結果、バンドはSU(1,1)行列Mcell(kB)の部分空間におけるブリルアン円から閉路への1対1写像を記述していることがわかる。 Blochの固有値問題から、M_{mathrm}{cell}}left( ˶˙ᵕ˙˶ )☝︎ e^{i,k_{mathrm{B}}a}left|˶˙ᵕ˙˶ )☝︎ e^{mathm}{cell}{cell}{b}{b}を持つSU(1,1)mathmatrix Mcell(kB)の部分空間において、円から閉じた経路を描く。 は複素固有値を持つ、つまり、(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)のようになる。すなわち、パス∕(\mathcal{C}}) は円錐の内側、上の領域 αI > ||β| か、下の領域 αI < -|β| になければならないのです。 また、Mcellの固有値、すなわちⒶ(e^{i},k_{Θmathrm{B}}a})が縮退しているときのみ、パスⒶ(Θmathcal{C})はコーンに触れることができるのである。 Brillouin zoneの端では必然的にそうなり、その中心ではkB = 0となります。 この間、時間反転対称性により、2つの異なる固有値Ⓐ（e^{ Ⓐ,k_{mathrm{B}}a} ）が求められるため、錐体に触れることができません。 最後に、Mcellはωの単純な関数であるため、帯上のkBの2つの反対値に対して同じであることから、経路∕(\mathcal{C}) はループではなく、単純な線であることがわかります。 で円錐上に乗り、kB = 0で再び円錐上に降りた後、kB = 0 と \(k_{mathrm{B}} = \frac{pi }{a}} の間で逆の経路をたどることになります。 図6aは、結晶の第3バンド（トポロジカルに “trivial “とされる、ep = 2.8cmの場合）に対する” \mathcal{C}}” contourの例であり、図6cは、トポロジカルとされるdual systemに相当するep = -2.8 cmの場合の同 contourを表す（次節で、トポロジー性を証明する）。 図6bは、バンドギャップを閉じるep = 0 cmの場合を表しています。 予想通り、すべてのケースで、輪郭は円錐で始まり、円錐で終わります。

連続する2つの周波数帯が接触する条件を調べるには、Bloch固有問題を等価な形に直すと便利です：

そして次のように考えてください。第一ブリルアン・ゾーンの各kBについて、バンドを見つけるということは、行列(e^{ – i,k_{mathrm{B}a}M_{mathrm{cell}} )が1に等しい固有値を少なくとも一つ持ち、その固有ベクトルを特定のバンド上のブロック固有ベクトルとするωの値を見つけることを意味しているのです。 これはωの値が無限にある場合に起こり得ます。 もし、ある周波数での(e^{ – i,k_{mathrm{B}}a}M_{{mathrm{cell}}}) の固有値が両方とも1に等しければ、バンド構造は二重に縮退しており、したがって、この系が許す最大の周波数縮退は1です。 また、あるバンドでの固有値の一般形は、 \upsilon _ \pm = e^{ – i,k_{ Θmathrm{B}}a}left( { Θalpha _{ Θmathrm{R}}} ) \pm isqrt {alpha _{mathrm{I}}^2 – \left| \beta \right|^2}. } \right) = e^{ – i,k_{mathrm}a}e^{ \pm i,k_{mathrm}a}), 第二固有値 \(e^{ – 2i***,k_{mathrm{B}}a}) が等しくなるのは、ブリルアンゾーンエッジ( \left( {k_{mathrm{B}} = \pm \frac{pi }{a}} )、またはkB = 0のときだけです。 その結果、バンドギャップはブリルアン ゾーンの中心か端、つまり輪郭の⽯が円錐に接するときのみ閉じることができます。

最初のケース、すなわち、(k_{Θmathrm{B}} = \pm \frac{pi }{a}}) における縮退を仮定すると、(e^{ – i,k_{Θmathrm{B}}a} = – 1Θ)が成り立ちます。 degeneracyの特定の周波数において、

そしてこの行列がidentityと等しくなるのは、 \(\left| \beta \right| = 0)のときだけである。 2番目のケースであるkB=0でのdegeneracyも同じ結論になります♪ \((left|↵right| = 0)↵)。 これは、2つのバンドが接触するとき、図6bで確認されるように、輪郭が円錐の先端に到達していることを意味します。

Topology of the bands

前のセクションで見たように、各バンドはBrillouin circleとSU(1,1) matricesの部分空間間のマッピングを定義しています。 ここで各バンドに対して位相的不変量、つまりバンド構造の連続的な変換に対して不変な整数値を定義する。

標準的なタイトバインディングSSHモデルのように、各バンドにトポロジカル不変量を定義するためには、キラル対称性のような余分な対称性が必要である。 ここでは、θ1=θ2=θ、α1,2=α1,2=α、φ1=φ2=φをとり、散乱行列S1、S2が等しいことを要求する必要があります。 この追加条件により、量♪♪♪♪♪（♪♪♪♪）は、♪♪♪♪♪（♪♪♪♪♪）となります。 \⑭）の中にある。 14で表される行列Mcellをバンド上でパラメトリックにしたものである。 は