Analytische meetkunde

Elementaire analytische meetkunde

Apollonius van Perga (ca. 262-190 v. Chr.), door zijn tijdgenoten de “Grote Geometer” genoemd, was met zijn boek Conics meer dan 1.800 jaar een voorbode van de ontwikkeling van de analytische meetkunde. Hij definieerde een kegelsnede als het snijpunt van een kegel en een vlak (zie figuur). Gebruikmakend van Euclides’ resultaten over gelijkvormige driehoeken en secansen van cirkels, vond hij een relatie waaraan voldaan wordt door de afstanden van elk punt P van een kegelsnede tot twee loodrechte lijnen, de hoofdas van de kegelsnede en de raaklijn aan een eindpunt van de as. Deze afstanden komen overeen met coördinaten van P, en de relatie tussen deze coördinaten komt overeen met een kwadratische vergelijking van de kegelsnede. Apollonius gebruikte deze relatie om fundamentele eigenschappen van kegelsneden af te leiden. Zie kegelsnede.

De verdere ontwikkeling van coördinatenstelsels (zie figuur) in de wiskunde kwam pas op gang nadat de algebra onder islamitische en Indiase wiskundigen tot volle wasdom was gekomen. (Zie wiskunde: De islamitische wereld (8e-15e eeuw) en Wiskunde, Zuid-Aziatisch). Aan het einde van de 16e eeuw introduceerde de Franse wiskundige François Viète de eerste systematische algebraïsche notatie, waarbij letters werden gebruikt om bekende en onbekende numerieke grootheden weer te geven, en hij ontwikkelde krachtige algemene methoden voor het werken met algebraïsche uitdrukkingen en het oplossen van algebraïsche vergelijkingen. Met de kracht van de algebraïsche notatie waren de wiskundigen niet langer volledig afhankelijk van meetkundige figuren en meetkundige intuïtie om problemen op te lossen. De meer gedurfde wiskundigen begonnen het standaard meetkundige denken achter zich te laten, waarin lineaire variabelen (eerste macht) overeenkwamen met lengtes, vierkanten (tweede macht) met oppervlakten, en kubieken (derde macht) met volumes, waarbij hogere machten geen “natuurkundige” interpretatie kenden. Twee Fransen, de wiskundige-filosoof René Descartes en de jurist-wiskundige Pierre de Fermat, behoorden tot de eersten die deze gewaagde stap zetten.

Descartes en Fermat stichtten onafhankelijk van elkaar de analytische meetkunde in de jaren 1630 door de algebra van Viète aan te passen aan de studie van meetkundige plaatsnamen. Zij gingen veel verder dan Viète door letters te gebruiken om afstanden weer te geven die variabel zijn in plaats van vast. Descartes gebruikte vergelijkingen om meetkundig gedefinieerde krommen te bestuderen, en hij benadrukte de noodzaak om algemene algebraïsche krommen te beschouwen-grafieken van polynomiale vergelijkingen in x en y van alle graden. Hij demonstreerde zijn methode aan de hand van een klassiek probleem: het vinden van alle punten P zodanig dat het product van de afstanden van P tot bepaalde lijnen gelijk is aan het product van de afstanden tot andere lijnen. Zie meetkunde: Cartesiaanse meetkunde.

Fermat benadrukte dat elke relatie tussen x- en y-coördinaten een kromme bepaalt (zie figuur). Met dit idee herschikte hij de argumenten van Apollonius in algebraïsche termen en herstelde hij verloren werk. Fermat gaf aan dat elke kwadratische vergelijking in x en y kan worden omgezet in de standaardvorm van een van de kegelsneden.

Fermat publiceerde zijn werk niet, en Descartes maakte zijn werk opzettelijk moeilijk leesbaar om “prutsers” te ontmoedigen. Hun ideeën werden pas algemeen aanvaard door de inspanningen van andere wiskundigen in de tweede helft van de 17e eeuw. Met name de Nederlandse wiskundige Frans van Schooten vertaalde Descartes’ geschriften van het Frans naar het Latijn. Hij voegde belangrijke toelichtingen toe, evenals de Franse jurist Florimond de Beaune en de Nederlandse wiskundige Johan de Witt. In Engeland populariseerde de wiskundige John Wallis de analytische meetkunde, waarbij hij vergelijkingen gebruikte om kegelsneden te definiëren en hun eigenschappen af te leiden. Hij gebruikte vrijelijk negatieve coördinaten, hoewel het Isaac Newton was die ondubbelzinnig twee (schuine) assen gebruikte om het vlak in vier kwadranten te verdelen, zoals in de figuur.

Analytische meetkunde had haar grootste invloed op de wiskunde via de calculus. Zonder toegang tot de kracht van de analytische meetkunde losten klassieke Griekse wiskundigen zoals Archimedes (ca. 285-212/211 v. Chr.) speciale gevallen op van de basisproblemen van de calculus: het vinden van raaklijnen en extreme punten (differentiaalrekening) en booglengtes, oppervlaktes en volumes (integraalrekening). De wiskundigen van de Renaissance werden naar deze problemen teruggevoerd door de behoeften van de astronomie, de optica, de navigatie, de oorlogsvoering en de handel. Zij probeerden natuurlijk de kracht van de algebra te gebruiken om een groeiend aantal krommen te definiëren en te analyseren.

Fermat ontwikkelde een algebraïsch algoritme om de raaklijn aan een algebraïsche kromme in een punt te vinden door een lijn te vinden die een dubbel snijpunt heeft met de kromme in het punt – in essentie, de uitvinding van differentiaalrekening. Descartes introduceerde een soortgelijk maar gecompliceerder algoritme met een cirkel. Fermat berekende de oppervlakten onder de krommen y = axk voor alle rationale getallen k ≠ -1 door de oppervlakten van ingeschreven en omgeschreven rechthoeken bij elkaar op te tellen. (Zie uitputting, methode van.) Gedurende de rest van de 17e eeuw werd het basiswerk voor calculus voortgezet door vele wiskundigen, waaronder de Fransman Gilles Personne de Roberval, de Italiaan Bonaventura Cavalieri, en de Britten James Gregory, John Wallis, en Isaac Barrow.

Newton en de Duitser Gottfried Leibniz revolutioneerden de wiskunde aan het eind van de 17e eeuw door onafhankelijk van elkaar de kracht van calculus aan te tonen. Beide mannen gebruikten coördinaten om notaties te ontwikkelen die de ideeën van de calculus in volle algemeenheid uitdrukten en op natuurlijke wijze leidden tot differentiatieregels en de fundamentele stelling van de calculus (die differentiaalrekening en integraalrekening met elkaar verbindt). Zie analyse.

Newton toonde het belang aan van analytische methoden in de meetkunde, afgezien van hun rol in de calculus, toen hij beweerde dat elke kubische of algebraïsche kromme van graad drie een van de vier standaardvergelijkingen heeft,xy2 + ey = ax3 + bx2 + cx + d,xy = ax3 + bx2 + cx + d,y2 = ax3 + bx2 + cx + d,y = ax3 + bx2 + cx + d, voor geschikte coördinaatassen. De Schotse wiskundige James Stirling bewees deze bewering in 1717, mogelijk met hulp van Newton. Newton verdeelde kubieken in 72 soorten, een totaal dat later werd gecorrigeerd tot 78.

Newton liet ook zien hoe je een algebraïsche kromme nabij de oorsprong kunt uitdrukken in termen van de fractionele machtsreeks y = a1x1/k + a2x2/k + … voor een positief geheel getal k. Wiskundigen hebben deze techniek sindsdien gebruikt om algebraïsche krommen van alle graden te bestuderen.