Apollonius van Perga

Een ellips (groen gearceerd) was een van de door Apollonius bestudeerde en benoemde kegelsneden.

Apollonius van Perga (Pergaeus) (ca. 262 v.Chr. – ca. 190 v.Chr.) was een Griekse geometer en astronoom van de Alexandrijnse school, bekend om zijn geschriften over kegelsneden. Zijn vernieuwende methodologie en terminologie, vooral op het gebied van kegelsneden, beïnvloedde vele latere geleerden, waaronder Ptolemaeus, Francesco Maurolico, Isaac Newton en René Descartes.

Een parabool (groen gearceerd) is een andere door Apollonius beschreven kegelsnede.

Een hyperbool (groen gearceerd) is een derde kegelsnede die door Apollonius is bestudeerd.

Het was Apollonius die de ellips, de parabool en de hyperbool de namen gaf waaronder ze nu bekend zijn. Ook de hypothese van excentrische banen, of deferente en epicykels, om de schijnbare beweging van de planeten en de variërende snelheid van de maan te verklaren, worden aan hem toegeschreven. De stelling van Apollonius toont aan dat twee modellen gelijkwaardig kunnen zijn, gegeven de juiste parameters. Ptolemaeus beschrijft deze stelling in de Almagest 12.1. Apollonius deed ook onderzoek naar de maantheorie, die hij Epsilon (ε) noemde. De Apollonius krater op de Maan is naar hem genoemd.

Leven en belangrijk werk

Apollonius werd geboren rond 262 v. Chr., ongeveer 25 jaar na Archimedes. Hij bloeide onder het bewind van Ptolemaeus Euergetes en Ptolemaeus Philopator (247-205 v. Chr.). Zijn verhandeling over kegelsneden leverde hem de naam “De Grote Geometer” op, een prestatie die zijn roem verzekerde.

Van al zijn verhandelingen is alleen de verhandeling over kegelsneden bewaard gebleven. Van de andere hebben historici titels en enige indicatie van hun inhoud dankzij latere schrijvers, vooral Pappus. Na de eerste uitgave van de acht boeken tellende Conica, bracht Apollonius op voorstel van Eudemus van Pergamum een tweede uitgave uit. Terwijl hij elk van de eerste drie boeken herzag, zond Apollonius Eudemus een exemplaar; de grootste veranderingen kwamen in de eerste twee boeken. Eudemus stierf vóór de voltooiing van de rest van de revisie, zodat Apollonius de laatste vijf boeken opdroeg aan koning Attalus I (241-197 v. Chr.). Slechts vier boeken zijn in het Grieks bewaard gebleven; drie andere zijn overgeleverd in het Arabisch; het achtste boek is nooit ontdekt.

Hoewel er een fragment is gevonden van een dertiende eeuwse Latijnse vertaling uit het Arabisch, was het pas in 1661, dat Giovanni Alfonso Borelli en Abraham Ecchellensis een vertaling van de Boeken 5-7 in het Latijn maakten. Hoewel zij Abu ‘l-Fath van Ispahan’s Arabische versie van 983 gebruikten, die bewaard is gebleven in een Florentijns manuscript, zijn de meeste geleerden het er nu over eens dat de beste Arabische vertalingen die van Hilal ibn Abi Hilal zijn voor de Boeken 1-4 en Thabit ibn Qurra voor de Boeken 5-7.

Apollonius hield zich bezig met zuivere wiskunde. Toen hem gevraagd werd naar het nut van sommige van zijn stellingen in Boek 4 der Conica’s, beweerde hij trots dat “zij het waard zijn aanvaard te worden omwille van de demonstraties zelf, zoals wij vele andere dingen in de wiskunde aanvaarden om deze en om geen andere reden.” En omdat veel van zijn resultaten niet toepasbaar waren op de wetenschap of techniek van zijn tijd, betoogde Apollonius verder in het voorwoord van het vijfde boek van Conics dat “het onderwerp een van die onderwerpen is die het waard lijken om bestudeerd te worden omwille van zichzelf.”

Koniek

Apollonius verklaart dat hij in de Boeken 1-4 het ontstaan van de krommen en hun fundamentele eigenschappen, die in Boek 1 worden gepresenteerd, vollediger uitwerkt dan in eerdere verhandelingen het geval was, en dat een aantal stellingen in Boek 3 en het grootste deel van Boek 4 nieuw zijn. Uit toespelingen op werken van voorgangers, zoals Euclides’ vier boeken over kegelsneden, blijkt dat hij niet alleen schatplichtig is aan Euclides, maar ook aan Conon en Nicoteles.

De algemeenheid van Apollonius’ behandeling is opmerkelijk. Hij definieert en benoemt de kegelsneden, parabool, ellips, en hyperbool. Hij ziet elk van deze krommen als een fundamentele kegelsnede die het equivalent is van een vergelijking (later de Cartesische vergelijking genoemd) toegepast op schuine assen – bijvoorbeeld assen bestaande uit een diameter en de raaklijn aan het uiteinde – die worden verkregen door een schuine cirkelkegel te snijden. (Een schuine cirkelkegel is een kegel waarvan de as geen hoek van 90 graden maakt met de directrix. Een rechte cirkelkegel is daarentegen een kegel waarvan de as een hoek van 90 graden vormt met de directrix). De manier waarop de kegel wordt gesneden, doet er volgens hem niet toe. Hij toont aan dat de schuine assen slechts een bijzonder geval zijn, nadat hij heeft aangetoond dat de basiseigenschap van de kegelsnede in dezelfde vorm kan worden uitgedrukt met betrekking tot elke nieuwe diameter en de raaklijn aan het uiteinde daarvan. De Boeken 5-7 zijn dus duidelijk origineel.

Apollonius’ genie bereikt zijn grootste hoogte in Boek 5. Hier behandelt hij wiskundige normalen (een normaal is een rechte lijn loodrecht op een oppervlak of op een andere rechte lijn) als minimale en maximale rechte lijnen getrokken vanuit gegeven punten naar de kromme (onafhankelijk van raaklijneigenschappen); bespreekt hoeveel normalen vanuit bepaalde punten getrokken kunnen worden; vindt hun voeten door constructie; en geeft stellingen die het kromtemiddelpunt in elk punt bepalen en ook leiden tot de cartesiaanse vergelijking van de evolutieve van elke kegelsnede.

In Conics ontwikkelde Apollonius verder een methode die zo veel lijkt op de analytische meetkunde dat zijn werk soms wordt beschouwd als zo’n 1800 jaar vooruitlopend op het werk van Descartes. Zijn gebruik van referentielijnen (zoals een diameter en een raaklijn) is in wezen hetzelfde als ons moderne gebruik van een coördinatenstelsel. Echter, in tegenstelling tot de moderne analytische meetkunde, hield hij geen rekening met negatieve grootheden. Ook legde hij het coördinatenstelsel op elke kromme nadat de kromme was verkregen. Hij leidde dus vergelijkingen af uit de krommen, maar hij leidde geen krommen af uit vergelijkingen.

Andere werken

Pappus vermeldt andere verhandelingen van Apollonius. Elk van deze was verdeeld in twee boeken, en-werd, met de Data, de Porismen, en Oppervlakte-Loci van Euclides, en de Conics van Apollonius, volgens Pappus, opgenomen in het corpus van de antieke analyse.

De Rationis Sectione

De Rationis Sectione (Snijden van een verhouding) trachtte een bepaald probleem op te lossen: Gegeven twee rechte lijnen en een punt in elk, trek door een derde gegeven punt een rechte lijn, die de twee vaste lijnen snijdt, zodanig dat de gedeelten, welke tusschen de gegeven punten in deze lijnen en de snijpunten met deze derde lijn worden onderschept, een gegeven verhouding kunnen hebben.

De Spatii Sectione

De Spatii Sectione (Snijden van een oppervlakte) besprak een soortgelijk probleem waarbij de rechthoek die door de twee snijpunten wordt ingesloten, gelijk moet zijn aan een gegeven rechthoek.

De Sectione Determinata

De Sectione Determinata (Determinerende Sectie) behandelt problemen op een manier die een analytische meetkunde van één dimensie genoemd kan worden; met de vraag om punten op een lijn te vinden die in een verhouding tot de andere stonden. De specifieke problemen zijn: Gegeven twee, drie, of vier punten op een rechte lijn, vind een ander punt op de rechte lijn zodanig dat zijn afstanden tot de gegeven punten voldoen aan de voorwaarde dat het vierkant op één of de rechthoek die door twee wordt bevat een gegeven verhouding heeft, hetzij, (1) tot het vierkant op de overblijvende of de rechthoek die door de overblijvende twee wordt bevat of, (2) tot de rechthoek die door de overblijvende en een andere gegeven rechte lijn wordt bevat.

De Tactionibus

De Tactionibus (Tangencies) omhelsde het volgende algemene probleem: Gegeven drie dingen (punten, rechte lijnen, of cirkels) in positie, beschrijf een cirkel die door de gegeven punten gaat en de gegeven rechte lijnen of cirkels raakt. Het moeilijkste en historisch interessantste geval doet zich voor wanneer de drie gegeven dingen cirkels zijn. In de zestiende eeuw legde Vieta dit probleem (soms ook bekend als het Apollinisch Probleem) voor aan Adrianus Romanus, die het oploste met een hyperbool. Vieta stelde daarop een eenvoudiger oplossing voor, die hem er uiteindelijk toe bracht de hele verhandeling van Apollonius te herstellen in het kleine werk Apollonius Gallus.

De Inclinationibus

Het doel van De Inclinationibus (Hellingen) was aan te tonen hoe een rechte lijn van een gegeven lengte, die naar een gegeven punt neigt, tussen twee gegeven (rechte of cirkelvormige) lijnen kan worden ingevoegd.

De Locis Planis

De Locis Planis (Vlakke Loci) is een verzameling stellingen met betrekking tot loci die ofwel rechte lijnen ofwel cirkels zijn.

Erfenis

Bekend als “De Grote Geometer”, hebben Apollonius’ werken de ontwikkeling van de wiskunde sterk beïnvloed. Zijn beroemde boek, Conics, introduceerde de termen parabool, ellips, en hyperbool. Hij bedacht de hypothese van excentrische banen om de schijnbare beweging van de planeten en de variërende snelheid van de maan te verklaren. Een andere bijdrage tot de wiskunde is de stelling van Apollonius, die aantoont dat twee modellen gelijkwaardig kunnen zijn als de juiste parameters worden gebruikt.

Noten

• Boyer, Carl B. A History of Mathematics. John Wiley & Sons, 1991. ISBN 978-0471543977
• Fried, Michael N. and Sabetai Unguru. Apollonius van Perga’s Conica: Tekst, Context, Subtext. Brill, 2001. ISBN 978-9004119779
• Heath, T.L. Treatise on Conic Sections. W. Heffer & Sons, 1961.

Alle links opgehaald op 8 april 2016.

• Apollonius van Perga. www-groups.dcs.st-and.ac.uk. Apollonius Summary.
• Apollonius’ Tangency Problem, Circles. agutie.homestead.com.
• PDF scans van Heiberg’s editie van Apollonius van Perga’s Conic Sections (publiek domein). www.wilbourhall.org.