Ben Green (wiskundige)
Het grootste deel van Green’s onderzoek ligt op het gebied van de analytische getaltheorie en de additieve combinatoriek, maar hij heeft ook resultaten op het gebied van de harmonische analyse en de groepentheorie. Zijn bekendste stelling, die hij samen met zijn vaste medewerker Terence Tao heeft bewezen, is dat er willekeurig lange rekenkundige progressies bestaan in de priemgetallen: deze stelling staat nu bekend als de stelling van Green-Tao.
Tot de vroege resultaten van Green in de additieve combinatoriek behoren een verbetering van een resultaat van Jean Bourgain over de grootte van rekenkundige progressies in sommenverzamelingen, alsmede een bewijs van het vermoeden van Cameron-Erdős over somvrije verzamelingen van natuurlijke getallen. Ook bewees hij een rekenkundig regulierheidslemma voor functies gedefinieerd op de eerste N natuurlijke getallen, enigszins analoog aan het Szemerédi regulierheidslemma voor grafieken.
Van 2004-2010 ontwikkelde hij in samenwerking met Terence Tao en Tamar Ziegler de zogenaamde hogere orde Fourieranalyse. Deze theorie relateert Gowers normen met objecten bekend als nilsequenties. De theorie ontleent haar naam aan deze nilsequenties, die een analoge rol spelen als de tekens in de klassieke Fourieranalyse. Green en Tao gebruikten hogere orde Fourieranalyse om een nieuwe methode te presenteren voor het tellen van het aantal oplossingen van gelijktijdige vergelijkingen in bepaalde verzamelingen gehele getallen, waaronder in de priemgetallen. Dit veralgemeent de klassieke benadering met behulp van de Hardy-Littlewood cirkelmethode. Veel aspecten van deze theorie, waaronder de kwantitatieve aspecten van de inverse stelling voor de Gowers-normen, zijn nog onderwerp van lopend onderzoek.
Green heeft ook samengewerkt met Emmanuel Breuillard aan onderwerpen in de groepentheorie. In het bijzonder hebben zij, samen met Terence Tao, een structuurtheorema bewezen voor benaderde groepen, waarbij de stelling van Freiman-Ruzsa voor verzamelingen gehele getallen met kleine verdubbelingen wordt veralgemeend. Green heeft ook werk, samen met Kevin Ford en Sean Eberhard, over de theorie van de symmetrische groep, in het bijzonder over welk deel van zijn elementen een verzameling van grootte k vastlegt {{3671>
Green en Tao hebben ook een artikel over algebraïsche combinatorische meetkunde, waarin zij het Dirac-Motzkin vermoeden oplossen (zie Sylvester-Gallai stelling). In het bijzonder bewijzen zij dat, gegeven een willekeurige verzameling van n punten in het vlak die niet allemaal collineair zijn, als n {\displaystyle n} groot genoeg is, er minstens n / 2 {\displaystyle n/2} lijnen in het vlak moeten bestaan die precies twee van de punten bevatten.
Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, James Maynard en Terence Tao hebben, aanvankelijk in twee afzonderlijke onderzoeksgroepen en daarna in combinatie, de ondergrens voor de grootte van de langste kloof tussen twee opeenvolgende priemgetallen met een grootte van ten hoogste X {{Displaystyle X}} verbeterd. De vorm van de tot dan toe bekendste limiet, in hoofdzaak te danken aan Rankin, was al 76 jaar niet meer verbeterd.
Meer recent heeft Green zich gebogen over vragen in de rekenkundige Ramsey-theorie. Samen met Tom Sanders heeft hij bewezen dat, als een voldoende groot eindig veld van priemorde gekleurd is met een vast aantal kleuren, het veld elementen x , y {displaystyle x,y} heeft zodanig dat x , y , x + y , x y {displaystyle x,y,x{+}y,xy} allemaal dezelfde kleur hebben.
Groen is ook betrokken geweest bij de nieuwe ontwikkelingen van Croot-Lev-Pach-Ellenberg-Gijswijt over de toepassing van een polynomiale methode om de grootte van deelverzamelingen van een eindige vectorruimte zonder oplossingen van lineaire vergelijkingen te begrenzen. Hij paste deze methoden aan om, in functievelden, een sterke versie van de stelling van Sárközy te bewijzen.