Bode Plot, Gain Margin en Phase Margin (Plus Diagrammen)

Wat is een Bode Plot

Een Bode plot is een grafiek die vaak wordt gebruikt in de regeltechniek om de stabiliteit van een regelsysteem te bepalen. Een Bode-plot brengt de frequentierespons van het systeem in kaart door middel van twee grafieken – de Bode-magnitudeplot (die de magnitude in decibels uitdrukt) en de Bode-faseplot (die de faseverschuiving in graden uitdrukt).

Bode-plots werden voor het eerst geïntroduceerd in de jaren dertig door Hendrik Wade Bode, toen hij werkzaam was bij Bell Labs in de Verenigde Staten. Hoewel Bode plots een betrekkelijk eenvoudige methode bieden om de stabiliteit van een systeem te berekenen, kunnen zij niet overweg met overdrachtsfuncties met singulariteiten in het rechter halfvlak (in tegenstelling tot het Nyquist-stabiliteitscriterium).

Inzicht in de versterkingsmarges en fasemarges is van cruciaal belang voor het begrip van Bode plots. Deze termen worden hieronder gedefinieerd.

Gain Margin

Hoe groter de Gain Margin (GM), hoe groter de stabiliteit van het systeem. De versterkingsmarge is de hoeveelheid versterking die kan worden verhoogd of verlaagd zonder het systeem onstabiel te maken. Zij wordt gewoonlijk uitgedrukt in dB.

Wij kunnen de versterkingsmarge gewoonlijk rechtstreeks aflezen uit de Bode-plot (zoals in het diagram hierboven). Dit gebeurt door de verticale afstand te berekenen tussen de magnitudecurve (op de Bode magnitudeplot) en de x-as bij de frequentie waar de Bode faseplot = 180°. Dit punt staat bekend als de faseovergangsfrequentie.

Het is belangrijk te beseffen dat de Versterking en de Versterkingsmarge niet dezelfde dingen zijn. In feite is de Versterkingsmarge het negatieve van de versterking (in decibels, dB). Dit wordt duidelijk als we naar de formule voor de Versterkingsmarge kijken.

Formule voor de Versterkingsmarge

De formule voor de Versterkingsmarge (GM) kan worden uitgedrukt als:

Waarbij G de versterking is. Dit is de magnitude (in dB) zoals afgelezen van de verticale as van het magnitudediagram bij de faseovergangsfrequentie.

In ons voorbeeld in de bovenstaande grafiek is de Gain (G) 20. Als we dus onze formule voor de versterkingsmarge gebruiken, is de versterkingsmarge gelijk aan 0 – 20 dB = -20 dB (onstabiel).

Fasemarge

Hoe groter de fasemarge (PM), hoe groter de stabiliteit van het systeem zal zijn. De fasemarge is de hoeveelheid fase die kan worden verhoogd of verlaagd zonder het systeem onstabiel te maken. Zij wordt gewoonlijk uitgedrukt als een fase in graden.

We kunnen de fasemarge gewoonlijk rechtstreeks aflezen uit de Bode-plot (zoals in het diagram hierboven). Dit wordt gedaan door de verticale afstand tussen de fasekromme (op de Bode-fase-plot) en de x-as te berekenen bij de frequentie waar de Bode-magnitudeplot = 0 dB. Dit punt staat bekend als de versterkingsovergangsfrequentie.

Het is belangrijk te beseffen dat de fasevertraging en de faseringsmarge niet dezelfde dingen zijn. Dit wordt duidelijk als we de formule voor de fasemarges bekijken.

Formule voor de fasemarges

De formule voor de fasemarges (PM) kan worden uitgedrukt als:

Waarbij de fase-achterstand is (een getal kleiner dan 0). Dit is de fase zoals afgelezen van de verticale as van de fasegrafiek bij de versterkingsovergangsfrequentie.

Een ander voorbeeld: als de open-lus versterking van een versterker 0 dB overschrijdt bij een frequentie waar de fase-vertraging -120° is, dan is de fase-vertraging -120°. De fasemarge van dit terugkoppelsysteem is dus -120° – (-180°) = 60° (stabiel).

Stabiliteit Bode Plots

Hieronder volgt een samenvattende lijst van criteria die van belang zijn voor het tekenen van Bode plots (en het berekenen van hun stabiliteit):

1. Gain Margin: Groter zal de versterkingsmarge zijn groter zal de stabiliteit van het systeem zijn. Het verwijst naar de hoeveelheid versterking die kan worden verhoogd of verlaagd zonder het systeem onstabiel te maken. Het wordt gewoonlijk uitgedrukt in dB.
2. Fasemarges: Groter zal de fasemarge groter zijn de stabiliteit van het systeem. Het heeft betrekking op de fase die kan worden verhoogd of verlaagd zonder het systeem onstabiel te maken. Het wordt gewoonlijk uitgedrukt in fase.
3. Gain Crossover Frequency: Het verwijst naar de frequentie waarbij de magnitudecurve de nul dB-as in de bode plot snijdt.
4. Phase Crossover Frequency: Het verwijst naar de frequentie waarbij de fase curve snijdt de negatieve keer de 180o as in deze plot.
5. Corner Frequency: De frequentie waarbij de twee asymptoten elkaar snijden of ontmoeten staat bekend als breekfrequentie of hoekfrequentie.
6. Resonantiefrequentie: De waarde van de frequentie waarbij de modulus van G (jω) een piekwaarde heeft, staat bekend als de resonantiefrequentie.
7. Factoren: Elke lusoverdrachtsfunctie {d.w.z. G(s) × H(s)} product van verschillende factoren zoals constante term K, Integrale factoren (jω), eerste-orde factoren ( 1 + jωT)(± n) waarbij n een geheel getal is, tweede-orde of kwadratische factoren.
8. Helling: Er is een helling die overeenkomt met elke factor en de helling voor elke factor wordt uitgedrukt in de dB per decade.
9. Hoek: Er is een hoek die overeenkomt met elke factor en de hoek voor elke factor wordt uitgedrukt in de graden.

Nu zijn er enkele resultaten die men moet onthouden om de Bode-curve te kunnen plotten. Deze resultaten staan hieronder:

• Constante term K: Deze factor heeft een helling van nul dB per decade. Er is geen hoekfrequentie die overeenkomt met deze constante term. De fasehoek die bij deze constante term hoort, is ook nul.
• Integrale factor 1/(jω)n: Deze factor heeft een helling van -20 × n (waarbij n een geheel getal is)dB per decade. Er is geen hoekfrequentie die overeenkomt met deze integrale factor. De fasehoek die bij deze integrale factor hoort is -90 × n. Hier is n ook een geheel getal.
• Eerste-ordefactor 1/ (1+jωT): Deze factor heeft een helling van -20 dB per decade. De hoekfrequentie die bij deze factor hoort is 1/T radiaal per seconde. De fasehoek die bij deze eerste factor hoort is -tan- 1(ωT).
• Eerste-orde-factor (1+jωT): Deze factor heeft een helling van 20 dB per decade. De hoekfrequentie die bij deze factor hoort is 1/T radiaal per seconde. De fasehoek die bij deze eerste factor hoort, is tan- 1(ωT) .
• Tweede orde of kwadratische factor : : Deze factor heeft een helling van -40 dB per decade. De hoekfrequentie die bij deze factor hoort is ωn radiaal per seconde. De fasehoek die bij deze eerste factor hoort is
  

  

Hoe een Bode-plot tekenen

Met alle bovenstaande punten in gedachten, zijn we in staat om een Bode-plot te tekenen voor elk soort regelsysteem. Laten we nu de procedure voor het tekenen van een Bode-plot bespreken:

1. Substitueer de s = jω in de open lus overdrachtsfunctie G(s) × H(s).
2. Vind de corresponderende hoekfrequenties en noteer ze in tabelvorm.
3. Nu moeten we één semi-loggrafiek kiezen voor een frequentiegebied zodanig dat de plot moet beginnen met de frequentie die lager is dan de laagste hoekfrequentie. Markeer hoekfrequenties op de x-as, markeer hellingen aan de linkerkant van de y-as door in het midden een helling van nul te markeren en markeer aan de rechterkant de fasehoek door in het midden -180o te nemen.
4. Bereken de versterkingsfactor en de orde van het systeem.
5. Bereken nu de helling die bij elke factor hoort.

Voor het tekenen van de Bode-magnitudeplot:

• Markeer de hoekfrequentie op het semi-logische grafiekpapier.
• Tabel deze factoren van boven naar beneden in de gegeven volgorde.
  1. Constante term K.
  2. Integrale factor
  3. Eerste-orde-factor
  4. Eerste-orde-factor (1+jωT).
  5. Tweede orde of kwadratische factor:
     

     

• Schets nu de lijn met behulp van de bijbehorende helling van de gegeven factor. Verander de helling bij elke hoekfrequentie door de helling van de volgende factor toe te voegen. U krijgt de magnitude plot.
• Bereken de versterkingsmarge.

Voor het tekenen van de Bode fase plot:

1. Bereken de fase functie door alle fasen van factoren op te tellen.
2. Voeg verschillende waarden toe aan de bovenstaande functie om de fase op verschillende punten te achterhalen en plot een curve. U krijgt een fase curve.
3. Bereken de fase marge.

Bode Stabiliteit Criterium

Stabiliteit voorwaarden worden hieronder gegeven:

1. Voor een Stabiel Systeem: Beide marges moeten positief zijn of de fasemarge moet groter zijn dan de versterkingsmarge.
2. Voor een Marginaal Stabiel Systeem: Beide marges moeten nul zijn of de fasemarge moet gelijk zijn aan de versterkingsmarge.
3. Voor een Instabiel Systeem: Als een van hen negatief is of de fasemarge moet kleiner zijn dan de versterkingsmarge.

Voordelen van een Bode Plot

1. Het is gebaseerd op de asymptotische benadering, die een eenvoudige methode biedt om de logaritmische magnitudecurve te plotten.
2. De vermenigvuldiging van verschillende magnitude-aanduidingen in de overdrachtsfunctie kan worden behandeld als een optelling, terwijl deling kan worden behandeld als een aftrekking, aangezien we een logaritmische schaal gebruiken.
3. Met behulp van deze plot alleen kunnen we direct commentaar geven op de stabiliteit van het systeem zonder berekeningen uit te voeren.
4. Bode plots geven relatieve stabiliteit in termen van winstmarge en fasemarge.
5. Het bestrijkt ook van lage frequentie tot hoge frequentie bereik.