Bravais-rooster

In de meetkunde en kristallografie is een Bravais-rooster, genoemd naar Auguste Bravais (1850), een oneindige reeks discrete punten die worden gegenereerd door een reeks discrete translatiebewerkingen die in de driedimensionale ruimte worden beschreven door:

R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 {\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}

(1)

waarbij ni gehele getallen zijn en ai primitieve vectoren zijn die in verschillende richtingen liggen (niet noodzakelijkerwijs loodrecht op elkaar) en het rooster overspannen. De keuze van primitieve vectoren voor een gegeven Bravais-rooster is niet uniek. Een fundamenteel aspect van elk Bravais-rooster is dat, voor welke richting dan ook, het rooster er vanuit elk van de discrete roosterpunten precies hetzelfde uitziet als men in die gekozen richting kijkt.

In de kristallografie wordt het Bravais-roosterconcept van een oneindige reeks discrete punten uitgebreid met het concept van een eenheidscel die de ruimte tussen de discrete roosterpunten omvat, evenals alle atomen in die ruimte. Er zijn twee hoofdtypen eenheidscellen: primitieve eenheidscellen en niet-primitieve eenheidscellen.

Een primitieve eenheidscel voor een gegeven Bravais-rooster kan op meer dan één manier worden gekozen (elke manier heeft een andere vorm), maar elke manier zal hetzelfde volume hebben en elke manier zal de eigenschap hebben dat er een een-op-een overeenkomst kan worden vastgesteld tussen de primitieve eenheidscellen en de discrete roosterpunten. De meest voor de hand liggende primitieve cel om te associëren met een bepaalde keuze van primitieve vectoren is het parallellepipedum dat door hen wordt gevormd. Dat wil zeggen, de verzameling van alle punten r van de vorm:

r = x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 waarbij 0 ≤ x i < 1 {\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}\qquad {\text{where }}0\leq x_{i}<1}

(2)

Het gebruik van het parallellepipedum gedefinieerd door de primitieve vectoren als de eenheidscel heeft in sommige gevallen het nadeel dat niet duidelijk de volledige symmetrie van het rooster zichtbaar wordt. Een oplossing hiervoor is het gebruik van de Wigner-Seitz primitieve cel (bestaande uit alle punten in de ruimte die dichter bij het gegeven roosterpunt liggen dan bij enig ander roosterpunt) die wel de volledige symmetrie van het rooster laat zien. Een andere oplossing is het gebruik van een niet-primitieve eenheidscel die wel de volledige symmetrie van het traliewerk vertoont. Het volume van de niet-primitieve eenheidscel zal een geheel veelvoud zijn van het volume van de primitieve eenheidscel.

De eenheidscel, primitief of niet, moet, wanneer deze eenmaal wordt gerepliceerd voor elk afzonderlijk roosterpunt, precies de gehele ruimte vullen zonder overlapping en zonder tussenruimten.

Het uitgebreide Bravais-roosterconcept, met inbegrip van de eenheidscel, wordt gebruikt om een kristallijne ordening en de (eindige) grenzen ervan formeel te definiëren. Een kristal bestaat uit een periodieke rangschikking van één of meer atomen (de basis of het motief) die in elke primitieve eenheidscel precies één keer voorkomt. De basis kan bestaan uit atomen, moleculen, of polymeerreeksen van vaste materie. Bijgevolg ziet het kristal er hetzelfde uit wanneer het in een bepaalde richting wordt bekeken vanuit gelijkwaardige punten in twee verschillende eenheidscellen (twee punten in twee verschillende eenheidscellen van hetzelfde rooster zijn gelijkwaardig als zij dezelfde relatieve positie hebben ten opzichte van hun individuele eenheidscelgrenzen).

Twee Bravais-roosters worden vaak als gelijkwaardig beschouwd als zij isomorfe symmetriegroepen hebben. In die zin zijn er 14 mogelijke Bravais-roosters in de driedimensionale ruimte. De 14 mogelijke symmetriegroepen van Bravais-roosters zijn 14 van de 230 ruimtegroepen. In de context van de ruimtegroepenindeling worden de Bravais-roosters ook Bravais-klassen, Bravais-rekenkundige klassen of Bravais-vlokken genoemd.