Module 1 — Het kiezen van een rotatieas en het beschrijven van de rotatierichting

Van PER wiki

Leerdoelen

Na het doorwerken van deze module moet je in staat zijn om:

• De rotatie van een star lichaam om een vaste as te beschrijven.
• De hoeksnelheid definiëren in termen van de veranderingssnelheid van de hoekpositie.
• De draairichting van een star voorwerp aangeven en de rechterhandregel toepassen.

De draaiing van een star voorwerp in de vorm van spin kan voorkomen in combinatie met translationele beweging. De beschrijving van translationele en rotationele beweging in combinatie laten we voor later. In deze module zullen we ons concentreren op de beschrijving van zuivere translationele beweging. Zuivere rotatiebeweging kan zeer ingewikkeld zijn en sommige gevallen vallen buiten het bestek van een inleidende natuurkundeles.

Om de ideeën over hoekbeweging te vereenvoudigen, zullen we de volgende beperkingen hanteren:

1. Het starre lichaam roteert om een vaste rotatie-as.
2. We zullen voorwerpen beschouwen die dun zijn, bijvoorbeeld de schijf in figuur a) of de staaf in figuur b).
3. De rotatie vindt plaats in het vlak waarin het voorwerp zich bevindt, bijvoorbeeld het xy-vlak in de figuur hieronder.
4. De rotatie-as staat loodrecht op het vlak waarin het voorwerp zich bevindt, de z-as in onderstaande figuren.

Een star lichaam, beperkt tot roteren om een vaste as

Het eenvoudigste geval van rotatiebeweging is een star lichaam zoals de schijf of de staaf hierboven, dat kan roteren om een as of scharnier die vast in de ruimte staat. De as of het scharnier vertaalt niet, maar laat rotatie toe. Dit geval illustreert duidelijk het begrip rotatie-as. Stel je een punt voor dat ligt in het midden van de schijf of het uiteinde van de staaf, punt Q, in de figuur hieronder. Als het lichaam roteert, beweegt dit punt helemaal niet. Elk ander punt, zoals punt B, zal bewegen als de rotatie plaatsvindt. Stel je een rechte voor die door punt Q gaat en loodrecht staat op het vlak waar de schijf of staaf in liggen, het xy-vlak in de figuur. Deze lijn beweegt niet terwijl het lichaam roteert. Elke andere lijn die door een ander punt van het voorwerp gaat, zoals de blauwe lijn door punt B, zal wel bewegen. Deze unieke vaste lijn is de rotatie-as.

Samenvattend moeten we ons bij een vaste rotatie-as een lijn voorstellen die loodrecht staat op het vlak waarin het starre lichaam roteert. In het algemeen beschouwen we het voorwerp als liggend en draaiend in het xy-vlak, daarom zal de rotatie-as evenwijdig zijn aan de z-as. Het snijpunt van deze lijn met het vlak, het punt Q in bovenstaande figuur, zal ook vast zijn in de ruimte.

Rotatiebeweging van een star lichaam dat roteert om een vaste as

Beschouw een schijf die roteert om een vaste as die door zijn middelpunt gaat. Een punt B in de schijf, op een afstand r van het middelpunt zal zich verplaatsen in een cirkelbaan met straal r, de streepjescirkel in figuur a).

Hoekpositie

De positie van punt B kan worden beschreven in termen van de hoek θ(t) gemeten vanaf de +x-as. De hoek θ wordt de hoekpositie van het punt genoemd.

conventie: de hoekpositie wordt positief gedefinieerd wanneer deze tegen de wijzers van de klok in wordt gemeten ten opzichte van de +x-as.

Hoeksnelheid

De snelheid van punt B en de snelheid van alle punten binnen de schijf hangen af van de snelheid waarmee hun hoekposities veranderen. Als de schijf een hoek dθ = 25o tegen de wijzers van de klok in draait in een tijdsinterval dt =1 sec, zullen de punten B, C en alle punten binnen de schijf evenveel draaien in hetzelfde tijdsinterval, figuur c).

De hoeksnelheid is gedefinieerd als de veranderingssnelheid van de hoekpositie en wordt aangeduid met de letter ω:

Eenheden: = rad.s-1

Hoekversnelling

De hoekversnelling is de veranderingssnelheid van de hoeksnelheid.

Eenheden: = rad.s-2

Richting

Het opgeven van een as en de draaisnelheid is niet voldoende om de draaibeweging volledig te beschrijven. We moeten ook de richting bespreken. Zodra een as is gekozen, zijn de mogelijke draairichtingen gereduceerd tot twee mogelijkheden – het voorwerp kan tegen de klok in of met de klok mee draaien, gezien van boven het vlak (conventioneel van een + z plaats). Deze twee situaties worden in de onderstaande figuren beschreven. Het is echter belangrijk hier voorzichtig te zijn, want of de draaiing tegen de wijzers van de klok in of met de wijzers van de klok mee is, hangt af van de positie van de waarnemer. Een schijf die van bovenaf gezien tegen de wijzers van de klok in draait, draait van onderaf gezien met de wijzers van de klok mee.

Naarmate we toewerken naar een wiskundige beschrijving van rotatie, zullen we rotatie beschrijven in termen van een vector. Het blijkt (zoals we zullen zien) dat een zeer nuttige conventie is om de +z-coördinaatassen langs de rotatie-as te laten liggen en de twee mogelijkheden van linksom en rechtsom te zien als positieve en negatieve rotaties om deze as. De hoeksnelheidsvector die overeenkomt met de draaiing van de schijf in de situatie van de figuren hierboven zal dus zijn:

Voor de draaiing tegen de klok in:

θ neemt toe met de tijd,ω = dθ/dt > 0 dan wijst de hoeksnelheid naar de +z-as.

Voor de rotatie met de klok mee:

θ neemt af met de tijd, ω = dθ/dt < 0 dan wijst de hoeksnelheid naar de -z-as:

De rechterhandregel

Deze conventie wordt de rechterhandregel genoemd. Om deze te gebruiken, krult u de vingers van uw rechterhand. Lijn uw hand uit met het draaiende voorwerp (in dit geval de schijf) zodanig dat het volgen van uw vingers van de knokkels naar de vingertoppen dezelfde draaiing geeft als het voorwerp ondergaat. Uw duim geeft dan de “richting” van de draaiing aan.

De rechterhandregel en (x,y,z)

Wanneer een cartesiaans coördinatensysteem wordt gebruikt om beweging in een vlak te beschrijven, is het belangrijk om een rechterhandcoördinatensysteem te gebruiken, zodat de definitie van verschillende rotatiegrootheden kan worden gedefinieerd in termen van het vectorproduct. In het voorbeeld hierboven betekent dit dat als je je rechterhand zo plaatst dat de gestrekte vingers samenvallen met de + x-as, dan je pols zo draait dat je vingers naar de y-as bewegen terwijl je je hand tot een vuist sluit, het resultaat zal zijn dat je duim langs +z wijst. Dit zal in overeenstemming zijn met de gebruikelijke conventie om de hoek te meten beginnend met de x-as en een hoekverplaatsing in de richting tegen de klok in als positief te beschouwen.

Een roterend systeem tekenen

Gezichtspunt moet worden uitgelijnd met de rotatie-as.

Bij het tekenen van een roterend systeem is het belangrijk om het gezichtspunt uit te lijnen met de rotatie-as. Met andere woorden, u moet het systeem tekenen alsof u recht langs de as kijkt.

Vectoren weergeven die recht op of recht van je af wijzen.

Omdat we roterende stelsels tekenen alsof we langs de as kijken, is het onmogelijk om een pijl te tekenen die de as voorstelt. De lineaire as zal er vanuit ons gezichtspunt uitzien als een punt. Daarom is er een conventie voor het tekenen van een pijl die direct naar de waarnemer wijst of direct van hem vandaan. De conventie is dat een pijl die direct naar de waarnemer wijst, wordt getekend als een omcirkelde stip. Een pijl die direct weg wijst, wordt getekend als een omcirkelde “x”.

Het afbeelden van vectoren uitgelijnd met de waarnemer: deur van boven en van onder.

Beeld: Een deur wordt afgebeeld langs de gekozen rotatie-as vanuit verschillende perspectieven.