The curious powers of 1 + sqrt 2

Recently on mathstodon.xyz, Colin Wright posted the following puzzle:

What is the 99th digit to the right of the decimal point in the decimal expansion of ?

Natuurlijk is het eenvoudig genoeg om het antwoord met een computer te vinden; elke taal of elk softwaresysteem dat kan rekenen met reële getallen van willekeurige precisie kan het juiste antwoord in een fractie van een seconde vinden. Maar dat is natuurlijk niet het punt! Kunnen we met logisch redeneren het juiste antwoord afleiden of bewijzen, zonder veel rekenwerk te doen? En zelfs als we het antwoord op rekenkundige wijze vinden, kunnen we dan uitleggen waarom dat het juiste antwoord is? Het oplossen van deze puzzel bracht me in een fascinerend konijnenhol dat ik graag met jullie wil delen in de volgende post of drie, acht.

Voorlopig laat ik jullie even nadenken over de puzzel. Hoewel het gebruik van een computer om simpelweg het antwoord te berekenen valsspelen is, moedig ik het gebruik van een computer of rekenmachine wel aan om kleinere voorbeelden te proberen en naar patronen te zoeken. Het is niet al te moeilijk om een patroon te zien en het juiste antwoord te vermoeden; het interessante is natuurlijk om uit te zoeken waarom dit patroon zich voordoet, en om te bewijzen dat het doorgaat.