Topologische analoge signaalverwerking

Bloch eigenprobleem

Het bulkkristal is eendimensionaal met roosterconstante a en twee obstakels per eenheidscel. We modelleren het en definiëren zijn topologie met behulp van de overdrachtsmatrix Mcell van een eenheidscel. We beginnen met het definiëren van de twee verstrooiingsmatrices S1 en S2, als de verre-veld verstrooiingsmatrices van elk obstakel wanneer het alleen is in de monomode golfgeleider. Deze matrices relateren de uitgaande complexe signalen aan de linker (L) en rechter (R) zijde van de verstrooiers bL en bR aan de invallende, aL en aR:

Merk op dat we voor nu niet de aanname doen dat de twee matrices gelijk zijn: de cilinders kunnen bijvoorbeeld verschillende doorsneden hebben, of verschoven zijn ten opzichte van elkaar, enz. Deze matrices hangen gewoonlijk ook af van de hoekfrequentie ω. In de veronderstelling dat de energie tijdens het verstrooiingsproces behouden blijft, moeten zij unitair zijn. We kunnen ze daarom heel algemeen parametriseren als

waar de frequentie-afhankelijke hoeken θ1,2, α1,2, ϕ1,2, en Φ1,2 uniek zijn zodra wij het referentievlak, hier bij de centrale positie van de verspreiders bevestigen. Uitgaande van wederkerigheid (S21 = S12) moet 2α1,2 – Φ1,2 = π zijn, hetgeen ons beperkt tot drie parameters per verstrooiingsmatrix, zodat we kunnen schrijven:

U kunt dan de bijbehorende transfermatrices M1 en M2 afleiden, gedefinieerd als

en verkrijgt

Als de twee verstrooiers op een afstand d van elkaar staan in een eenheidscel met roosterconstante a, dan is de totale overdrachtsmatrix van de eenheidscel Mcell het product:

met

waarin ^(L = d,\frac{a – d}}{2},\) en c de fasesnelheid is. Na toepassing van het matrixproduct verkrijgt men

met

We gebruiken de notatie z* om het complexe conjugaat van z aan te duiden. Met a en b de voorwaartse en achterwaartse complexe veldamplituden bij de ingang van de eenheidscel, levert de toepassing van de stelling van Bloch het volgende eigenwaarde probleem op,

wat we het Bloch eigenprobleem van het kristal noemen. Merk de niet-triviale afhankelijkheid van Mcell(ω) van ω op. De meest eenvoudige toepassing van bovenstaande vergelijking is de volgende: voor alle waarden van ω kan men Mcell(ω) diagonaliseren, en twee tegengestelde waarden ±kB(ω) van het Bloch golfgetal in de eerste Brillouin zone krijgen, en de bandstructuur oplossen. Merk op dat Mcell niet unitair en niet-Hermitisch is, wat betekent dat in het algemeen de waarden ±kB(ω) complex zijn, waardoor in principe een oneindig aantal banden en bandgaps mogelijk is. Merk verder het verschil op met het standaard tight-binding SSH model, dat leidt tot een Hermitisch eigenwaarde probleem dat de Brillouin cirkel in de ruimte van SU(2) matrices brengt, en een duidelijke topologische classificatie van chirale symmetrische systemen via het kronkelgetal. In overeenstemming met de tijd-omgekeerde symmetrie54 is M_{\mathrm{cell}}}(1,1)\), een groep van niet-Hermitische matrices55. SU(1,1) Hamiltonianen worden bijvoorbeeld gevonden in PT-symmetrische uitbreidingen van het SSH-krap-bindmodel56 waar de niet-Hermiticiteit van de Hamiltoniaan voortkomt uit de afwezigheid van behoud van energie. Hier is Mcell geen Hamiltoniaan, in de zin dat zijn eigenwaarden niet gerelateerd zijn aan ω, maar aan kB, en de pseudo anti-Hermiticiteit van Mcell (\(\sigma _{\mathrm{z}}{{M}}}_{{\mathrm{cell}}^{\mathrm{z}} = – {{Mathrm{cell}}})) is gerelateerd aan tijd-omgekeerde symmetrie. In aanvullende Fig. 11 stellen we de bandstructuur voor die verkregen is met de overdrachtsmatrix benadering, en vergelijken die met die welke rechtstreeks verkregen is met behulp van simulaties van de volledige golf van de eenheidscel onderworpen aan periodieke randvoorwaarden (FEM methode). Om het eigenwaardeprobleem van de overdrachtsmatrix op te lossen, werden de parameters θ1,2, α1,2 en Φ1,2, die van de frequentie afhangen, ontleend aan FEM-verstrooiingssimulaties van een enkel obstakel in een golfgeleider. De afstand tussen de twee verstrooiers is genomen om d = \frac{a}{2} – e_{\mathrm{p}}), met ep = 2,8 cm (“triviale” geval) en a = 23 cm. De diameter van de staaf is 3,5 cm en de breedte van de golfgeleider is 7 cm. De overeenkomst tussen de twee benaderingen valideert de nauwkeurigheid van het meervoudige verstrooiingsmodel, in het bijzonder de onderliggende veronderstelling van geen nabije-veld interacties tussen de obstakels in het kristal.

Eigenschappen van de eenheidscel overdrachtsmatrix

Om de topologie van het systeem in het volgende hoofdstuk te definiëren, moeten we eerst een paar belangrijke eigenschappen van de eenheidscel overdrachtsmatrix vaststellen. We beginnen met algemene eigenschappen, alvorens over te gaan naar meer specifieke eigenschappen op een band of op ontaarde punten van de bandstructuur.

Als direct gevolg van de tijd-omkeringssymmetrie54 behoort de overdrachtsmatrix van het systeem Mcell tot de groep SU(1,1) van matrices van de vorm

die met behulp van de Pauli-matrices wordt geparametriseerd als

Its eigenwaarden, gegeven door \lambda _ \pm = \alpha _{\mathrm{R}} \pm iQsqrt {alpha _{\mathrm{I}}^2 – \beta _{\mathrm{R}}^2 – \beta _{\mathrm{I}}^2}) zijn reëel als \alpha _{\mathrm{I}}^2 < \left| \beta \right|^2}), en complex anders. Deze eigenwaarden zijn ontaard onder de voorwaarde β(βalpha _{\mathrm{I}}^2 – βbeta _{\mathrm{R}}^2 – βbeta _{\mathrm{I}}^2 = 0\), d.w.z. wanneer de parameters βR, βI en αI tot een dubbele kegel in de (βR, βI, αI) ruimte behoren. Deze kegel is afgebeeld in de onderste panelen van fig. 6. Aan het uiteinde van de kegel heeft men βR = βI = αI = 0, wat betekent dat Mcell reduceert tot Mcell = αRσ0.

Topologie van de banden. We definiëren de topologie van de banden als het aantal keren dat de contour \(\mathcal{C}}) de as van de kegel, gedefinieerd in Eq. 20, kruist. a Voor het triviale rooster kruist de contour \(\mathcal{C}}) de as van de kegel niet, wat overeenkomt met een topologische invariant nul. b Als het systeem een faseovergang doormaakt, raakt de contour \(\mathcal{C}}) de top van de kegel. De topologische invariant kan in dit geval niet gedefinieerd worden. c Hetzelfde als de figuren (a) en (b) maar dan voor het topologisch rooster. De contour (\mathcal{C}) kruist in dit geval één keer de as van de kegel, wat overeenkomt met een niet-triviale topologie

Op een band heeft de matrix Mcell een speciale vorm. Het Bloch-eigenprobleem impliceert immers dat \(\mathrm{R}} \^pm i}sqrt {alpha _I^2 – \left| \beta \right|^2} = e^{i,k_{mathrm{B}}a}), waaruit volgt dat

en

waaruit volgt dat \(\alpha _{\mathrm{I}}^2 + \alpha _{\mathrm{R}}^2 = 1 + \left| \beta \right|^2}), wat gelijkwaardig is aan \alpha _{\mathrm{I}}^2 = {\mathrm{sin}}^2(k_{\mathrm{B}}a) + \left| \beta right|^2}), of

Op een band hebben we dus

Hieruit volgt dat een band een één-op-één afbeelding beschrijft van de Brillouin-cirkel naar een gesloten pad \(\mathcal{C}\) in de deelruimte van SU(1,1) matrices Mcell(kB) met de bovenstaande vorm. Uit het eigenwaardenprobleem van Bloch (M_{\mathrm{B}a}}left( \omega \right)\left| \psi \rightrangle = e^{i\,k_{\mathrm{B}a}left| \psi \rightrangle), kan men afleiden dat Mcell(ω) op een band complexe eigenwaarden heeft, wat betekent dat \alpha _{\mathrm{I}}^2 > \left| \beta \right|^2}), d.w.z.D.w.z. het pad (\mathcal{C}}) moet binnen de kegel liggen, hetzij in het bovenste gebied αI > |β|, hetzij in het onderste gebied αI < -|β|. Bovendien kan het pad ^(^mathcal{C}}) de kegel alleen raken als de eigenwaarden van Mcell, namelijk ^(e^{i,k_{\mathrm{B}}a}), ontaard zijn. Dit is noodzakelijkerwijs het geval aan de randen van de Brillouin-zone ²(k_{\mathrm{B}} = ²(k_{\mathrm{B}}}) ²rechts)²), en in het centrum kB = 0. Daartussenin kan (\mathrm{C}}) de kegel niet raken, omdat er twee verschillende eigenwaarden \(e^{ \pm i,k_{\mathrm{B}}a}) gevonden moeten worden, op grond van de tijd-omgekeerde symmetrie. Tenslotte is het pad (\mathcal{C}}) geen lus, maar een eenvoudige rechte, want Mcell is een eenvoudige functie van ω, en is dus gelijk voor twee tegengestelde waarden van kB op een band: hij begint op de kegel bij \(k_{\mathrm{B}} = – \frac{\pi }{a}}) en komt er weer op terecht bij kB = 0, om vervolgens het omgekeerde pad te volgen tussen kB = 0 en \(k_{\mathrm{B}} = \frac{\pi }{a}}). Figuur 6a geeft een voorbeeld van de (k_{\mathrm{B}} = \frac{\pi}{a}}) contour voor de derde band van het kristal (zogenaamd topologisch “triviaal” geval, met ep = 2,8 cm), en fig. 6c geeft dezelfde contour voor ep = -2,8 cm, overeenkomend met het duale systeem, dat zogenaamd topologisch is (de topologische eigenschappen zullen in de volgende paragraaf worden bewezen). Figuur 6b vertegenwoordigt het geval ep = 0 cm dat de bandgaps sluit. Zoals verwacht begint en eindigt de contour in alle gevallen op de kegel.

Om de voorwaarden te bestuderen waaronder twee opeenvolgende frequentiebanden elkaar kunnen raken, is het handig om het Bloch eigenprobleem te herschikken in de equivalente vorm:

$

en zie het als volgt: voor elke kB in de eerste Brillouin-zone betekent het vinden van de banden het vinden van de waarden van ω waarvoor de matrix φ(e^{ – i,k_{\mathrm{B}}a}M_{{\mathrm{cell}}}) ten minste één eigenwaarde gelijk aan één heeft, waarbij de bijbehorende eigenvector de Bloch eigenvector op die bepaalde band is. Dit kan gebeuren voor oneindig veel waarden van ω. Als beide eigenwaarden van ^(e^{ – i,k_{\mathrm{B}}a}M_{{\mathrm{cell}}}) bij een bepaalde frequentie gelijk zijn aan één, is de bandstructuur dubbel ontaard, wat dus de maximale frequentieontaarding is die het systeem toelaat. Aangezien de algemene vorm van de eigenwaarden van e^{ – i,k_{\mathrm{B}}a}M_{{\mathrm{cell}}}) op een band zijn ^{upsilon _ \pm = e^{ – i,k_{\mathrm{B}}a}left( {alpha _{\mathrm{R}}} \ipm iqrt {alpha _{\mathrm{I}}^2 – \left| \beta \right|^2}} } \rechts) = e^{ – i,k_{mathrm{B}}a}e^{ ipm i,k_{mathrm{B}a}), de tweede eigenwaarde \(e^{ – 2i,k_{\mathrm{B}}a}) kan alleen aan de randen van de Brillouin-zone \links( {k_{\mathrm{B}} = \pm \frac{\pi }{a}} rechts)\), of bij kB = 0, gelijk worden aan eenheid. Als gevolg hiervan kunnen bandgaps zich alleen sluiten in het centrum of aan de rand van de Brillouin-zone, d.w.z. wanneer de contour \(\mathcal{C}}) de kegel raakt.

Aanname van het eerste geval, d.w.z. een ontaarding bij k_{\mathrm{B}} = ^{ – i,k_{\mathrm{B}}a} = – 1}), dan heeft men ^{ – i,k_{\mathrm{B}}a} = – 1}). We krijgen, bij de bepaalde frequentie van de ontaarding,

en deze matrix kan alleen gelijk zijn aan de identiteit als \(\left| \beta \rechts| = 0\). Het tweede geval van ontaarding bij kB = 0 leidt tot dezelfde conclusie \(\links| \beta \rechts| = 0)\). Dit betekent dat wanneer twee banden elkaar raken, de contour (\mathcal{C}) de top van de kegel bereikt, zoals bevestigd in Fig. 6b.

Topologie van de banden

Zoals gezien in vorige secties, definieert elke band een afbeelding tussen de Brillouin cirkel en een deelruimte van SU(1,1) matrices. We definiëren nu een topologische invariant voor elke band, d.w.z. een geheel getal dat invariant is bij continue transformaties van de bandstructuur. Dit betekent dat dit getal alleen kan veranderen wanneer de band een discontinue transformatie ondergaat, d.w.z. een andere band raakt, of omgekeerd, wanneer de contour (²mathcal{C}) de top van de kegel raakt.

Net als in het standaard SSH model met nauwe binding, hebben we een extra symmetrie nodig, verwant aan de chirale symmetrie, om topologische invarianten op elke band te kunnen definiëren. Hier moeten we eisen dat de verstrooiingsmatrices S1 en S2 gelijk zijn, waarbij we θ1 = θ2 =θ, α1,2 = α1,2 = α en φ1 = φ2 = φ nemen. Met deze extra voorwaarde wordt de grootheid φ2 = M_{21}} \rechts)\) in Eq. 14, die de matrix Mcell op een band parametriseert, wordt