Apolloniusz z Pergi

Elipsa (zacieniona na zielono) była jednym z odcinków stożkowych badanych i nazwanych przez Apolloniusza.

Apollonius z Pergi (Pergaeus) (ok. 262 p.n.e. – ok. 190 p.n.e.) był greckim geometrą i astronomem szkoły aleksandryjskiej, znanym z pism o przekrojach stożkowych. Jego innowacyjna metodologia i terminologia, szczególnie w dziedzinie stożków, wpłynęła na wielu późniejszych uczonych, w tym Ptolemeusza, Francesco Maurolico, Isaaca Newtona i René Descartes.

Parabola (zacieniona na zielono) jest innym przekrojem stożkowym opisanym przez Apolloniusza.

Hiperbola (zacieniona na zielono) jest trzecim przekrojem stożkowym badanym przez Apolloniusza.

To Apolloniusz nadał elipsie, paraboli i hiperboli nazwy, pod którymi są obecnie znane. Hipoteza ekscentrycznych orbit, lub deferentu i epicykli, aby wyjaśnić pozorny ruch planet i zmienną prędkość Księżyca, są również przypisywane jemu. Twierdzenie Apolloniusza dowodzi, że dwa modele mogą być równoważne, jeśli mają odpowiednie parametry. Ptolemeusz opisuje to twierdzenie w Almagest 12.1. Apolloniusz badał również teorię księżyca, którą nazwał Epsilon (ε). Krater Apollonius na Księżycu został nazwany na jego cześć.

Życie i główne dzieła

Apollonius urodził się około 262 roku p.n.e., około 25 lat po Archimedesie. Rozkwitł za panowania Ptolemeusza Euergetesa i Ptolemeusza Filopatora (247-205 p.n.e.). Jego traktat o stożkach przyniósł mu miano „Wielkiego Geometry”, osiągnięcie, które zapewniło mu sławę.

Ze wszystkich jego traktatów zachowały się tylko Stożki. Z pozostałych historycy mają tytuły i pewne wskazówki co do ich treści dzięki późniejszym pisarzom, zwłaszcza Pappusowi. Po pierwszym wydaniu ośmioksięgu Conics Apolloniusz, za namową Eudemiusza z Pergamum, opublikował drugie wydanie. Poprawiając każdą z trzech pierwszych ksiąg, Apolloniusz przesyłał Eudemiuszowi jej kopię; największe zmiany zaszły w dwóch pierwszych księgach. Eudemiusz zmarł przed ukończeniem reszty rewizji, więc Apolloniusz zadedykował ostatnie pięć ksiąg królowi Attalosowi I (241-197 p.n.e.). Tylko cztery księgi zachowały się w języku greckim; trzy kolejne zachowały się w języku arabskim; ósma nigdy nie została odkryta.

Ale chociaż znaleziono fragment trzynastowiecznego łacińskiego tłumaczenia z arabskiego, dopiero w 1661 roku Giovanni Alfonso Borelli i Abraham Ecchellensis dokonali przekładu ksiąg 5-7 na łacinę. Chociaż wykorzystali oni arabską wersję Abu 'l-Fatha z Ispahanu z 983 r., która zachowała się we florenckim manuskrypcie, większość uczonych zgadza się obecnie, że najlepszymi arabskimi tłumaczeniami są te autorstwa Hilala ibn Abi Hilala dla ksiąg 1-4 i Thabita ibn Qurry dla ksiąg 5-7.

Apollonius zajmował się czystą matematyką. Kiedy zapytano go o przydatność niektórych z jego twierdzeń w księdze 4 Conics dumnie twierdził, że „są one godne akceptacji ze względu na same demonstracje, w taki sam sposób, w jaki akceptujemy wiele innych rzeczy w matematyce dla tego i dla żadnego innego powodu.” A ponieważ wiele z jego wyników nie miało zastosowania w nauce lub inżynierii jego czasów, Apolloniusz argumentował dalej w przedmowie do piątej księgi Conics, że „przedmiot ten jest jednym z tych, które wydają się godne studiowania dla ich własnego dobra.”

Koniki

Apollonius stwierdza, że w księgach 1-4 opracowuje generowanie krzywych i ich podstawowe własności przedstawione w księdze pierwszej w sposób pełniejszy niż we wcześniejszych traktatach, oraz że wiele twierdzeń w księdze trzeciej i większa część księgi czwartej są nowe. Aluzje do dzieł poprzedników, takich jak cztery księgi Euklidesa o stożkowych, pokazują dług nie tylko wobec Euklidesa, ale także Conona i Nicotelesa.

Ogólność traktowania Apolloniusza jest godna uwagi. Definiuje on i nazywa odcinki stożkowe, parabolę, elipsę i hiperbolę. Każdą z tych krzywych postrzega jako podstawową własność stożkowej, która jest odpowiednikiem równania (później nazwanego równaniem kartezjańskim) zastosowanego do osi skośnych – na przykład osi składających się ze średnicy i stycznej na jej krańcu – otrzymanych przez przecięcie stożka kolistego. (Okrągły stożek skośny to taki, w którym oś nie tworzy kąta 90 stopni z płaszczyzną kierunkową. Natomiast stożek kolisty prosty to taki, w którym oś tworzy z dwukierunkową kąt 90 stopni). Sposób przecięcia stożka, jak twierdzi, nie ma znaczenia. Pokazuje, że skośne osie są tylko szczególnym przypadkiem, po wykazaniu, że podstawowa własność stożka może być wyrażona w tej samej formie w odniesieniu do dowolnej nowej średnicy i stycznej na jej końcu. Tak więc księgi 5-7 są wyraźnie oryginalne.

Geniusz Apolloniusza osiąga swoje największe wyżyny w księdze piątej. Tutaj on traktuje matematyczne normy (normalna to linia prosta prostopadła do powierzchni lub do innej linii prostej) jako minimalną i maksymalną linię prostą poprowadzoną z danych punktów do krzywej (niezależnie od własności stycznej); dyskutuje ile normalnych można poprowadzić z danych punktów; znajduje ich stopy przez konstrukcję; i podaje propozycje, które określają środek krzywizny w dowolnym punkcie, a także prowadzą do kartezjańskiego równania ewolucji dowolnego odcinka stożkowego.

W Conics, Apollonius dalej rozwijał metodę, która jest tak podobna do geometrii analitycznej, że jego praca jest czasami uważana za wyprzedzającą pracę Kartezjusza o jakieś 1800 lat. Jego zastosowanie linii odniesienia (takich jak średnica i styczna) jest zasadniczo takie samo jak nasze współczesne użycie ramy współrzędnych. Jednakże, w przeciwieństwie do nowoczesnej geometrii analitycznej, nie brał pod uwagę ujemnych wielkości. Ponadto, on nałożył układ współrzędnych na każdą krzywą po uzyskaniu krzywej. W ten sposób wyprowadzał równania z krzywych, ale nie wyprowadzał krzywych z równań.

Inne prace

Pappus wspomina o innych traktatach Apolloniusza. Każdy z nich był podzielony na dwie księgi i – wraz z Danymi, Porizmami i Locjami powierzchni Euklidesa oraz Stożkami Apolloniusza – był, według Pappusa, włączony do korpusu starożytnej analizy.

De Rationis Sectione

De Rationis Sectione (Cutting of a Ratio) starał się rozwiązać pewien problem: Biorąc pod uwagę dwie proste i punkt na każdej z nich, narysuj przez trzeci dany punkt prostą przecinającą dwie ustalone proste tak, by części przechwycone między danymi w nich punktami i punktami przecięcia z tą trzecią prostą miały dany stosunek.

De Spatii Sectione

De Spatii Sectione (Cutting of an Area) omówił podobny problem wymagający, aby prostokąt zawarty w dwóch punktach przecięcia był równy danemu prostokątowi.

De Sectione Determinata

De Sectione Determinata (Sekcja Determinacyjna) zajmuje się problemami w sposób, który można nazwać geometrią analityczną jednego wymiaru; z zagadnieniem znajdowania punktów na prostej, które były w pewnym stosunku do pozostałych. Konkretne problemy to: Dając dwa, trzy lub cztery punkty na prostej, znajdź inny punkt na niej taki, że jego odległości od danych punktów spełniają warunek, że kwadrat na jednym lub prostokąt zawarty przez dwa ma dany stosunek albo, (1) do kwadratu na pozostałym jednym lub prostokąta zawartego przez pozostałe dwa lub, (2) do prostokąta zawartego przez pozostały jeden i inną daną prostą.

De Tactionibus

De Tactionibus (Tangencies) obejmował następujący problem ogólny: Mając do dyspozycji trzy rzeczy (punkty, proste lub okręgi) znajdujące się w jednym położeniu, opisz okrąg przechodzący przez dane punkty i dotykający danych prostych lub okręgów. Najtrudniejszy i historycznie najciekawszy przypadek pojawia się, gdy trzy dane rzeczy są okręgami. W XVI wieku Vieta przedstawił ten problem (znany czasem jako problem Apollona) Adrianusowi Romanusowi, który rozwiązał go za pomocą hiperboli. Vieta zaproponował prostsze rozwiązanie, które doprowadziło go do odtworzenia całego traktatu Apolloniusza w małym dziele Apollonius Gallus.

De Inclinationibus

Przedmiotem De Inclinationibus (Nachylenia) było wykazanie, w jaki sposób linia prosta o danej długości, zmierzająca do danego punktu, może być wstawiona między dwie dane linie (proste lub kołowe).

De Locis Planis

De Locis Planis (Plane Loci) jest zbiorem twierdzeń odnoszących się do loci, które są albo liniami prostymi albo okręgami.

Legacy

Znany jako „Wielki Geometra”, prace Apolloniusza w dużym stopniu wpłynęły na rozwój matematyki. Jego słynna książka, Conics, wprowadziła pojęcia paraboli, elipsy i hiperboli. Stworzył hipotezę mimośrodowych orbit, aby wyjaśnić pozorny ruch planet i zmienną prędkość Księżyca. Dalszym wkładem w dziedzinę matematyki jest twierdzenie Apolloniusza, które pokazuje, że dwa modele mogą być równoważne, jeśli mają odpowiednie parametry.

Notatki

• Boyer, Carl B. A History of Mathematics. John Wiley & Sons, 1991. ISBN 978-0471543977
• Fried, Michael N. and Sabetai Unguru. Apollonius of Perga’s Conica: Text, Context, Subtext. Brill, 2001. ISBN 978-9004119779
• Heath, T.L. Treatise on Conic Sections. W. Heffer & Sons, 1961.

All links retrieved April 8, 2016.

• Apollonius of Perga. www-groups.dcs.st-and.ac.uk. Apollonius Summary.
• Apollonius’ Tangency Problem, Circles. agutie.homestead.com.
• Skany PDF wydania Heiberga Apollonius of Perga’s Conic Sections (domena publiczna). www.wilbourhall.org.